В математике ядро суммируемости - это семейство или последовательность периодических интегрируемых функций, удовлетворяющих определенному набору свойств, перечисленных ниже. Некоторые ядра, такие как ядро Фейера , особенно полезны в анализе Фурье . Ядра суммируемости связаны с приближением тождества ; определения приближения тождества различаются [1], но иногда определение приближения тождества считается таким же, как и для ядра суммируемости.
Определение
Позволять . Ядро суммировании представляет собой последовательность в это удовлетворяет
- (равномерно ограниченный)
- в виде , для каждого .
Обратите внимание, что если для всех , т.е. является ядром положительной суммируемости , то второе требование автоматически следует из первого.
Если вместо этого мы примем соглашение , первое уравнение принимает вид , а верхний предел интегрирования по третьему уравнению следует расширить до .
Мы также можем рассмотреть скорее, чем ; то проинтегрируем (1) и (2) по, и (3) более .
Примеры
- Ядро Фейеровского
- Ядро Пуассона (непрерывный индекс)
- Ядро Дирихля является не суммирование ядра, так как оно не второе требования.
Свертки
Позволять - ядро суммируемости, а обозначают операцию свертки .
- Если (непрерывные функции на ), тогда в , т.е. равномерно, как .
- Если , тогда в , в виде .
- Если радиально убывающая симметричная и , тогда точечно п.в. , так как. Здесь используется максимальная функция Харди – Литтлвуда . Если не радиально убывающая симметричная, а убывающая симметризация удовлетворяет , то сходимость п.в. сохраняется при использовании аналогичных рассуждений.
Рекомендации
- ^ Перейра, Мария; Уорд, Лесли (2012). Гармонический анализ: от Фурье до всплесков . Американское математическое общество. п. 90.
- Кацнельсон, Ицхак (2004), Введение в гармонический анализ , Cambridge University Press, ISBN 0-521-54359-2 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )