Плоская волна

В физике , А плоская волна является частным случаем волны или полей : физическая величина, значение которой в любой момент, является постоянной в любой плоскости, перпендикулярные к фиксированному направлению в пространстве. ^[1]

Для любой позиции в пространстве и в любое время значение такого поля можно записать как${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle F ({\ vec {x}}, t) = G ({\ vec {x}} \ cdot {\ vec {n}}, t),}$

где - вектор единичной длины , а - функция, которая дает значение поля только на основе двух реальных параметров: времени и смещения точки по направлению . Последний постоянен в каждой плоскости, перпендикулярной к .${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ Displaystyle G (д, т)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle d = {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {n}}}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

Значения поля могут быть скалярами, векторами или любой другой физической или математической величиной. Они могут быть комплексными числами , как в комплексной экспоненциальной плоской волне . ${\ displaystyle F}$

Когда значения являются векторами, волна называется продольной волной, если векторы всегда коллинеарны вектору , и поперечной волной, если они всегда ортогональны (перпендикулярны) ему.${\ displaystyle F}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

Особые типы [ править ]

Бегущая плоская волна [ править ]

В фронтах плоской волны , распространяющиеся в 3-пространстве

Часто термин «плоская волна» относится конкретно к бегущей плоской волне , эволюцию которой во времени можно описать как простое перемещение поля с постоянной скоростью волны в направлении, перпендикулярном фронтам волны. Такое поле можно записать как ${\ displaystyle c}$

${\ Displaystyle F ({\ vec {x}}, t) = G \ left ({\ vec {x}} \ cdot {\ vec {n}} - ct \ right) \,}$

где теперь является функцией единственного реального параметра , описывающего "профиль" волны, а именно значения поля в момент времени , для каждого смещения . В таком случае это называется направлением распространения . Для каждого смещения движущаяся плоскость, перпендикулярная к на расстоянии от начала координат, называется « волновым фронтом ». Эта плоскость движется по направлению распространения со скоростью ; и значение поля будет таким же и постоянным во времени в каждой его точке. ^[2]${\ Displaystyle G (и)}$${\displaystyle u=d-ct}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}}$${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle d+ct}$${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle c}$

Синусоидальная плоская волна [ править ]

Этот термин также используется, даже более конкретно, для обозначения «монохроматической» или синусоидальной плоской волны : бегущей плоской волны, профиль которой является синусоидальной функцией. То есть,${\displaystyle G(u)}$

${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\sin \left(2\pi f({\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-ct)+\varphi \right)\,}$

Параметр , который может быть скаляром или вектором, называется амплитудой волны; скалярный коэффициент - это его «пространственная частота»; а скаляр - это его «фаза».${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varphi }$

Настоящая плоская волна не может существовать физически, потому что она должна заполнить все пространство. Тем не менее модель плоской волны важна и широко используется в физике. Волны, излучаемые любым источником с конечной протяженностью в большую однородную область пространства, могут быть хорошо аппроксимированы плоскими волнами, если смотреть на любую часть этой области, которая достаточно мала по сравнению с ее расстоянием от источника. Так обстоит дело, например, со световыми волнами от далекой звезды, которые попадают в телескоп.

Плоская стоячая волна [ править ]

Стоячая волна представляет собой поле, значение которого может быть выражена как произведение двух функций, одна зависит только от позиции, а другого только по времени. В частности, плоская стоячая волна может быть выражена как

${\displaystyle F({\vec {x}},t)=G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}})\,S(t)}$

где - функция одного скалярного параметра (смещения ) со скалярными или векторными значениями, а - скалярная функция времени. ${\displaystyle G}$${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}}$${\displaystyle S}$

Это представление не является уникальным, поскольку одинаковые значения полей получаются, если и масштабируются с помощью обратных коэффициентов. If ограничено интересующим интервалом времени (что обычно имеет место в физических контекстах) и может быть масштабировано так, чтобы максимальное значение было 1. Тогда будет максимальная величина поля, наблюдаемая в точке .${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle |S(t)|}$${\displaystyle S}$${\displaystyle G}$${\displaystyle |S(t)|}$${\displaystyle |G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}})|}$${\displaystyle {\vec {x}}}$

Свойства [ править ]

Плоскую волну можно изучать, игнорируя направления, перпендикулярные вектору направления ; то есть, рассматривая функцию как волну в одномерной среде. ${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle G(z,t)=F(z{\vec {n}},t)}$

Любой локальный оператор , линейный или нет, примененный к плоской волне, дает плоскую волну. Любая линейная комбинация плоских волн с одним и тем же нормальным вектором также является плоской волной.${\displaystyle {\vec {n}}}$

Для скалярной плоской волны в двух или трех измерениях градиент поля всегда коллинеарен направлению ; в частности, где - частная производная от по первому аргументу. ${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle \nabla F({\vec {x}},t)={\vec {n}}\partial _{1}G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}},t)}$${\displaystyle \partial _{1}G}$${\displaystyle G}$

Дивергенции вектора-значной плоской волны зависит только от проекции вектора в направлении . Конкретно,${\displaystyle G(d,t)}$${\displaystyle {\vec {n}}}$

${\displaystyle (\nabla \cdot F)({\vec {x}},t)\;=\;{\vec {n}}\cdot \partial _{1}G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}},t)}$

В частности, поперечная плоская волна удовлетворяет всем и .${\displaystyle \nabla \cdot F=0}$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle t}$

См. Также [ править ]

Найдите плоскую волну в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Расширение плоской волны
• Прямолинейное распространение
• Волновое уравнение
• Расширение Вейля

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Бреховских, Л. (1980). Волны в слоистых средах (2-е изд.). Нью-Йорк: Academic Press . ISBN 9780323161626.
• Джексон, Джон Дэвид (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Нью-Йорк: Вили . ISBN 9780471309321.