Гармонический анализ - это раздел математики, связанный с представлением функций или сигналов в виде суперпозиции основных волн , а также изучением и обобщением понятий рядов Фурье и преобразований Фурье (то есть расширенной формы анализа Фурье ). За последние два столетия он стал обширным предметом с приложениями в таких разнообразных областях, как теория чисел , теория представлений , обработка сигналов , квантовая механика , анализ приливов и нейробиология .
Термин « гармоника » возникла как древнегреческие слова harmonikos , что означает «искусный в музыке». [1] В физических задачах на собственные значения он начал означать волны, частоты которых кратны друг другу, как и частоты гармоник музыкальных нот , но этот термин был обобщен за пределами его первоначального значения.
Классическое преобразование Фурье на R n все еще является областью постоянных исследований, особенно в отношении преобразования Фурье для более общих объектов, таких как умеренные распределения . Например, если мы наложим некоторые требования на распределение f , мы можем попытаться перевести эти требования в терминах преобразования Фурье f . Теорема Пэли – Винера является примером этого. Из теоремы Пэли – Винера сразу следует, что если f - ненулевое распределение с компактным носителем (включая функции с компактным носителем), то его преобразование Фурье никогда не имеет компактного носителя. Это очень простая формапринцип неопределенности в постановке гармонического анализа.
Ряды Фурье удобно изучать в контексте гильбертовых пространств , которые обеспечивают связь между гармоническим анализом и функциональным анализом .
Абстрактный гармонический анализ [ править ]
Один из самых современных отраслей гармонического анализа, имеет свои корни в середине 20-го века, является анализ на топологических группах . Основные мотивирующие идеи - это различные преобразования Фурье , которые можно обобщить до преобразования функций, определенных на локально компактных топологических группах Хаусдорфа .
Теория абелевых локально компактных групп называется двойственностью Понтрягина .
Гармонический анализ изучает свойства этой двойственности и преобразования Фурье и пытается распространить эти особенности на другие параметры, например, на случай неабелевых групп Ли .
Для общих неабелевых локально компактных групп гармонический анализ тесно связан с теорией представлений унитарных групп. Для компактных групп теорема Питера – Вейля объясняет, как можно получить гармоники, выбрав одно неприводимое представление из каждого класса эквивалентности представлений. Этот выбор гармоник обладает некоторыми полезными свойствами классического преобразования Фурье с точки зрения переноса сверток в точечные произведения или иного демонстрации определенного понимания основной структуры группы . См. Также: Некоммутативный гармонический анализ .
Если группа не является ни абелевой, ни компактной, общая удовлетворительная теория в настоящее время неизвестна («удовлетворительно» означает, по крайней мере, столь же сильную, как теорема Планшереля ). Однако было проанализировано много конкретных случаев, например SL n . В этом случае решающую роль играют представления в бесконечных измерениях .
Другие ветки [ править ]
- Исследование собственных и собственных векторов в лапласиане на домены , коллекторы , и (в меньшей степени) графиках также считается филиалом гармонического анализа. Посмотрите, например, на форму барабана . [2]
- Гармонический анализ на евклидовых пространствах имеет дело со свойствами преобразования Фурье на R n , которые не имеют аналога на общих группах. Например, тот факт, что преобразование Фурье инвариантно относительно вращения. Разложение преобразования Фурье на его радиальную и сферическую составляющие приводит к таким темам, как функции Бесселя и сферические гармоники .
- Гармонический анализ на трубчатых областях связан с обобщением свойств пространств Харди на более высокие измерения.
Прикладной гармонический анализ [ править ]
Многие применения гармонического анализа в науке и технике начинаются с идеи или гипотезы о том, что явление или сигнал состоит из суммы отдельных колебательных компонентов. Океанские приливы и вибрирующие струны - обычные и простые примеры. Теоретический подход часто заключается в попытке описать систему дифференциальным уравнением или системой уравнений, чтобы предсказать основные характеристики, включая амплитуду, частоту и фазы колебательных компонентов. Конкретные уравнения зависят от поля, но теории обычно пытаются выбрать уравнения, которые представляют основные применимые принципы.
Экспериментальный подход обычно заключается в сборе данных, которые точно определяют количественно явление. Например, при изучении приливов экспериментатор будет собирать образцы глубины воды как функции времени через достаточно близко расположенные интервалы, чтобы увидеть каждое колебание, и в течение достаточно долгого времени, чтобы, вероятно, было включено несколько периодов колебаний. При исследовании вибрирующих струн экспериментаторы обычно получают звуковую волну, дискретизированную с частотой, по крайней мере, вдвое превышающей ожидаемую наивысшую частоту, и в течение продолжительности, во много раз превышающей период самой низкой ожидаемой частоты.
Например, верхний сигнал справа - это форма звуковой волны бас-гитары, играющей на открытой струне, соответствующей ноте A с основной частотой 55 Гц. Форма волны кажется колеблющейся, но она более сложная, чем простая синусоида, что указывает на наличие дополнительных волн. Различные волновые составляющие, влияющие на звук, можно выявить с помощью метода математического анализа, известного как преобразование Фурье , результат которого показан на нижнем рисунке. Обратите внимание, что есть заметный пик на 55 Гц, но есть другие пики на 110 Гц, 165 Гц и на других частотах, соответствующих целым кратным 55 Гц. В этом случае частота 55 Гц определяется как основная частота вибрации струны, а кратные целые числа известны как гармоники..
См. Также [ править ]
- Сходимость рядов Фурье.
- Гармоника (математика)
- Оценка спектральной плотности
- Тезис Тейта
Ссылки [ править ]
- ^ "гармонический" . Интернет-словарь этимологии .
- ^ Террас, Одри (2013). Гармонический анализ на симметричных пространствах - евклидовом пространстве, сфере и верхней полуплоскости Пуанкаре (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. п. 37. ISBN 978-1461479710. Проверено 12 декабря 2017 года .
- ^ Вычислено с помощью https://sourceforge.net/projects/amoreaccuratefouriertransform/ .
Библиография [ править ]
- Элиас Стейн и Гвидо Вайс , Введение в анализ Фурье евклидовых пространств , Princeton University Press , 1971. ISBN 0-691-08078-X
- Элиас Штайн и Тимоти С. Мерфи, Гармонический анализ: методы вещественных переменных, ортогональность и колебательные интегралы , Princeton University Press, 1993.
- Элиас Штайн , Темы гармонического анализа, связанные с теорией Литтлвуда-Пэли , Princeton University Press, 1970.
- Ицхак Кацнельсон , Введение в гармонический анализ , Третье издание. Издательство Кембриджского университета, 2004. ISBN 0-521-83829-0 ; 0-521-54359-2
- Теренс Тао , Преобразование Фурье . (Вводит разложение функций на нечетные + четные части как гармоническое разложение над.)
- Юрий Иванович Любич. Введение в теорию банаховых представлений групп . Перевод с русскоязычного издания 1985 г. (Харьков, Украина). Birkhäuser Verlag. 1988 г.
- Джордж У. Макки , Гармонический анализ как использование симметрии - исторический обзор , Bull. Амер. Математика. Soc. 3 (1980), 543–698.
Внешние ссылки [ править ]
Цитаты из Викицитатника
