Принцип суперпозиции

Совмещение почти плоские волны (диагональные линии) от удаленного источника и волн от следа из уток . Линейность сохраняется только приблизительно в воде и только для волн с малой амплитудой относительно их длины волны.

Катящееся движение как суперпозиция двух движений. Качение колеса можно описать как комбинацию двух отдельных движений: поступательного движения без вращения и вращения без перевода.

Принцип суперпозиции , ^[1] также известный как свойство суперпозиции , гласит, что для всех линейных систем суммарный ответ, вызванный двумя или более стимулами, является суммой ответов, которые были бы вызваны каждым стимулом индивидуально. Таким образом, если вход A дает ответ X, а вход B дает ответ Y, то вход ( A + B ) дает ответ ( X + Y ).

Функция , которая удовлетворяет принципу суперпозиции, называется линейной функцией . Суперпозицию можно определить двумя более простыми свойствами; аддитивность и однородность${\ Displaystyle F (х)}$

${\ Displaystyle F (x_ {1} + x_ {2}) = F (x_ {1}) + F (x_ {2}) \,}$ Аддитивность

${\ Displaystyle F (топор) = aF (х) \,}$ Однородность

для скаляра a .

Этот принцип имеет множество приложений в физике и технике, поскольку многие физические системы можно моделировать как линейные системы. Например, луч можно смоделировать как линейную систему, в которой входной стимул - это нагрузка на луч, а выходной ответ - отклонение луча. Важность линейных систем состоит в том, что их легче анализировать математически; существует большое количество математических методов, методов линейного преобразования в частотной области, таких как преобразования Фурье и Лапласа , и линейных операторов.теории, которые применимы. Поскольку физические системы обычно только приблизительно линейны, принцип суперпозиции является лишь приближением истинного физического поведения.

Принцип суперпозиции применяется к любой линейной системе, включая алгебраические уравнения , линейные дифференциальные уравнения и системы уравнений этих форм. Стимулами и ответами могут быть числа, функции, векторы, векторные поля , изменяющиеся во времени сигналы или любой другой объект, удовлетворяющий определенным аксиомам . Обратите внимание, что когда задействованы векторы или векторные поля, суперпозиция интерпретируется как векторная сумма .

Связь с анализом Фурье и аналогичными методами [ править ]

Записывая очень общий стимул (в линейной системе) как суперпозицию стимулов конкретной и простой формы, часто становится легче вычислить реакцию.

Например, в анализе Фурье стимул записывается как суперпозиция бесконечного множества синусоид . Благодаря принципу суперпозиции каждую из этих синусоид можно анализировать отдельно и вычислять ее индивидуальный отклик. (Ответ сам по себе является синусоидой с той же частотой, что и стимул, но, как правило, с другой амплитудой и фазой .) Согласно принципу суперпозиции, ответ на исходный стимул представляет собой сумму (или интеграл) всех отдельных синусоидальных ответов. .

В качестве другого распространенного примера, в анализе функций Грина , стимул записывается как суперпозиция бесконечного множества импульсных функций , и тогда ответ представляет собой суперпозицию импульсных откликов .

Анализ Фурье особенно распространен для волн . Например, в электромагнитной теории обычный свет описывается как суперпозиция плоских волн (волн фиксированной частоты , поляризации и направления). Пока выполняется принцип суперпозиции (что часто, но не всегда; см. Нелинейную оптику ), поведение любой световой волны можно понимать как суперпозицию поведения этих более простых плоских волн .

Суперпозиция волн [ править ]

Волны обычно описываются изменениями некоторых параметров в пространстве и времени, например, высотой в водной волне, давлением в звуковой волне или электромагнитным полем в световой волне. Значение этого параметра называется амплитудой волны, а сама волна является функцией, определяющей амплитуду в каждой точке.

В любой системе с волнами форма волны в данный момент времени является функцией источников (т. Е. Внешних сил, если таковые имеются, которые создают или влияют на волну) и начальных условий системы. Во многих случаях (например, в классическом волновом уравнении ) уравнение, описывающее волну, является линейным. Когда это так, можно применять принцип суперпозиции. Это означает, что суммарная амплитуда, вызванная двумя или более волнами, пересекающими одно и то же пространство, является суммой амплитуд, которые были бы созданы отдельными волнами по отдельности. Например, две волны, идущие навстречу друг другу, будут проходить сквозь друг друга без каких-либо искажений на другой стороне. (См. Изображение вверху.)

Дифракция волн против интерференции волн[ редактировать ]

Что касается суперпозиции волн, Ричард Фейнман писал: ^[2]

Никто никогда не мог удовлетворительно определить разницу между интерференцией и дифракцией. Это просто вопрос использования, и между ними нет конкретной важной физической разницы. Лучшее, что мы можем сделать, грубо говоря, это сказать, что когда есть только несколько источников, скажем два, мешающих, тогда результат обычно называется интерференцией, но если их большое количество, кажется, что слово дифракция чаще используется.

Другие авторы уточняют: ^[3]

Разница заключается в удобстве и условности. Если волны, которые должны быть наложены, происходят от нескольких когерентных источников, скажем, двух, эффект называется интерференцией. С другой стороны, если волны, которые должны быть наложены, возникают в результате разделения волнового фронта на бесконечно малые когерентные вейвлеты (источники), эффект называется дифракцией. То есть разница между двумя явлениями [вопрос] только в степени, и, по сути, это два предельных случая эффектов суперпозиции.

Еще один источник соглашается: ^[4]

Поскольку интерференционные полосы, наблюдаемые Юнгом, были дифракционной картиной двойной щели, эта глава [Фраунгоферовская дифракция], следовательно, является продолжением главы 8 [Интерференция]. С другой стороны, немногие оптики сочли бы интерферометр Майкельсона примером дифракции. Некоторые из важных категорий дифракции относятся к интерференции, которая сопровождает разделение волнового фронта, поэтому наблюдение Фейнмана в некоторой степени отражает трудности, которые могут возникнуть при различении разделения амплитуды и разделения волнового фронта.

Волновая интерференция [ править ]

На этой идее основано явление интерференции волн. Когда две или более волны пересекают одно и то же пространство, итоговая амплитуда в каждой точке является суммой амплитуд отдельных волн. В некоторых случаях, например, в наушниках с шумоподавлением , суммарное отклонение имеет меньшую амплитуду, чем вариации компонентов; это называется деструктивным вмешательством . В других случаях, например, в линейном массиве , суммарное отклонение будет иметь большую амплитуду, чем любой из компонентов по отдельности; это называется конструктивным вмешательством .

Отклонения от линейности [ править ]

В большинстве реальных физических ситуаций уравнение, описывающее волну, является лишь приблизительно линейным. В этих ситуациях принцип суперпозиции выполняется только приблизительно. Как правило, точность приближения имеет тенденцию улучшаться по мере уменьшения амплитуды волны. Примеры явлений, возникающих при неправильном выполнении принципа суперпозиции, можно найти в статьях по нелинейной оптике и нелинейной акустике .

Квантовая суперпозиция [ править ]

В квантовой механике основная задача состоит в том, чтобы вычислить, как определенный тип волны распространяется и ведет себя. Волна описывается волновой функцией , а уравнение, определяющее ее поведение, называется уравнением Шредингера . Первичный подход к вычислению поведения волновой функции состоит в том, чтобы записать ее как суперпозицию (называемую « квантовой суперпозицией ») (возможно, бесконечного множества) других волновых функций определенного типа - стационарных состояний , поведение которых особенно просто. Поскольку уравнение Шредингера линейно, поведение исходной волновой функции может быть вычислено с помощью принципа суперпозиции. ^[5]

Проективная природа квантово-механического пространства состояний имеет важное отличие: оно не допускает суперпозиций, о которых идет речь в данной статье. Квантово-механическое состояние - это луч в проективном гильбертовом пространстве , а не вектор . Сумма двух лучей не определена. Чтобы получить относительную фазу, мы должны разложить или разбить луч на составляющие

${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle = \ sum _ {j} {C_ {j}} | \ phi _ {j} \ rangle,}$

где и принадлежит ортонормированному базису. Класс эквивалентности позволяет придать четко определенное значение относительным фазам . ^[6]${\ displaystyle C_ {j} \ in {\ textbf {C}}}$${\ displaystyle | \ phi _ {j} \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi _ {i} \ rangle}$${\ displaystyle C_ {j}}$

Есть некоторое сходство между суперпозицией, представленной в основном на этой странице, и квантовой суперпозицией. Тем не менее, говоря о квантовой суперпозиции, Крамерс пишет: «Принцип [квантовой] суперпозиции ... не имеет аналогов в классической физике». Согласно Дираку : « суперпозиция, возникающая в квантовой механике, имеет существенно отличную природу от любой, встречающейся в классической теории [курсив в оригинале]». ^[7]

Проблемы с граничными значениями [ править ]

Распространенный тип краевой задачи - это (абстрактно говоря) нахождение функции y, которая удовлетворяет некоторому уравнению

${\ Displaystyle F (y) = 0}$

с некоторой спецификацией границ

${\ Displaystyle G (y) = z}$

Например, в уравнения Лапласа с граничными условиями Дирихле , Р будет вполне лапласиан оператор в области R , G будет оператор , который ограничивает у к границе R и Z будет функция , что у требуется , чтобы равняться на граница R .

В случае, если F и G оба являются линейными операторами, то принцип суперпозиции гласит, что суперпозиция решений первого уравнения является другим решением первого уравнения:

${\ Displaystyle F (y_ {1}) = F (y_ {2}) = \ cdots = 0 \ \ Rightarrow \ F (y_ {1} + y_ {2} + \ cdots) = 0}$

в то время как граничные значения накладываются друг на друга:

${\ Displaystyle G (y_ {1}) + G (y_ {2}) = G (y_ {1} + y_ {2})}$

Используя эти факты, если можно составить список решений первого уравнения, то эти решения можно аккуратно сложить в суперпозицию, чтобы оно удовлетворяло второму уравнению. Это один из распространенных методов решения краевых задач.

Разложение аддитивного состояния [ править ]

Рассмотрим простую линейную систему: По принципу суперпозиции, система может быть разложена с принципом суперпозиции доступен только для линейных систем. Однако декомпозиция аддитивного состояния может применяться не только к линейным, но и к нелинейным системам. Затем рассмотрим нелинейную систему, где - нелинейная функция. Посредством разложения по аддитивному состоянию система может быть «аддитивно» разложена на нее. Это разложение может помочь упростить конструкцию контроллера.
${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2}),x(0)=x_{0}.}$

${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=Ax_{1}+Bu_{1},x_{1}(0)=x_{0}.}$
${\displaystyle {\dot {x}}_{2}=Ax_{2}+Bu_{2},x_{2}(0)=0.}$

${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}.}$
${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+B(u_{1}+u_{2})+\phi (c^{T}x),x(0)=x_{0}.}$
${\displaystyle \phi }$
${\displaystyle {\dot {x}}_{1}=Ax_{1}+Bu_{1}+\phi (y_{d}),x_{1}(0)=x_{0}.}$
${\displaystyle {\dot {x}}_{2}=Ax_{2}+Bu_{2}+\phi (c^{T}x_{1}+c^{T}x_{2})-\phi (y_{d}),x_{2}(0)=0.}$

${\displaystyle x=x_{1}+x_{2}.}$

Другие примеры приложений [ править ]

• В электротехнике в линейной цепи вход (приложенный изменяющийся во времени сигнал напряжения) связан с выходом (ток или напряжение в любом месте цепи) посредством линейного преобразования. Таким образом, суперпозиция (то есть сумма) входных сигналов даст суперпозицию ответов. Использование анализа Фурье на этой основе особенно распространено. Для другого, родственного метода анализа схем, см. Теорема суперпозиции .
• В физике , уравнения Максвелла следует , что (возможно , изменяющийся во времени) распределения зарядов и токов связаны с электрическими и магнитными полями с помощью линейного преобразования. Таким образом, принцип суперпозиции может быть использован для упрощения вычисления полей, возникающих при заданном распределении заряда и тока. Этот принцип также применим к другим линейным дифференциальным уравнениям, возникающим в физике, таким как уравнение теплопроводности .
• В машиностроении суперпозиция используется для решения прогибов балки и конструкции комбинированных нагрузок, когда эффекты являются линейными (т. Е. Каждая нагрузка не влияет на результаты других нагрузок, и влияние каждой нагрузки существенно не меняет геометрию структурная система). ^[8] Метод наложения мод использует собственные частоты и формы колебаний для характеристики динамического отклика линейной конструкции. ^[9]
• В гидрогеологии принцип суперпозиции применяется к депрессии двух или более водяных скважин, перекачивающих идеальный водоносный горизонт . Этот принцип используется в методе аналитических элементов для разработки аналитических элементов, которые могут быть объединены в единую модель.
• В управлении технологическим процессом принцип суперпозиции используется в прогнозирующем управлении модели .
• Принцип суперпозиции может применяться, когда небольшие отклонения от известного решения нелинейной системы анализируются с помощью линеаризации .
• В музыке теоретик Джозеф Шиллингер использовал форму принципа суперпозиции как одну из основ своей теории ритма в своей системе музыкальной композиции Шиллингера .

История [ править ]

По словам Леона Бриллюэна , принцип суперпозиции был впервые сформулирован Даниэлем Бернулли в 1753 году: «Общее движение колеблющейся системы задается суперпозицией ее собственных колебаний». Этот принцип был отвергнут Леонардом Эйлером, а затем Джозефом Лагранжем . Позже это стало общепринятым, в основном благодаря работам Жозефа Фурье . ^[10]

См. Также [ править ]

• Разложение аддитивного состояния
• Beat (акустика)
• Когерентность (физика)
• Свертка
• Функция Грина
• Импульсивный ответ
• Вмешательство
• Квантовая суперпозиция

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с принципом суперпозиции на Викискладе?
• Словарное определение вмешательства в Викисловарь