Синусоидальная плоская волна

В физике , А синусоидальная (или монохроматическая ) плоская волна является частным случаем плоской волны : а поле , значение которого изменяется в синусоидальной функцию времени и расстояния от некоторой фиксированной плоскости.

Для любой позиции в пространстве и в любое время значение такого поля можно записать как${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle F ({\ vec {x}}, т) = A \ соз \ влево (2 \ пи \ ню ({\ vec {x}} \ cdot {\ vec {n}} - ct) + \ varphi \верно)\,}$

где - вектор единичной длины , направление распространения волны, а " " обозначает скалярное произведение двух векторов. Параметр , который может быть скаляром или вектором, называется амплитудой волны; коэффициент , положительный скаляр, его пространственная частота ; а размерный скаляр , угол в радианах, является его начальной фазой или фазовым сдвигом .${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ varphi}$

Скалярная величина дает (знаковое) смещение точки от плоскости, которая перпендикулярна и проходит через начало системы координат. Эта величина постоянна в каждой плоскости, перпендикулярной к .${\ displaystyle d = {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {n}}}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

Время от времени поле меняется со смещением как синусоидальная функция.${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle d}$

${\ Displaystyle F ({\ vec {x}}, 0) = A \ соз \ влево (2 \ пи \ ню ({\ vec {x}} \ cdot {\ vec {n}}) + \ varphi \ right ) \,}$

Пространственная частота - это количество полных циклов на единицу длины вдоль направления . При любом другом значении поля значения смещаются на расстояние в направлении . То есть кажется, что все поле движется в этом направлении со скоростью .${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle ct}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle c}$

Для каждого смещения движущаяся плоскость, перпендикулярная к на расстоянии от начала координат, называется волновым фронтом . Этот самолет находится на расстоянии от начала координат, когда , и движется в направлении также со скоростью ; и значение поля будет таким же и постоянным во времени в каждой его точке.${\ displaystyle d}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle d + ct}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle c}$

Синусоидальная плоская волна может быть подходящей моделью для звуковой волны в объеме воздуха, который мал по сравнению с расстоянием до источника (при условии, что нет эхо-сигналов от близких объектов). В этом случае это будет скалярное поле, отклонение давления воздуха в момент времени от нормального уровня.${\ Displaystyle F ({\ vec {x}}, т) \,}$${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle t}$

В любой фиксированной точке поле также будет изменяться синусоидально со временем; это будет скалярное кратное амплитуде между и${\ displaystyle {\ vec {x}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle + A}$${\ displaystyle -A}$

Когда амплитуда представляет собой вектор, ортогональный к , волна называется поперечной . Такие волны могут иметь поляризацию , если могут быть ориентированы по двум неколлинеарным направлениям. Когда вектор коллинеарен , волна называется продольной . Эти две возможности иллюстрируются S (поперечными) волнами и P (волнами давления), изучаемыми в сейсмологии .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

Приведенная выше формула дает чисто «кинематическое» описание волны без ссылки на какой-либо физический процесс, который может вызывать ее движение. В механической или электромагнитной волне, которая распространяется через изотропную среду, вектор кажущегося распространения волны также является направлением, в котором фактически течет энергия или импульс. Однако в анизотропной среде эти два направления могут быть разными . ^[1]${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

Альтернативные представления [ править ]

Та же синусоидальная плоская волна, описанная выше, также может быть выражена через синус вместо косинуса с использованием элементарного тождества${\ displaystyle F}$${\displaystyle \cos a=\sin(a+\pi /2)}$

${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\sin \left(2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-ct)+\varphi '\right)\,}$

где . Таким образом, значение и смысл фазового сдвига зависит от того, определена ли волна в терминах синуса или косинуса.${\displaystyle \varphi '=\varphi +\pi /2}$

Добавление любого целого числа, кратного начальной фазе , не влияет на поле. Добавление нечетного кратного числа имеет тот же эффект, что и отрицание амплитуды . Присвоение отрицательного значения пространственной частоте приводит к изменению направления распространения на противоположное с соответствующей настройкой начальной фазы.${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \nu }$

Когда время равно нулю, положительный фазовый сдвиг приводит к смещению волны влево.

Формулу синусоидальной плоской волны можно записать еще несколькими способами:

• ${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\cos(2\pi [({\vec {x}}\cdot {\vec {n}})/\lambda -t/T]+\varphi )}$

Вот это длина волны , расстояние между двумя волновыми фронтами , где поле равно амплитудой ; и - период изменения поля во времени, наблюдаемый в любой фиксированной точке пространства. Обратной величиной является временная частота волны, измеренная полными циклами в единицу времени.${\displaystyle \lambda =1/\nu }$${\displaystyle A}$${\displaystyle T=\lambda /c}$${\displaystyle f=1/T}$

• ${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\cos(k({\vec {x}}\cdot {\vec {n}})-\omega t+\varphi )}$

Это параметр, называемый угловым волновым числом (измеряется в радианах на единицу длины), и представляет собой угловую частоту изменения в фиксированной точке (в радианах в единицу времени).${\displaystyle k=2\pi \nu =2\pi /\lambda }$${\displaystyle \omega =2\pi /T}$

• ${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\cos(2\pi ({\vec {x}}\cdot {\vec {v}})-\omega t+\varphi )}$

где - вектор пространственной частоты или волновой вектор , трехмерный вектор, где - количество полных циклов, которые происходят на единицу длины в любой фиксированный момент времени вдоль любой прямой линии, параллельной оси координат .${\displaystyle {\vec {v}}=\nu {\vec {n}}={\vec {n}}/\lambda }$${\displaystyle {\vec {v}}=(v_{1},v_{2},v_{3})}$${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle i}$

Сложная экспоненциальная форма [ править ]

Плоская синусоидальная волна также может быть выражена через комплексную экспоненциальную функцию

${\displaystyle e^{{\boldsymbol {i}}z}=\exp({\boldsymbol {i}}z)=\cos z+{\boldsymbol {i}}\sin z}$

где это основание из естественной экспоненциальной функции , и это мнимая единица , определяется уравнением . С помощью этих инструментов можно определить комплексную экспоненциальную плоскую волну как${\displaystyle e}$${\displaystyle {\boldsymbol {i}}\,}$${\displaystyle {\boldsymbol {i}}^{2}=-1}$

${\displaystyle U({\vec {x}},t)\;=\;A\exp[{\boldsymbol {i}}(2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-ct)+\varphi )]\;=\;A\exp[{\boldsymbol {i}}(2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t+\varphi )]}$

где определены для (реальной) синусоидальной плоской волны. Это уравнение дает поле , значение которого представляет собой комплексное число или вектор с комплексными координатами. Чтобы получить${\displaystyle A,\nu ,{\vec {n}},c,{\vec {v}},\omega ,\varphi }$${\displaystyle U({\vec {x}},t)}$

${\displaystyle F({\vec {x}},t)={\text{Re}}[U({\vec {x}},t)]}$

Чтобы понять связь этого уравнения с предыдущими, ниже приведено то же уравнение, выраженное с помощью синусов и косинусов. Обратите внимание, что первый член равен реальной форме только что обсужденной плоской волны.

${\displaystyle U({\vec {x}},t)=A\cos(2\pi \nu {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )+{\boldsymbol {i}}A\sin(2\pi \nu {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )}$

${\displaystyle U({\vec {x}},t)=\qquad \ \ F({\vec {x}},t)\qquad \qquad +{\boldsymbol {i}}A\sin(2\pi \nu {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )}$

Введенная комплексная форма плоской волны может быть упрощена путем использования комплексной амплитуды вместо действительной амплитуды . В частности, поскольку сложная форма${\displaystyle C\,}$${\displaystyle A\,}$

${\displaystyle \exp[{\boldsymbol {i}}(2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t+\varphi )]\;=\;\exp[{\boldsymbol {i}}(2\pi \nu {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)]\,e^{{\boldsymbol {i}}\varphi }}$

можно преобразовать фазовый множитель в комплексную амплитуду , позволив , что приведет к более компактному уравнению${\displaystyle e^{{\boldsymbol {i}}\varphi }}$${\displaystyle C=Ae^{{\boldsymbol {i}}\varphi }}$

${\displaystyle U({\vec {x}},t)=C\exp[{\boldsymbol {i}}(2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t)]}$

Хотя комплексная форма имеет мнимую составляющую, после выполнения необходимых вычислений в комплексной плоскости ее реальное значение может быть извлечено, давая вещественное уравнение, представляющее реальную плоскую волну.

${\displaystyle \operatorname {Re} [U({\vec {x}},t)]=F({\vec {x}},t)=A\cos(2\pi \nu {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )}$

Основная причина, по которой можно было бы работать со сложной экспоненциальной формой плоских волн, заключается в том, что комплексные экспоненты часто алгебраически легче обрабатывать, чем тригонометрические синусы и косинусы. В частности, правила сложения углов чрезвычайно просты для экспонент.

Кроме того, при использовании методов анализа Фурье для волн в среде с потерями , с результирующим затуханием легче справиться, используя комплексные коэффициенты Фурье . Если волна распространяется через среду с потерями, амплитуда волны больше не является постоянной, и поэтому волна, строго говоря, больше не является истинной плоской волной.

В квантовой механике решения волнового уравнения Шредингера по самой своей природе являются комплексными и в простейшем случае принимают форму, идентичную приведенному выше представлению комплексной плоской волны. Мнимая составляющая в этом случае, однако, не была введена с целью математической целесообразности, а фактически является неотъемлемой частью «волны».

В специальной теории относительности можно использовать еще более компактное выражение, используя четырехвекторы .

Четырехпозиционный ${\displaystyle {\vec {x}}=(ct,{\vec {x}})}$

Четыре-волновой вектор ${\displaystyle 2\pi \nu {\vec {n}}=\left({\frac {\omega }{c}},2\pi \nu {\vec {n}}\right)}$

Скалярное произведение ${\displaystyle 2\pi \nu {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}=\omega t-2\pi \nu {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}}$

Таким образом,

${\displaystyle U({\vec {x}},t)=C\exp[{\boldsymbol {i}}(2\pi \nu {\vec {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)]}$

становится

${\displaystyle U({\vec {x}})=C\exp[-{\boldsymbol {i}}(2\pi \nu {\vec {n}}\cdot {\vec {x}})]}$

Приложения [ править ]

Уравнения, описывающие электромагнитное излучение в однородной диэлектрической среде, допускают в качестве частных решений синусоидальные плоские волны. В электромагнетизме поле обычно представляет собой электрическое поле , магнитное поле или векторный потенциал , который в изотропной среде перпендикулярен направлению распространения . Тогда амплитуда представляет собой вектор той же природы, равный полю максимальной напряженности. Скорость распространения будет скоростью света в среде.${\displaystyle F}$${\displaystyle {\vec {n}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle c}$

Уравнения, описывающие колебания в однородном упругом твердом теле, также допускают решения, которые представляют собой плоские синусоидальные волны, как поперечные, так и продольные. Эти два типа имеют разные скорости распространения, которые зависят от плотности и параметров Ламе среды.

Тот факт, что среда определяет скорость распространения, означает, что параметры и должны удовлетворять дисперсионному соотношению, характерному для среды. Дисперсии часто выражается в виде функции, . Отношение дает величину фазовой скорости , а производная дает групповую скорость . Для электромагнетизма в изотропной среде с показателем преломления фазовая скорость равна , что равняется групповой скорости, если показатель не зависит от частоты.${\displaystyle \omega }$${\displaystyle k}$${\displaystyle \omega (k)}$${\displaystyle \omega /|k|}$${\displaystyle \partial \omega /\partial k}$${\displaystyle r}$${\displaystyle c/r}$

В линейных однородных средах общее решение волнового уравнения может быть выражено как суперпозиция синусоидальных плоских волн. Этот подход известен как метод углового спектра . Форма решения с плоской волной на самом деле является общим следствием трансляционной симметрии . В более общем смысле, для периодических структур с дискретной трансляционной симметрией решения принимают форму блоховских волн , наиболее известных в кристаллических атомных материалах, а также в фотонных кристаллах и других периодических волновых уравнениях. В качестве другого обобщения, для структур, однородных только в одном направлении x (например, волновода вдольx ) решения (волноводные моды) имеют вид exp [ i ( kx - ωt )], умноженный на некоторую амплитудную функцию a ( y , z ). Это частный случай разделимого уравнения в частных производных .

Поляризованные электромагнитные плоские волны [ править ]

Представлена в первой иллюстрации к правому являются линейно поляризованными , электромагнитными волнами . Поскольку это плоская волна, каждый синий вектор , обозначающий перпендикулярное смещение от точки на оси к синусоиде, представляет величину и направление электрического поля для всей плоскости, перпендикулярной оси.

На втором рисунке представлена плоская электромагнитная волна с круговой поляризацией . Каждый синий вектор, указывающий перпендикулярное смещение от точки на оси к спирали, также представляет величину и направление электрического поля для всей плоскости, перпендикулярной оси.

На обеих иллюстрациях вдоль осей расположена серия более коротких синих векторов, которые представляют собой уменьшенные версии более длинных синих векторов. Эти более короткие синие векторы экстраполируются в блок черных векторов, которые заполняют объем пространства. Обратите внимание, что для данной плоскости черные векторы идентичны, что указывает на то, что величина и направление электрического поля постоянны вдоль этой плоскости.

В случае линейно поляризованного света напряженность поля от плоскости к плоскости изменяется от максимума в одном направлении до нуля, а затем обратно до максимума в противоположном направлении.

В случае циркулярно поляризованного света напряженность поля остается постоянной от плоскости к плоскости, но ее направление постоянно меняется по типу вращения.

Ни на одной из иллюстраций не указано соответствующее электрическое поле магнитное поле, которое пропорционально по напряженности электрическому полю в каждой точке пространства, но расположено под прямым углом к ​​нему. Иллюстрации векторов магнитного поля будут практически идентичны этим, за исключением того, что все векторы будут повернуты на 90 градусов вокруг оси распространения так, чтобы они были перпендикулярны как направлению распространения, так и вектору электрического поля.

Отношение амплитуд компонент электрического и магнитного полей плоской волны в свободном пространстве известно как волновое сопротивление в свободном пространстве , равное 376,730313 Ом.

См. Также [ править ]

Найдите синусоидальную плоскую волну в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Метод углового спектра
• Коллимированный пучок
• Плоские волны в вакууме
• Расширение плоской волны
• Прямолинейное распространение
• Волновое уравнение

Ссылки [ править ]

• Дж. Д. Джексон, Классическая электродинамика (Wiley: Нью-Йорк, 1998).
• Л. М. Бреховских, "Волны в слоистых средах", Серия: Прикладная математика и механика, том 16, (Academic Press, 1980).