Анализ Фурье

Временной сигнал открытой струны A для бас-гитары (55 Гц).

Преобразование Фурье временного сигнала бас-гитары открытой ноты A (55 Гц). Фурье-анализ выявляет колебательные компоненты сигналов и функций.

В математике , анализ Фурье ( / е ʊr я eɪ , - я ər / ) ^[1] является изучение пути общие функции могут быть представлены или аппроксимирована суммами простых тригонометрических функций . Анализ Фурье вырос из изучения рядов Фурье и назван в честь Джозефа Фурье , который показал, что представление функции в виде суммы тригонометрических функций значительно упрощает изучение теплопередачи .

Сегодня предмет анализа Фурье охватывает широкий спектр математики. В науке и технике процесс разложения функции на колебательные компоненты часто называют анализом Фурье, в то время как операция восстановления функции из этих частей известна как синтез Фурье . Например, определение того, какие составляющие частоты присутствуют в музыкальной ноте, потребует вычисления преобразования Фурье дискретизированной музыкальной ноты. Затем можно было бы повторно синтезировать тот же самый звук, включив частотные компоненты, выявленные в анализе Фурье. В математике термин « анализ Фурье» часто относится к изучению обеих операций.

Сам процесс разложения называется преобразованием Фурье . Его выход, преобразование Фурье , часто получает более конкретное имя, которое зависит от домена и других свойств преобразуемой функции. Более того, первоначальная концепция анализа Фурье со временем была расширена, чтобы применяться ко все более и более абстрактным и общим ситуациям, и общая область часто известна как гармонический анализ . Каждое преобразование, используемое для анализа (см. Список преобразований, связанных с Фурье ), имеет соответствующее обратное преобразование, которое можно использовать для синтеза.

Приложения [ править ]

Фурье-анализ имеет множество научных приложений - в физике , дифференциальных уравнениях в частных производных , теории чисел , комбинаторике , обработке сигналов , цифровой обработке изображений , теории вероятностей , статистике , криминалистике , ценообразовании опционов , криптографии , численном анализе , акустике , океанографии , гидролокаторах , оптике , дифракции. , геометрия , белок структурный анализ и другие области.

Такая широкая применимость проистекает из многих полезных свойств преобразований:

• Преобразования являются линейными операторами и, при надлежащей нормализации, также унитарны (свойство, известное как теорема Парсеваля или, в более общем смысле, как теорема Планшереля , и, как правило, через двойственность Понтрягина ). ^[2]
• Преобразования обычно обратимы.
• В экспоненциальной функции являются собственными функциями от дифференциации , что означает , что это представление преобразует линейное дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами в обычные алгебраические. ^[3] Таким образом, поведение линейной инвариантной во времени системы может быть проанализировано на каждой частоте независимо.
• По теореме о свертке преобразования Фурье превращают сложную операцию свертки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления операций на основе свертки, таких как полиномиальное умножение и умножение больших чисел . ^[4]
• Дискретная версия преобразования Фурье (см ниже) может быть быстро оценена на компьютерах с использованием быстрого преобразования Фурье (БПФ) алгоритмов. ^[5]

В криминалистике лабораторные инфракрасные спектрофотометры используют анализ с преобразованием Фурье для измерения длин волн света, при которых материал будет поглощать в инфракрасном спектре. Метод FT используется для декодирования измеренных сигналов и записи данных о длинах волн. А с помощью компьютера эти вычисления Фурье выполняются быстро, так что в считанные секунды управляемый компьютером FT-IR прибор может создать картину поглощения инфракрасного излучения, сравнимую с таковой у призматического прибора. ^[6]

Преобразование Фурье также полезно как компактное представление сигнала. Например, сжатие JPEG использует вариант преобразования Фурье ( дискретное косинусное преобразование ) маленьких квадратных фрагментов цифрового изображения. Компоненты Фурье каждого квадрата округляются до более низкой арифметической точности , а слабые компоненты полностью исключаются, так что оставшиеся компоненты можно хранить очень компактно. При реконструкции изображения каждый квадрат изображения повторно собирается из сохраненных приближенных преобразованных Фурье компонентов, которые затем подвергаются обратному преобразованию для получения приближения к исходному изображению.

Приложения в обработке сигналов [ править ]

При обработке сигналов, таких как аудио , радиоволны , световые волны, сейсмические волны и даже изображения, анализ Фурье может изолировать узкополосные компоненты составной формы волны, концентрируя их для более легкого обнаружения или удаления. Большое семейство методов обработки сигналов состоит из преобразования Фурье сигнала, простого манипулирования преобразованными Фурье данными и обращения преобразования. ^[7]

Вот некоторые примеры:

• Эквализация аудиозаписей с помощью ряда полосовых фильтров ;
• Цифровой радиоприем без супергетеродинной схемы, как в современном сотовом телефоне или радиосканере ;
• Обработка изображений для удаления периодических или анизотропных артефактов, таких как неровности из чересстрочного видео, полосовых артефактов из полосовой аэрофотосъемки или волновых структур от радиочастотных помех в цифровой камере;
• Взаимная корреляция похожих изображений для совмещения;
• Рентгеновская кристаллография для восстановления кристаллической структуры по ее дифракционной картине;
• Масс-спектрометрия с ионным циклотронным резонансом с преобразованием Фурье для определения массы ионов по частоте циклотронного движения в магнитном поле;
• Многие другие виды спектроскопии, в том числе инфракрасной и ядерной магнитный резонанс спектроскопии;
• Генерация звуковых спектрограмм, используемых для анализа звуков;
• Пассивный гидролокатор, используемый для классификации целей на основе шума оборудования.

Варианты анализа Фурье [ править ]

(Непрерывное) преобразование Фурье [ править ]

Чаще всего неквалифицированный термин « преобразование Фурье» относится к преобразованию функций непрерывного действительного аргумента и дает непрерывную функцию частоты, известную как частотное распределение . Одна функция преобразуется в другую, и операция обратима. Когда область определения входной (начальной) функции - время ( t ), а область области выходной (конечной) функции - обычная частота , преобразование функции s ( t ) на частоте f задается комплексным числом:

${\ Displaystyle S (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s (t) \ cdot e ^ {- i2 \ pi ft} \, dt.}$

Оценка этой величины для всех значений f дает функцию частотной области . Тогда s ( t ) можно представить как рекомбинацию комплексных экспонент всех возможных частот:

${\ displaystyle s (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} S (f) \ cdot e ^ {i2 \ pi ft} \, df,}$

что является формулой обратного преобразования. Комплексное число S (  f  ) передает как амплитуду, так и фазу частоты f .

См. Преобразование Фурье для получения дополнительной информации, в том числе:

• условные обозначения для нормализации амплитуды и масштабирования частоты / единицы измерения
• преобразовать свойства
• табличные преобразования конкретных функций
• расширение / обобщение для функций нескольких измерений, таких как изображения.

Ряд Фурье [ править ]

Преобразование Фурье периодической функции s _P ( t ) с периодом P становится гребенчатой функцией Дирака , модулированной последовательностью комплексных коэффициентов :

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt,\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (где ∫ _P - интеграл по любому интервалу длины P ).

Обратное преобразование, известное как ряд Фурье , представляет собой представление s _P ( t ) в терминах суммы потенциально бесконечного числа гармонически связанных синусоид или комплексных экспоненциальных функций, каждая из которых имеет амплитуду и фазу, определяемую одним из коэффициентов :

${\displaystyle s_{P}(t)\ \ =\ \ {\mathcal {F}}^{-1}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }S[k]\,\delta \left(f-{\frac {k}{P}}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}.}$

Любую s _P ( t ) можно выразить как периодическое суммирование другой функции s ( t ) :

${\displaystyle s_{P}(t)\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s(t-mP),}$

и коэффициенты пропорциональны выборкам S (  f  ) в дискретных интервалах1/п:

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right).}$^[A]

Обратите внимание, что любой s ( t ) , преобразование которого имеет те же дискретные значения выборки, может использоваться в периодическом суммировании. Достаточным условием для восстановления s ( t ) (и, следовательно, S (  f  ) ) только из этих выборок (то есть из ряда Фурье) является то, что ненулевая часть s ( t ) ограничивается известным интервалом длительности P , которая является двойственной в частотной области теореме выборки Найквиста – Шеннона .

См. Ряд Фурье для получения дополнительной информации, включая историческое развитие.

Дискретное преобразование Фурье (DTFT) [ править ]

DTFT является математическим двойником ряда Фурье во временной области. Таким образом, сходящееся периодическое суммирование в частотной области может быть представлено рядом Фурье, коэффициенты которого являются выборками соответствующей функции непрерывного времени :

${\displaystyle S_{\frac {1}{T}}(f)\ \triangleq \ \underbrace {\sum _{k=-\infty }^{\infty }S\left(f-{\frac {k}{T}}\right)\equiv \overbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\cdot e^{-i2\pi fnT}} ^{\text{Fourier series (DTFT)}}} _{\text{Poisson summation formula}}={\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{\infty }s[n]\ \delta (t-nT)\right\},\,}$

который известен как DTFT. Таким образом, ДВПФ последовательности s [ n ] также является преобразованием Фурье модулированной гребенчатой функции Дирака . ^[B]

Коэффициенты ряда Фурье (и обратное преобразование) определяются как :

${\displaystyle s[n]\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}.}$

Параметр T соответствует интервалу выборки, и этот ряд Фурье теперь можно распознать как форму формулы суммирования Пуассона . Таким образом, мы получаем важный результат: когда дискретная последовательность данных s [ n ] пропорциональна выборкам лежащей в основе непрерывной функции s ( t ) , можно наблюдать периодическое суммирование непрерывного преобразования Фурье, S (  f  ) . Обратите внимание, что любой s ( t ) с одинаковыми дискретными значениями выборки дает одно и то же ДВПФ, но при определенных идеализированных условиях теоретически можно восстановить S(  f  ) и s ( t ) точно. Достаточным условием для полного восстановления является то, что ненулевая часть S (  f  ) должна быть ограничена известным частотным интервалом шириной1/Т. Когда этот интервал составляет [-1/2 т, 1/2 т] , применимой формулой восстановления является интерполяционная формула Уиттекера – Шеннона . Это краеугольный камень в основе цифровой обработки сигналов .

Еще одна причина для интереса к S _{1 / T} (  f  ) заключается в том, что он часто дает представление о степени наложения спектров, вызванных процессом дискретизации.

Применение DTFT не ограничивается дискретными функциями. См. Раздел Преобразование Фурье с дискретным временем для получения дополнительной информации по этой и другим темам, включая :

• нормализованные единицы частоты
• управление окнами (последовательности конечной длины)
• преобразовать свойства
• табличные преобразования конкретных функций

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) [ править ]

Подобно ряду Фурье, ДВПФ периодической последовательности s _N [ n ] с периодом N становится гребенчатой ​​функцией Дирака, модулированной последовательностью комплексных коэффициентов (см. ДВПФ § Периодические данные ):

${\displaystyle S[k]=\sum _{n}s_{N}[n]\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{N}}n},\quad k\in \mathbb {Z} ,}$     (где ∑ _n - сумма по любой последовательности длины N ).

S [ K ] последовательность является то , что обычно известно как ДПФ одного цикла с _Н . Он также является N -периодическим, поэтому никогда не требуется вычислять более N коэффициентов. Обратное преобразование, также известное как дискретный ряд Фурье , определяется выражением:

${\displaystyle s_{N}[n]={\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {n}{N}}k},}$   где Σ _K представляет собой сумму по любой последовательности длины N .

Когда s _N [ n ] выражается как периодическое суммирование другой функции:

${\displaystyle s_{N}[n]\,\triangleq \,\sum _{m=-\infty }^{\infty }s[n-mN],}$   и   ^[C]${\displaystyle s[n]\,\triangleq \,s(nT),}$

коэффициенты пропорциональны выборкам S _{1 / T} (  f  ) в дискретных интервалах1/п знак равно 1/NT:

${\displaystyle S[k]={\frac {1}{T}}\cdot S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right).}$^[D]

И наоборот, когда кто-то хочет вычислить произвольное количество ( N ) дискретных выборок одного цикла непрерывного ДВПФ, S _{1 / T} (  f  ) , это может быть выполнено путем вычисления относительно простого ДПФ s _N [ n ] , как определено выше. В большинстве случаев N выбирается равным длине ненулевой части s [ n ] . Увеличение N , известное как заполнение нулями или интерполяция , приводит к более близкорасположенным выборкам одного цикла S _{1 / T} (  f  ) . УменьшениеN вызывает перекрытие (добавление) во временной области (аналогично наложению спектров ), что соответствует децимации в частотной области. (см. DTFT § Выборка DTFT ) В большинстве случаев, представляющих практический интерес, последовательность s [ n ] представляет собой более длинную последовательность, которая была усечена применением оконной функции конечной длины или массива КИХ-фильтров .

ДПФ можно вычислить с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ), что делает его практичным и важным преобразованием на компьютерах.

См. Дополнительную информацию в разделе Дискретное преобразование Фурье , в том числе:

• преобразовать свойства
• Приложения
• табличные преобразования конкретных функций

Резюме [ править ]

Для периодических функций как преобразование Фурье, так и DTFT содержат только дискретный набор частотных компонентов (ряд Фурье), и преобразования расходятся на этих частотах. Одна из распространенных практик (не обсуждаемая выше) состоит в том, чтобы обрабатывать это расхождение с помощью дельта- функций Дирака и гребенчатых функций Дирака . Но одна и та же спектральная информация может быть получена только из одного цикла периодической функции, поскольку все остальные циклы идентичны. Точно так же функции конечной длительности могут быть представлены в виде ряда Фурье без фактической потери информации, за исключением того, что периодичность обратного преобразования является простым артефактом.

Обычно на практике в течение всего срока с (•) , чтобы быть ограничено периодом, P или N . Но эти формулы не требуют этого условия.

s ( t ) преобразуется (непрерывное время)

	Непрерывная частота	Дискретные частоты
Преобразовать	${\displaystyle S(f)\,\triangleq \,\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt}$	${\displaystyle \overbrace {{\frac {1}{P}}\cdot S\left({\frac {k}{P}}\right)} ^{S[k]}\,\triangleq \,{\frac {1}{P}}\int _{-\infty }^{\infty }s(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt\equiv {\frac {1}{P}}\int _{P}s_{P}(t)\cdot e^{-i2\pi {\frac {k}{P}}t}\,dt}$
Обратный	${\displaystyle s(t)=\int _{-\infty }^{\infty }S(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df}$	${\displaystyle \underbrace {s_{P}(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {k}{P}}t}} _{\text{Poisson summation formula (Fourier series)}}\,}$

s ( nT ) преобразовывает (дискретное время)

	Непрерывная частота	Дискретные частоты
Преобразовать	${\displaystyle \underbrace {{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\,\triangleq \,\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot e^{-i2\pi fnT}} _{\text{Poisson summation formula (DTFT)}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{NT}}\right)} ^{S[k]}\,&\triangleq \,\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}\\&\equiv \underbrace {\sum _{n}s_{P}(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}} _{\text{DFT}}\,\end{aligned}}}$
Обратный	${\displaystyle s(nT)=T\int _{\frac {1}{T}}{\frac {1}{T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df}$ ${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }s(nT)\cdot \delta (t-nT)=\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{T}}\ S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df} _{\text{inverse Fourier transform}}\,}$	${\displaystyle {\begin{aligned}s_{P}(nT)&=\overbrace {{\frac {1}{N}}\sum _{k}S[k]\cdot e^{i2\pi {\frac {kn}{N}}}} ^{\text{inverse DFT}}\\&={\tfrac {1}{P}}\sum _{k}S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k}{P}}\right)\cdot e^{i2\pi {\frac {kn}{N}}}\end{aligned}}}$

Свойства симметрии [ править ]

Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на их четную и нечетную части , есть четыре компонента, обозначенные ниже индексами RE, RO, IE и IO. Между четырьмя компонентами комплексной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования существует взаимно однозначное соответствие : ^[8]

${\displaystyle {\begin{array}{rccccccccc}{\text{Time domain}}&s&=&s_{_{\text{RE}}}&+&s_{_{\text{RO}}}&+&is_{_{\text{IE}}}&+&\underbrace {i\ s_{_{\text{IO}}}} \\&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&{\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}\\{\text{Frequency domain}}&S&=&S_{\text{RE}}&+&\overbrace {\,i\ S_{\text{IO}}\,} &+&iS_{\text{IE}}&+&S_{\text{RO}}\end{array}}}$

Отсюда очевидны различные отношения, например :

• Преобразование вещественной функции ( s _RE + s _RO ) является четной симметричной функцией S _RE + i S _IO . И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает действительную временную область.
• Преобразование мнимозначной функции ( i s _IE + i s _IO ) является нечетной симметричной функцией S _RO + i S _IE , и верно обратное.
• Преобразование четно-симметричной функции ( s _RE + i s _IO ) является вещественной функцией S _RE + S _RO , и верно обратное.
• Преобразование нечетно-симметричной функции ( s _RO + i s _IE ) является мнимозначной функцией i S _IE + i S _IO , и верно обратное.

Преобразования Фурье на произвольных локально компактных абелевых топологических группах [ править ]

Варианты Фурье также могут быть обобщены на преобразования Фурье на произвольных локально компактных абелевых топологических группах , которые изучаются в гармоническом анализе ; там преобразование Фурье переводит функции на группе в функции на дуальной группе. Такой подход также позволяет сформулировать общую теорему о свертке , которая связывает преобразования Фурье и свертки . См. Также двойственность Понтрягина для обобщенных основ преобразования Фурье.

Более конкретно, анализ Фурье может быть выполнен на смежных классах ^[9], даже на дискретных смежных классах.

Частотно-временные преобразования [ править ]

С точки зрения обработки сигналов функция (времени) - это представление сигнала с идеальным временным разрешением , но без частотной информации, в то время как преобразование Фурье имеет идеальное частотное разрешение , но без временной информации.

В качестве альтернативы преобразованию Фурье при частотно-временном анализе используются частотно-временные преобразования для представления сигналов в форме, содержащей некоторую информацию о времени и некоторую частотную информацию - по принципу неопределенности между ними существует компромисс. Это могут быть обобщения преобразования Фурье, как, например короткое время преобразования Фурье , то преобразование Габора или преобразование дробного Фурье (FRFT), или можно использовать различные функции для представления сигналов, как в вейвлет - преобразований и чирплет , с вейвлет - аналогового (непрерывного) преобразования Фурье, являющегося непрерывным вейвлет-преобразованием .

История [ править ]

Примитивная форма гармонических рядов восходит к древней вавилонской математике , где они использовались для вычисления эфемерид (таблиц астрономических положений). ^{[10] [11] [12] [13]}

Классические греческие концепции деферента и эпицикла в системе астрономии Птолемея были связаны с рядами Фурье (см. Деферент и эпицикл § Математический формализм ).

В наше время варианты дискретного преобразования Фурье использовались Алексисом Клеро в 1754 году для вычисления орбиты ^[14], которая была описана как первая формула для ДПФ, ^[15] и в 1759 году Джозефом Луи Лагранжем при вычислении коэффициенты тригонометрического ряда для колеблющейся струны. ^[15] Технически работа Клеро представляла собой ряд только косинусов (форма дискретного косинусного преобразования ), в то время как работа Лагранжа представляла собой ряд только синусов (форма дискретного преобразования синуса ); истинный косинус + синус ДПФ был использован Гаусс в 1805 году для тригонометрической интерполяции из астероидных орбит.^[16] Эйлер и Лагранж дискретизировали проблему вибрирующей струны, используя то, что сегодня называют образцами. ^[15]

Ранним современным развитием к анализу Фурье была статья Лагранжа 1770 года Réflexions sur la résolution algébrique des équations , в которой в методе резольвент Лагранжа использовалось комплексное разложение Фурье для изучения решения кубики: ^[17] Лагранж преобразовал корни x ₁ , x ₂ , x ₃ в резольвенты:

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{1}&=x_{1}+x_{2}+x_{3}\\r_{2}&=x_{1}+\zeta x_{2}+\zeta ^{2}x_{3}\\r_{3}&=x_{1}+\zeta ^{2}x_{2}+\zeta x_{3}\end{aligned}}}$

где ζ - кубический корень из единицы , который является ДПФ порядка 3.

Ряд авторов, в частности , Д'Аламбер , и Гаусс , используемые тригонометрические ряды для изучения уравнения теплопроводности , ^[18] , но развитие прорыва был 1807 бумаги Мемуаре ли распространения де л данс CHALEUR ль корпусных solides по Иосифу Фурье , чья основная идея заключалась в том, чтобы смоделировать все функции тригонометрическими рядами, введя ряд Фурье.

Историки разделились во мнениях относительно того, в какой степени Лагранжу и другим следует приписать развитие теории Фурье: Даниэль Бернулли и Леонард Эйлер ввели тригонометрические представления функций, а Лагранж дал решение волнового уравнения в виде ряда Фурье, так что вклад Фурье был в основном смелое заявление о том, что произвольная функция может быть представлена ​​рядом Фурье. ^[15]

Дальнейшее развитие этой области известно как гармонический анализ , и оно также является ранним примером теории представлений .

Первый алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) для ДПФ был открыт около 1805 года Карлом Фридрихом Гауссом при интерполяции измерений орбиты астероидов Юнона и Паллас , хотя этот конкретный алгоритм БПФ чаще приписывают его современным переоткрывателям Кули и Тьюки . ^{[16] [14]}

Интерпретация с точки зрения времени и частоты [ править ]

При обработке сигналов преобразование Фурье часто берет временной ряд или функцию непрерывного времени и отображает их в частотный спектр . То есть он принимает функцию из временной области в частотную ; это разложение функции на синусоиды разной частоты; в случае ряда Фурье или дискретного преобразования Фурье синусоиды являются гармониками основной частоты анализируемой функции.

Когда функция f является функцией времени и представляет собой физический сигнал , преобразование имеет стандартную интерпретацию как частотный спектр сигнала. Величина результирующего комплекса-функции F на частоте со представляет собой амплитуду компонента частоты которого начальная фаза определяется фазой  F .

Преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они в равной степени могут применяться для анализа пространственных частот и практически для любой функциональной области. Это оправдывает их использование в таких разнообразных областях, как обработка изображений , теплопроводность и автоматическое управление .

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Интуитивное объяснение теории Фурье Стивена Легара.
• Лекции по обработке изображений: сборник из 18 лекций в формате pdf из Университета Вандербильта. Лекция 6 посвящена 1- и 2-мерному преобразованию Фурье. В лекциях 7–15 он используется. , Алан Питерс
• Мориарти, Филипп; Боули, Роджер (2009). «∑ Суммирование (и анализ Фурье)» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .