Понтрягинская двойственность

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июнь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В 2-ичных числах , с выбранными соответствующими символами на их Понтрягин двойственной группы

В математике, в частности , в гармоническом анализе и теории топологических групп , двойственность Понтрягина объясняет общие свойства преобразования Фурье на локально компактных абелевых групп , таких как , в круг , или конечные циклические группы . Сама теорема двойственности Понтрягина утверждает, что локально компактные абелевы группы естественным образом отождествляются со своими бидуальными .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Тема названа в честь Льва Семеновича Понтрягина , заложившего основы теории локально компактных абелевых групп и их двойственности во время своих ранних математических работ в 1934 году. В трактовке Понтрягина учитывалась счетность второй группы, компактность или дискретность. Это было улучшено Эгбертом ван Кампеном в 1935 г. и Андре Вейлем в 1940 г. для покрытия общих локально компактных абелевых групп .

Введение [ править ]

Двойственность Понтрягина помещает в единый контекст ряд наблюдений о функциях на вещественной прямой или о конечных абелевых группах:

• Подходящие регулярные комплекснозначные периодические функции на вещественной прямой имеют ряды Фурье, и эти функции могут быть восстановлены из их рядов Фурье;
• Подходящие регулярные комплекснозначные функции на вещественной прямой имеют преобразования Фурье, которые также являются функциями на вещественной прямой, и, как и для периодических функций, эти функции могут быть восстановлены из их преобразований Фурье; и
• Комплекснозначные функции на конечной абелевой группе имеют дискретные преобразования Фурье , которые являются функциями на двойственной группе , которая является (неканонически) изоморфной группой. Более того, любую функцию на конечной абелевой группе можно восстановить с помощью ее дискретного преобразования Фурье.

Теория, введенный Л. С. Понтрягина и в сочетании с мерой Хаара , введенной Джоном фон Нейманом , Вейль и другие , зависит от теории двойственной группы в виде локально компактной абелевой группы.

Это аналогично двойственному векторному пространству векторного пространства: конечномерное векторное пространство V и его двойственное векторное пространство V * естественно не изоморфны, но алгебра эндоморфизмов (матричная алгебра) одного изоморфна противоположному эндоморфизму алгебра другого: через транспонирование. Аналогичным образом , группа G и двойственное группы вообще говоря, не изоморфны, но их кольца эндоморфизмов противоположны друг другу: . Более категорично, это не просто изоморфизм алгебр эндоморфизмов, а контравариантная эквивалентность категорий - см. Категориальные соображения .${\ displaystyle {\ text {End}} (V) \ cong {{\ text {End}} (V ^ {*})} ^ {\ text {op}},}$${\ displaystyle {\ widehat {G}}}$${\ displaystyle {\ text {End}} (G) \ cong {\ text {End}} ({\ widehat {G}}) ^ {\ text {op}}}$

Определение [ править ]

Топологическая группа является локально компактной группой , если топологическое пространство локально компактно и хаусдорфово ; топологическая группа абелева, если основная группа абелева . Примеры локально компактных абелевых групп включают конечные абелевы группы, целые числа (как для дискретной топологии , которая также индуцируется обычной метрикой), действительные числа, круговую группу T (обе с их обычной метрической топологией), а также p -адические числа (с их обычной p -адической топологией).

Для локально компактной абелевой группы G , то понтрягинские двойной является группа непрерывных гомоморфизмов группы из G к окружности группы Т . То есть,${\ displaystyle {\ widehat {G}}}$

${\ displaystyle {\ widehat {G}}: = \ operatorname {Hom} (G, T).}$

Двойственный по Понтрягину обычно наделен топологией, задаваемой равномерной сходимостью на компактах (то есть топологией, индуцированной компактно-открытой топологией на пространстве всех непрерывных функций из в ).${\ displaystyle {\ widehat {G}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle T}$

Например,

${\ displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}} = T, \ {\ widehat {\ mathbb {R}}} = \ mathbb {R}, \ {\ widehat {T}} = \ mathbb {Z} .}$

Теорема двойственности Понтрягина [ править ]

Теорема. ^{[1] [2]} Существует канонический изоморфизм   между любой локально компактной абелевой группой и ее двойной двойственной.${\displaystyle G\cong {\widehat {\widehat {G}}}}$${\displaystyle G}$

Канонический означает, что существует естественно определенная карта  ; что более важно, карта должна быть функториальна в . Канонический изоморфизм определяется следующим образом:${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}\colon G\to {\widehat {\widehat {G}}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x\in G}$

${\displaystyle \operatorname {ev} _{G}(x)=(\chi \mapsto \chi (x))\ {\text{ i.e. }}\ \operatorname {ev} _{G}(x)(\chi ):=\chi (x)\in \mathbb {T} .}$

Другими словами, каждый элемент группы идентифицируется с оценочным символом на дуале. Это сильно аналогично канонический изоморфизм между конечномерным векторным пространством и его двойным двойным , , в то время как она стоит отметить, что любой вектор пространство является абелевой группой . Если - конечная абелева группа, то этот изоморфизм не канонический. Чтобы сделать это утверждение точным (в общем), необходимо подумать о дуализации не только на группах, но и на отображениях между группами, чтобы рассматривать дуализацию как функтор${\displaystyle x}$${\displaystyle V\cong V^{**}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G\cong {\widehat {G}}}$и доказать, что тождественный функтор и функтор дуализации не эквивалентны естественным образом. Также из теоремы двойственности следует, что для любой группы (не обязательно конечной) функтор дуализации является точным функтором.

Двойственность Понтрягина и преобразование Фурье [ править ]

Мера Хаара [ править ]

Один из самых замечательных фактов о локально компактной группе G является то , что она несет в себе , по существу уникальную природную меру , в меру Хаара , что позволяет один последовательно измерять «размер» достаточно регулярных подмножеств G . «Достаточно регулярное подмножество» здесь означает борелевское множество ; то есть элемент σ-алгебры, порожденный компактами . Более точно, правая мера Хаара на локально компактной группе G - это счетно-аддитивная мера μ, определенная на борелевских множествах группы G, которая инвариантна справа в том смысле, что μ ( Ax) = μ ( A ) для x - элемент из G, а A - борелевское подмножество в G, а также удовлетворяет некоторым условиям регулярности (подробно изложенным в статье о мере Хаара ). За исключением положительных масштабных коэффициентов мера Хаара на G единственна.

Мера Хаара на G позволяет нам определить понятие интеграла для ( комплекснозначных ) борелевских функций, определенных на группе. В частности, можно рассматривать различные L p- пространства, связанные с мерой Хаара μ. Конкретно,

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mu }^{p}(G)=\left\{(f:G\to \mathbb {C} )\ {\Big |}\ \int _{G}|f(x)|^{p}\ d\mu (x)<\infty \right\}.}$

Заметим, что, поскольку любые две меры Хаара на G равны с точностью до масштабного множителя, это L ^p -пространство не зависит от выбора меры Хаара и, следовательно, может быть записано как L ^p (G) . Однако L ^p -норма на этом пространстве зависит от выбора меры Хаара, поэтому, если кто-то хочет говорить об изометриях, важно отслеживать используемую меру Хаара.

Преобразование Фурье и формула обращения Фурье для L ¹ -функций [ править ]

Двойственная группа локально компактной абелевой группы используется в качестве основного пространства для абстрактной версии преобразования Фурье . Если , то преобразование Фурье является функцией от определяются${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$${\displaystyle {\widehat {f}}}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$

${\displaystyle {\widehat {f}}(\chi )=\int _{G}f(x){\overline {\chi (x)}}\ d\mu (x),}$

где интеграл относительно меры Хаара на . Это тоже обозначается . Обратите внимание, что преобразование Фурье зависит от выбора меры Хаара. Нетрудно показать, что преобразование Фурье функции на является ограниченной непрерывной функцией, которая обращается в нуль на бесконечности .${\displaystyle \mu }$${\displaystyle G}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(\chi )}$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Формула обращения Фурье для -функций. ${\displaystyle L^{1}}$Для каждой меры Хаара на существует единственная мера Хаара на такая, что всякий раз, когда и , мы имеем${\displaystyle \mu }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle f\in L^{1}(G)}$${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{1}({\widehat {G}})}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\widehat {G}}{\widehat {f}}(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi )\qquad \mu {\text{-almost everywhere}}}$

Если непрерывно, то это тождество выполняется для всех .${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

Обратное преобразование Фурье интегрируемой функции на задаются${\displaystyle {\widehat {G}}}$

${\displaystyle {\check {g}}(x)=\int _{\widehat {G}}g(\chi )\chi (x)\ d\nu (\chi ),}$

где интеграл относительно меры Хаара на дуальной группе . Мера на, которая появляется в формуле обращения Фурье, называется двойственной мерой к и может быть обозначена .${\displaystyle \nu }$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$

Различные преобразования Фурье можно классифицировать с точки зрения их области определения и области преобразования (группа и двойственная группа) следующим образом (обратите внимание, что это группа Circle ):${\displaystyle \mathbb {T} }$

Преобразовать	Исходный домен ${\displaystyle G}$	Преобразовать домен ${\displaystyle {\hat {G}}}$	Мера ${\displaystyle \mu }$
преобразование Фурье	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle {\text{Constant}}\times {\text{Lebesgue measure}}}$
Ряд Фурье	${\displaystyle \mathbb {T} }$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle {\text{Constant}}\times {\text{Lebesgue measure}}}$
Дискретное преобразование Фурье (ДВПФ)	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	${\displaystyle \mathbb {T} }$	${\displaystyle {\text{Constant}}\times {\text{Counting measure}}}$
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)	${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$	${\displaystyle {\text{Constant}}\times {\text{Counting measure}}}$

В качестве примера предположим , что мы можем думать о том, что с помощью спаривания If - мера Лебега на евклидовом пространстве, мы получаем обычное преобразование Фурье на, а двойственная мера, необходимая для формулы обращения Фурье, равна . Если мы хотим получить формулу обращения Фурье с одинаковой мерой с обеих сторон (то есть, поскольку мы можем рассматривать его как собственное двойственное пространство, которое мы можем попросить уравнять ), то нам нужно использовать${\displaystyle G=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }.}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\widehat {\mu }}=(2\pi )^{-n}\mu }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\widehat {\mu }}}$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\\{\widehat {\mu }}&=(2\pi )^{-{\frac {n}{2}}}\times {\text{Lebesgue measure}}\end{aligned}}}$

Однако, если мы изменим способ отождествления с его дуальной группой, используя пару${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} },}$

то мера Лебега на равна своей собственной двойственной мере . Это соглашение сводит к минимуму количество факторов, которые появляются в различных местах при вычислении преобразований Фурье или обратных преобразований Фурье в евклидовом пространстве. (Фактически, это ограничивает только показателем степени, а не как предварительный фактор за пределами знака интеграла.) Обратите внимание, что выбор того, как идентифицировать свою двойственную группу, влияет на значение термина «самодвойственная функция», который является функция, равная собственному преобразованию Фурье: при использовании классического спаривания функция является самодуальной. Но использование спаривания, которое сохраняет префактор как единицу, делает${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{i\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} }}$${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}}$${\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )\mapsto e^{2\pi {i}{\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {w} }}}$${\displaystyle e^{-\pi x^{2}}}$вместо этого самодвойственный. Это второе определение преобразования Фурье имеет то преимущество, что оно отображает мультипликативное тождество в тождество свертки, что полезно, как и алгебра свертки. См. Следующий раздел о групповой алгебре . Кроме того, эта форма также обязательно изометрична на пространствах. Ниже в Планшереле и L 2 теоремы Фурьх инверсий${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{2}}$

Групповая алгебра [ править ]

Пространство интегрируемых функций на локально компактной абелевой группе G является алгеброй , где умножение - это свертка: свертка двух интегрируемых функций f и g определяется как

${\displaystyle (f*g)(x)=\int _{G}f(x-y)g(y)\ d\mu (y).}$

Теорема. Банахово пространство является ассоциативной и коммутативной алгеброй относительно свертки.${\displaystyle L^{1}(G)}$

Эта алгебра называется групповой алгебры из G . По теореме Фубини-Тонелли , свертка полумультипликативная по отношению к норме, что делает в алгебру банахово . Банахова алгебра имеет мультипликативный единичный элемент тогда и только тогда, когда G - дискретная группа, а именно функция, которая равна единице в единице и нулю в другом месте. В общем, однако, он имеет приблизительную идентичность, которая представляет собой сеть (или обобщенную последовательность), индексированную на направленном множестве, такую ​​что${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle L^{1}(G)}$${\displaystyle L^{1}(G)}$${\displaystyle \{e_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f*e_{i}\to f.}$

Преобразование Фурье переводит свертку в умножение, т.е. это гомоморфизм абелевых банаховых алгебр (нормы ≤ 1):${\displaystyle L^{1}(G)\to C_{0}({\widehat {G}})}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(f*g)(\chi )={\mathcal {F}}(f)(\chi )\cdot {\mathcal {F}}(g)(\chi ).}$

В частности, каждому групповому характеру на G соответствует единственный мультипликативный линейный функционал на групповой алгебре, определяемой

${\displaystyle f\mapsto {\widehat {f}}(\chi ).}$

Важным свойством групповой алгебры является то, что они исчерпывают множество нетривиальных (т. Е. Не тождественно нулевых) мультипликативных линейных функционалов на групповой алгебре; см. раздел 34 ( Loomis 1953 ). Это означает, что преобразование Фурье является частным случаем преобразования Гельфанда .

Планшерелевая и L ² теорема инверсии Фурье [ править ]

Как мы заявляли, двойственная группа локально компактной абелевой группы является локально компактной абелевой группой сама по себе и, таким образом, имеет меру Хаара, или, точнее, целое семейство мер Хаара, связанных с масштабом.

Теорема. Выберите меру Хаара на и пусть будет двойная мера на, как определено выше. Если непрерывно с компактной опорой, то и${\displaystyle \mu }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle f:G\to \mathbb {C} }$${\displaystyle {\widehat {f}}\in L^{2}({\widehat {G}})}$

${\displaystyle \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).}$

В частности, преобразование Фурье является изометрией комплекснозначных непрерывных функций компактного носителя на G в -функции на (с использованием -нормы по μ для функций на G и -нормы по ν для функций на ).${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Поскольку комплекснозначные непрерывные функции с компактным носителем на G являются -плотными, существует единственное продолжение преобразования Фурье из этого пространства к унитарному оператору${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}:L_{\mu }^{2}(G)\to L_{\nu }^{2}({\widehat {G}}).}$

и у нас есть формула

${\displaystyle \forall f\in L^{2}(G):\qquad \int _{G}|f(x)|^{2}\ d\mu (x)=\int _{\widehat {G}}\left|{\widehat {f}}(\chi )\right|^{2}\ d\nu (\chi ).}$

Заметим, что для некомпактных локально компактных групп G пространство не содержит , поэтому преобразование Фурье общих -функций на G «не» задается какой-либо формулой интегрирования (или действительно любой явной формулой). Чтобы определить преобразование Фурье, нужно прибегнуть к некоторой технической уловке, например, начать с плотного подпространства, такого как непрерывные функции с компактным носителем, а затем продолжить изометрию по непрерывности на все пространство. Это унитарное расширение преобразования Фурье и есть то, что мы понимаем под преобразованием Фурье на пространстве функций, интегрируемых с квадратом.${\displaystyle L^{1}(G)}$${\displaystyle L^{2}(G)}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$

Двойственная группа также имеет собственное обратное преобразование Фурье; его можно охарактеризовать как обратное (или сопряженное, поскольку оно унитарно) преобразования Фурье. В этом состоит содержание следующей формулы обращения Фурье.${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle L^{2}}$

Теорема. Сопряжением преобразования Фурье, ограниченного непрерывными функциями компактного носителя, является обратное преобразование Фурье

${\displaystyle L_{\nu }^{2}({\widehat {G}})\to L_{\mu }^{2}(G)}$

где двойственная мера к .${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mu }$

В случае, когда двойственная группа естественно изоморфна группе целых чисел, а преобразование Фурье специализируется на вычислении коэффициентов ряда Фурье периодических функций.${\displaystyle G=\mathbb {T} }$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Если G конечная группа, мы восстанавливаем дискретное преобразование Фурье . Отметим, что этот случай очень легко доказать напрямую.

Компактификация Бора и почти периодичность [ править ]

Одним из важных приложений двойственности Понтрягина является следующая характеризация компактных абелевых топологических групп:

Теорема . Локально компактная абелева группа G компактна тогда и только тогда, когда двойственная группа дискретна. Наоборот, группа G дискретна тогда и только тогда, когда она компактна.${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Это G будучи компактным подразумевает дискретно или что G является дискретным означает , что компактно является элементарным следствием определения компактно-открытой топологии и не нуждается в Понтрягина. Для доказательства обратного используется двойственность Понтрягина.${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$

Компактификация Бора определяется для любой топологической группы G , независимо от того, является ли G локально компактно или абелева. Одно из применений двойственности Понтрягина между компактными абелевыми группами и дискретными абелевыми группами состоит в том, чтобы охарактеризовать боровскую компактификацию произвольной абелевой локально компактной топологической группы. Компактификация Бора В (G) из G является , где Н имеет групповую структуру , но с учетом дискретной топологией . Поскольку карта включения${\displaystyle {\widehat {H}}}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$

${\displaystyle \iota :H\to {\widehat {G}}}$

является непрерывным и гомоморфизмом, двойственный морфизм

${\displaystyle G\sim {\widehat {\widehat {G}}}\to {\widehat {H}}}$

является морфизмом в компактную группу, которая, как легко показать, удовлетворяет требуемому универсальному свойству .

См. Также почти периодическую функцию .

Категориальные соображения [ править ]

Двойственность Понтрягина можно также выгодно считать функториально . В дальнейшем LCA - это категория локально компактных абелевых групп и непрерывных гомоморфизмов групп. Двойная группа конструкция представляет собой контравариантный функтор ДМС → LCA , представлен (в том смысле , представимых функторы ) группа окружности , как , в частности, двойной двойственный функтор является ковариантным . Категорическая формулировка двойственности Понтрягина утверждает, что естественное преобразование между тождественным функтором на LCA и двойным двойственным функтором является изоморфизмом.${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle \mathbb {T} }$${\displaystyle {\widehat {G}}={\text{Hom}}(G,\mathbb {T} ).}$${\displaystyle G\to {\widehat {\widehat {G}}}}$^[3] разматывание понятия естественной трансформации, это означаетчто картыявляются изоморфизмами для любой локально компактной абелевой группы G , и эти изоморфизмы функториальны в G . Этот изоморфизм является аналогом двойной двойной из конечномерных векторных пространств (частный случай, для вещественных и комплексных векторных пространств).${\displaystyle G\to \operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (G,T),T)}$

Непосредственным следствием этой формулировки является другая распространенная категориальная формулировка двойственности Понтрягина: двойственный групповой функтор является эквивалентностью категорий от LCA до LCA ^op .

Двойственность меняет местами подкатегории дискретных групп и компактных групп . Если R представляет собой кольцо и G является левый R - модуль , двойственная группа станет правым R - модулем; таким образом мы также видим, что дискретные левые R -модули будут двойственными по Понтрягину компактным правым R -модулям. Кольцо эндоморфизмов End ( G ) в LCA заменяется двойственностью на свое противоположное кольцо (поменять умножение на другой порядок). Например, если G - бесконечная циклическая дискретная группа,${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$является круговой группой: первая имеет, поэтому то же самое верно и в отношении второй.${\displaystyle {\text{End}}(G)=\mathbb {Z} }$

Обобщения [ править ]

Обобщения двойственности Понтрягина строятся в двух основных направлениях: для коммутативных топологических групп , не являющихся локально компактными , и для некоммутативных топологических групп. Теории в этих двух случаях очень разные.

Двойственности для коммутативных топологических групп [ править ]

Когда является хаусдорфовой абелевой топологической группой, группа с компактно-открытой топологией является хаусдорфовой абелевой топологической группой и имеет смысл естественное отображение из в ее дважды-двойственную . Если это отображение является изоморфизмом, то говорят , что удовлетворяет двойственность Понтрягина (или , что является рефлексивной группой , ^[4] или отражательными группы ^[5] ). Это было расширено в ряде направлений за пределы локально компактного случая . ^[6]${\displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\widehat {\widehat {G}}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

В частности, Самуэль Каплан ^{[7] [8]} показал в 1948 и 1950 годах, что произвольные произведения и счетные обратные пределы локально компактных (хаусдорфовых) абелевых групп удовлетворяют двойственности Понтрягина. Отметим, что бесконечное произведение локально компактных некомпактных пространств не является локально компактным.

Позже, в 1975 году, Рангачари Венкатараман ^[9] показал, среди прочего, что любая открытая подгруппа абелевой топологической группы, удовлетворяющая двойственности Понтрягина, сама удовлетворяет двойственности Понтрягина.

Совсем недавно Серджио Арданса-Тревихано и Мария Хесус Часко ^[10] расширили результаты Каплана, упомянутые выше. Они показали, что прямые и обратные пределы последовательностей абелевых групп, удовлетворяющих двойственности Понтрягина, также удовлетворяют двойственности Понтрягина, если группы являются метризуемыми или -пространствами, но не обязательно локально компактными, при условии, что последовательности удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.${\displaystyle k_{\omega }}$

Однако есть фундаментальный аспект, который меняется, если мы хотим рассматривать двойственность Понтрягина вне локально компактного случая. Елена Мартин-Пейнадор ^[11] в 1995 году доказала, что если - хаусдорфова абелева топологическая группа, удовлетворяющая двойственности Понтрягина, и естественное вычисление пары${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{cases}G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} \\(x,\chi )\mapsto \chi (x)\end{cases}}}$

непрерывно (совместно), ^[12] то локально компактно. Как следствие, все нелокально компактные примеры двойственности Понтрягина - это группы, в которых спаривание не (совместно) непрерывно.${\displaystyle G}$${\displaystyle G\times {\widehat {G}}\to \mathbb {T} }$

Другой способ обобщить двойственность Понтрягина на более широкие классы коммутативных топологических групп - это снабдить двойственную группу немного другой топологией, а именно топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах . Группы, удовлетворяющие тождеству при этом предположении ^[13] , называются стереотипными группами . ^[5] Этот класс также очень широк (и он содержит локально компактные абелевы группы), но он уже, чем класс рефлексивных групп. ^[5]${\displaystyle {\widehat {G}}}$${\displaystyle G\cong {\widehat {\widehat {G}}}}$

Двойственность Понтрягина для топологических векторных пространств [ править ]

В 1952 г. Марианна Ф. Смит ^[14] заметила, что банаховы пространства и рефлексивные пространства , рассматриваемые как топологические группы (с аддитивной групповой операцией), удовлетворяют двойственности Понтрягина. Позднее Б. С. Брудовский, ^[15] Уильям К. Уотерхаус ^[16] и К. Браунер ^[17] показали, что этот результат можно распространить на класс всех квазиполных бочкообразных пространств (в частности, на все пространства Фреше ). Сергей Акбаров ^[18] дал описание класса топологических векторных пространств, обладающих более сильным свойством, чем классическая рефлексивность Понтрягина, а именно тождеством

${\displaystyle (X^{\star })^{\star }\cong X}$

где означает пространство всех линейных непрерывных функционалов, наделенных топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах в (и означает двойственное к в том же смысле). Пространства этого класса называются стереотипными пространствами , и соответствующая теория нашла ряд приложений в функциональном анализе и геометрии, включая обобщение двойственности Понтрягина для некоммутативных топологических групп.${\displaystyle X^{\star }}$${\displaystyle f\colon X\to {\mathbb {C} }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X^{\star })^{\star }}$${\displaystyle X^{\star }}$

Двойственности для некоммутативных топологических групп [ править ]

Для некоммутативных локально компактных групп классическая конструкция Понтрягина перестает работать по разным причинам, в частности из-за того, что характеры не всегда разделяют точки группы , а неприводимые представления группы не всегда одномерны. В то же время неясно, как ввести умножение на множестве неприводимых унитарных представлений , и даже неясно, является ли это множество хорошим выбором на роль двойственного объекта для . Поэтому проблема построения двойственности в этой ситуации требует полного переосмысления.${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

Теории, построенные на сегодняшний день, делятся на две основные группы: теории, в которых дуальный объект имеет ту же природу, что и исходный (как в самой дуальности Понтрягина), и теории, в которых исходный объект и его двойник столь радикально отличаются друг от друга. что их нельзя считать объектами одного класса.

Теории второго типа исторически были первыми: вскоре после работы Понтрягина Тадао Таннака (1938) и Марк Крейн (1949) построили теорию двойственности для произвольных компактных групп, известную теперь как двойственность Таннаки – Крейна . ^{[19] [20]} В этой теории двойственным объектом для группы является не группа, а категория ее представлений .${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Pi (G)}$

Теории первого типа появились позже, и ключевым примером для них была теория двойственности для конечных групп. ^{[21] [22]} В этой теории категория конечных групп вкладывается операцией перевода групповой алгебры (над ) в категорию конечномерных алгебр Хопфа , так что функтор двойственности Понтрягина превращается в операцию взятия двойственного вектора пространство (которое является функтором двойственности в категории конечномерных алгебр Хопфа). ^[22]${\displaystyle G\mapsto {\mathbb {C} }_{G}}$ ${\displaystyle {\mathbb {C} }_{G}}$${\displaystyle {\mathbb {C} }}$${\displaystyle G\mapsto {\widehat {G}}}$${\displaystyle H\mapsto H^{*}}$

В 1973 г. Леонид И. Вайнерман, Джордж И. Кац, Мишель Энок и Жан-Мари Шварц построили общую теорию этого типа для всех локально компактных групп. ^[23] С 80-х годов прошлого века исследования в этой области возобновились после открытия квантовых групп , на которые начали активно переноситься построенные теории. ^[24] Эти теории сформулированы на языке C * -алгебр или алгебр фон Неймана , и одним из ее вариантов является недавняя теория локально компактных квантовых групп . ^{[25] [24]}

Однако один из недостатков этих общих теорий состоит в том, что в них объекты, обобщающие понятие группы, не являются алгебрами Хопфа в обычном алгебраическом смысле. ^[22] Этот недостаток может быть исправлен (для некоторых классов групп) в рамках теорий двойственности, построенных на основе понятия оболочки топологической алгебры. ^{[22] [26]}

См. Также [ править ]

• Теорема Питера – Вейля
• Картье двойственность
• Стереотипное пространство

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Диксмье, Жак (1969). Les C * -algèbres et leurs Représentations . Готье-Виллар. ISBN 978-2-87647-013-2.
• Энок, Мишель; Шварц, Жан-Мари (1992). Алгебры Каца и двойственность локально компактных групп . С предисловием Алена Конна. С постфайсом Адриана Окнеану. Берлин: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-3-662-02813-1 . ISBN 978-3-540-54745-7. Руководство по ремонту  1215933 .
• Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1963). Абстрактный гармонический анализ. Vol. I: Структура топологических групп. Теория интеграции, представления групп . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 115 . Берлин-Геттинген-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94190-5. Руководство по ремонту  0156915 .
• Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1970). Абстрактный гармонический анализ . 2 . ISBN 978-3-662-24595-8. Руководство по ремонту  0262773 .
• Кириллов, Александр А. (1976) [1972]. Элементы теории представлений . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 220 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-07476-4. Руководство по ремонту  0412321 .
• Лумис, Линн Х. (1953). Введение в абстрактный гармонический анализ . D. van Nostrand Co. ISBN 978-0486481234.
• Моррис, SA (1977). Двойственность Понтрягина и строение локально компактных абелевых групп . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521215435.
• Онищик А.Л. (1984). Понтрягинская двойственность . Энциклопедия математики . 4 . С. 481–482. ISBN 978-1402006098.
• Райтер, Ганс (1968). Классический гармонический анализ и локально компактные группы . ISBN 978-0198511892.
• Рудин, Вальтер (1962). Фурье-анализ на группах . D. van Nostrand Co. ISBN 978-0471523642.
• Тиммерманн, Т. (2008). Приглашение к квантовым группам и двойственности - от алгебр Хопфа до мультипликативных унитарных систем и не только . Учебники EMS по математике, Европейское математическое общество. ISBN 978-3-03719-043-2.
• Kustermans, J .; Ваес, С. (2000). «Локально компактные квантовые группы» . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 33 (6): 837–934. DOI : 10.1016 / s0012-9593 (00) 01055-7 .
• Арданца-Тревижано, Серхио; Часко, Мария Хесус (2005). «Двойственность Понтрягина секвенциальных пределов топологических абелевых групп». Журнал чистой и прикладной алгебры . 202 (1–3): 11–21. DOI : 10.1016 / j.jpaa.2005.02.006 . hdl : 10171/1586 . Руководство по ремонту  2163398 .
• Часко, Мария Хесус; Дикранджан, Дикран; Мартин-Пейнадор, Елена (2012). «Обзор рефлексивности абелевых топологических групп» . Топология и ее приложения . 159 (9): 2290–2309. DOI : 10.1016 / j.topol.2012.04.012 . Руководство по ремонту  2921819 .
• Каплан, Сэмюэл (1948). «Расширения двойственности Понтрягина. Часть I: бесконечные произведения». Математический журнал герцога . 15 : 649–658. DOI : 10.1215 / S0012-7094-48-01557-9 . MR  0026999 .
• Каплан, Сэмюэл (1950). «Расширения двойственности Понтрягина. Часть II: прямые и обратные пределы». Математический журнал герцога . 17 : 419–435. DOI : 10.1215 / S0012-7094-50-01737-6 . Руководство по ремонту  0049906 .
• Венкатараман, Рангачари (1975). «Расширения двойственности Понтрягина». Mathematische Zeitschrift . 143 (2): 105–112. DOI : 10.1007 / BF01187051 . S2CID  123627326 .
• Мартин-Пейнадор, Елена (1995). «Рефгибкая допустимая топологическая группа должна быть локально компактной». Труды Американского математического общества . 123 (11): 3563–3566. DOI : 10.2307 / 2161108 . hdl : 10338.dmlcz / 127641 . JSTOR  2161108 .
• Смит, Марианна Ф. (1952). «Теорема двойственности Понтрягина в линейных пространствах». Анналы математики . 56 (2): 248–253. DOI : 10.2307 / 1969798 . JSTOR  1969798 . Руководство по ремонту  0049479 .
• Брудовский, Б.С. (1967). «О k- и c-рефлексивности локально выпуклых векторных пространств». Литовский математический журнал . 7 (1): 17–21.
• Уотерхаус, Уильям К. (1968). «Двойственные группы векторных пространств» . Тихоокеанский математический журнал . 26 (1): 193–196. DOI : 10,2140 / pjm.1968.26.193 .
• Браунер, Кальман (1973). «Двойники пространств Фреше и обобщение теоремы Банаха – Дьедонне». Математический журнал герцога . 40 (4): 845–855. DOI : 10.1215 / S0012-7094-73-04078-7 .
• Акбаров, С.С. (2003). «Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств и в топологической алгебре». Журнал математических наук . 113 (2): 179–349. DOI : 10,1023 / А: 1020929201133 . S2CID  115297067 .
• Акбаров, Сергей С .; Шавгулидзе, Евгений Т. (2003). «О двух классах пространств, рефлексивных по Понтрягина» . Математический сборник . 194 (10): 3–26.
• Акбаров, Сергей С. (2009). «Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственности для групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы». Журнал математических наук . 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . DOI : 10.1007 / s10958-009-9646-1 . S2CID  115153766 .
• Акбаров, Сергей С. (2017). «Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 1». Журнал математических наук . 227 (5): 531–668. arXiv : 1303,2424 . DOI : 10.1007 / s10958-017-3599-6 . Руководство по ремонту  3790317 . S2CID  126018582 .
• Акбаров, Сергей С. (2017). «Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 2». Журнал математических наук . 227 (6): 669–789. arXiv : 1303,2424 . DOI : 10.1007 / s10958-017-3600-4 . Руководство по ремонту  3796205 . S2CID  128246373 .