В математике , физика и инженерии , в евклидове векторе или просто вектор (иногда называемый геометрический вектор [1] или пространственный вектор [2] ) представляет собой геометрический объект , который имеет величину (или длину ) и направление . Векторы могут быть добавлены к другим векторам согласно векторной алгебре . Евклидов вектор часто представляется в виде луча ( направленного отрезка прямой ) или графически в виде стрелки, соединяющей начальную точку A с точкойконечная точка B , [3] и обозначается. [4]
Вектор - это то, что нужно, чтобы «перенести» точку A в точку B ; латинское слово « вектор» означает «носитель». [5] Впервые он был использован астрономами 18-го века, исследовавшими вращение планет вокруг Солнца. [6] Величина вектора представляет собой расстояние между двумя точками, и направление относится к направлению перемещения от A до B . Многие алгебраические операции над действительными числами, такие как сложение , вычитание , умножение и отрицание, имеют близкие аналоги для векторов [7] операций, которые подчиняются знакомым алгебраическим законам коммутативности , ассоциативности и дистрибутивности . Эти операции и связанные с ними законы квалифицируют евклидовы векторы как пример более обобщенной концепции векторов, определяемых просто как элементы векторного пространства .
Векторы играют важную роль в физике : скорость и ускорение движущегося объекта, а также силы, действующие на него, можно описать векторами. [8] Многие другие физические величины можно рассматривать как векторы. Хотя большинство из них не представляют расстояния (за исключением, например, положения или смещения ), их величина и направление все же могут быть представлены длиной и направлением стрелки. Математическое представление физического вектора зависит от системы координат, используемой для его описания. К другим векторным объектам, которые описывают физические величины и аналогичным образом трансформируются при изменении системы координат, относятся псевдовекторы и тензоры . [9]
История
Концепция вектора, как мы ее знаем сегодня, развивалась постепенно в течение более 200 лет. Существенный вклад в его развитие внесли около десятка человек. [10]
В 1835 году Джусто Беллавитис абстрагировался от основной идеи, создав концепцию равноправия . Работая на евклидовой плоскости, он сделал равноправными любую пару отрезков прямой одинаковой длины и ориентации. По сути, он реализовал отношение эквивалентности на парах точек (бипоинтах) на плоскости и, таким образом, построил первое пространство векторов на плоскости. [10] : 52–4
Термин вектор был введен William Rowan Hamilton как часть кватерниона , которая является суммой Q = ев + v о наличии действительного числа сек (также называется скаляр ) и 3-мерный вектор . Как и Беллавитис, Гамильтон рассматривал векторы как представители классов равноправных направленных сегментов. Как комплексные числа использовать мнимую единицу в дополнении к реальной линии , Гамильтон рассматривал вектор V быть мнимой частью кватерниона:
- Алгебраически мнимая часть, геометрически построенная прямой линией или радиус-вектором, который, как правило, для каждого определенного кватерниона имеет определенную длину и определенное направление в пространстве, может называться векторной частью или просто вектором кватернион. [11]
Несколько других математиков разработали векторные системы в середине девятнадцатого века, включая Огюстена Коши , Германа Грассмана , Августа Мёбиуса , графа де Сен-Венана и Мэтью О'Брайена . Работа Грассмана 1840 года Theorie der Ebbe und Flut (Теория приливов и отливов) была первой системой пространственного анализа, которая похожа на сегодняшнюю систему и содержала идеи, соответствующие перекрестному произведению, скалярному произведению и векторному дифференцированию. Работы Грассмана в значительной степени игнорировались до 1870-х годов. [10]
Питер Гатри Тейт нес кватернионный стандарт после Гамильтона. Его « Элементарный трактат о кватернионах» 1867 года включал обширную трактовку оператора набла или дель ∇.
В 1878 году Уильям Кингдон Клиффорд опубликовал « Элементы динамики» . Клиффорд упростил исследование кватернионов, выделив скалярное произведение и кросс-произведение двух векторов из полного кватернионного продукта. Этот подход сделал векторные вычисления доступными для инженеров - и других людей, работающих в трех измерениях и скептически относящихся к четвертому.
Джозайя Уиллард Гиббс , который подвергся воздействию кватернионов в « Трактате об электричестве и магнетизме» Джеймса Клерка Максвелла , выделил их векторную часть для независимого рассмотрения. Первая половина книги Гиббса « Элементы векторного анализа» , опубликованной в 1881 году, представляет собой, по сути, современную систему векторного анализа. [10] [7] В 1901 году Эдвин Бидвелл Вильсон опубликовал « Векторный анализ» , адаптированный из лекций Гибба, из которого исключено любое упоминание кватернионов при разработке векторного исчисления.
Обзор
В физике и технике вектор обычно рассматривается как геометрическая сущность, характеризующаяся величиной и направлением. Формально он определяется как направленный линейный сегмент или стрелка в евклидовом пространстве . [12] В чистой математике вектор определяется в более общем смысле как любой элемент векторного пространства . В этом контексте векторы являются абстрактными объектами, которые могут характеризоваться или не характеризоваться величиной и направлением. Это обобщенное определение подразумевает, что вышеупомянутые геометрические объекты представляют собой особый вид векторов, поскольку они являются элементами особого типа векторного пространства, называемого евклидовым пространством .
Эта статья о векторах, строго определенных как стрелки в евклидовом пространстве. Когда возникает необходимость отличить эти специальные векторы от векторов, как это определено в чистой математике, их иногда называют геометрическими , пространственными или евклидовыми векторами.
Евклидов вектор, являясь стрелкой, имеет определенную начальную и конечную точки . Вектор с фиксированной начальной и конечной точкой называется связанным вектором . [13] Когда только величина и направление вектора имеют значение, тогда конкретная начальная точка не имеет значения, и вектор называется свободным вектором . Таким образом, две стрелки а также в пространстве представляют собой один и тот же свободный вектор, если они имеют одинаковую величину и направление: то есть они равноправны, если четырехугольник ABB′A ′ является параллелограммом . Если евклидово пространство оснащено возможностью выбора начала координат , то свободный вектор эквивалентен связанному вектору той же величины и направления, начальная точка которого является началом координат.
Термин вектор также имеет обобщения на более высокие измерения и на более формальные подходы с гораздо более широкими приложениями.
Примеры в одном измерении
Поскольку физическая концепция силы имеет направление и величину, ее можно рассматривать как вектор. В качестве примера рассмотрим направленную вправо силу F, равную 15 ньютонам . Если положительная ось также направлена вправо, тогда F представлен вектором 15 N, а если положительные точки влево, то вектор для F равен -15 N. В любом случае величина вектора равна 15 N. Аналогичным образом, векторное представление смещения Δ s в 4 метра будет 4 м или -4 м, в зависимости от его направления, а его величина будет 4 м независимо.
По физике и технике
Векторы имеют фундаментальное значение в физических науках. Их можно использовать для представления любой величины, имеющей величину, направление и соблюдающую правила сложения векторов. Примером может служить скорость , величина которой равна скорости . Например, скорость вверх 5 метров в секунду может быть представлена вектором (0, 5) (в 2-х измерениях с положительной осью Y как «вверх»). Другая величина, представленная вектором, - это сила , поскольку она имеет величину и направление и подчиняется правилам сложения векторов. [8] Векторы также описывают многие другие физические величины, такие как линейное смещение, смещение , линейное ускорение, угловое ускорение , линейный момент и угловой момент . Другие физические векторы, такие как электрическое и магнитное поля , представлены как система векторов в каждой точке физического пространства; то есть векторное поле . Примерами величин, которые имеют величину и направление, но не соответствуют правилам сложения векторов, являются угловое смещение и электрический ток. Следовательно, это не векторы.
В декартовом пространстве
В декартовой системе координат связанный вектор может быть представлен путем определения координат его начальной и конечной точки. Например, точки A = (1, 0, 0) и B = (0, 1, 0) в пространстве определяют вектор границыуказывающий от точки x = 1 на оси x до точки y = 1 на оси y .
В декартовых координатах свободный вектор можно представить в терминах соответствующего связанного вектора, в этом смысле, начальная точка которого имеет координаты начала координат O = (0, 0, 0) . Затем он определяется координатами конечной точки этого связанного вектора. Таким образом, свободный вектор, представленный (1, 0, 0), является вектором единичной длины, указывающим в направлении положительной оси x .
Это координатное представление свободных векторов позволяет выразить их алгебраические свойства удобным числовым способом. Например, сумма двух (свободных) векторов (1, 2, 3) и (−2, 0, 4) является (свободным) вектором
- (1, 2, 3) + (−2, 0, 4) = (1-2, 2 + 0, 3 + 4) = (−1, 2, 7).
Евклидовы и аффинные векторы
В геометрических и физических параметрах иногда можно естественным образом связать длину или величину и направление с векторами. Кроме того, понятие направления строго связано с понятием угла между двумя векторами. Если определено скалярное произведение двух векторов - скалярное произведение двух векторов - тогда также можно определить длину; скалярное произведение дает удобную алгебраическую характеристику как угла (функция скалярного произведения между любыми двумя ненулевыми векторами), так и длины (квадратный корень из скалярного произведения самого вектора). Кроме того, в трех измерениях можно определить перекрестное произведение , которое обеспечивает алгебраическую характеристику площади и ориентации в пространстве параллелограмма, определяемого двумя векторами (используемыми как стороны параллелограмма). В любом измерении (и, в частности, в более высоких измерениях) можно определить внешний продукт , который (среди прочего) обеспечивает алгебраическую характеристику площади и ориентации в пространстве n -мерного параллелогранника, определяемого n векторами.
Однако не всегда возможно или желательно определять длину вектора естественным образом. Этот более общий тип пространственного вектора является предметом векторных пространств (для свободных векторов) и аффинных пространств (для связанных векторов, поскольку каждое из них представлено упорядоченной парой «точек»). Важным примером является пространство Минковского (которое важно для нашего понимания специальной теории относительности ), где существует обобщение длины, которое позволяет ненулевым векторам иметь нулевую длину. Другие физические примеры взяты из термодинамики , где многие из интересующих величин можно рассматривать как векторы в пространстве без понятия длины или угла. [14]
Обобщения
В физике, а также в математике вектор часто идентифицируется с кортежем компонентов или списком чисел, которые действуют как скалярные коэффициенты для набора базисных векторов . Когда базис преобразуется, например, вращением или растяжением, тогда компоненты любого вектора в терминах этого базиса также преобразуются в противоположном смысле. Сам вектор не изменился, но основание изменилось, поэтому компоненты вектора должны измениться для компенсации. Вектор называется ковариантным или контравариантным , в зависимости от того, как преобразование компонентов вектора связано с преобразованием базиса. В общем, контравариантные векторы - это «регулярные векторы» с единицами измерения расстояния (такими как смещение) или расстояния, умноженного на некоторые другие единицы (такие как скорость или ускорение); ковариантные векторы, с другой стороны, имеют единицы измерения расстояния, такие как градиент . Если вы измените единицы измерения (частный случай изменения основы) с метров на миллиметры, масштабный коэффициент 1/1000, смещение 1 м станет 1000 мм - контравариантное изменение числового значения. Напротив, градиент 1 К / м становится 0,001 К / мм - ковариантное изменение значения (подробнее см. Ковариация и контравариантность векторов ). Тензоры - это еще один тип величин, которые ведут себя подобным образом; вектор - это один из типов тензора .
В чистой математике вектор - это любой элемент векторного пространства над некоторым полем, который часто представляется как вектор координат . Векторы, описанные в этой статье, являются очень частным случаем этого общего определения, потому что они контравариантны по отношению к окружающему пространству. Контравариантность отражает физическую интуицию, лежащую в основе идеи о том, что вектор имеет «величину и направление».
Представления
Векторы обычно обозначаются строчными полужирными буквами , как в, а также , [4] или строчными курсивом жирным шрифтом, как в a . ( Прописные буквы , как правило , используются для представления матриц .) Другие конвенции включаютили a , особенно почерк. В качестве альтернативы некоторые используют тильду (~) или волнистую линию подчеркивания, нарисованную под символом, например, которое является условным обозначением полужирного шрифта. Если вектор представляет собой направленное расстояние или смещение от точки A до точки B (см. Рисунок), его также можно обозначить какили AB . В немецкой литературе было особенно распространено представление векторов маленькими дробными буквами, такими как.
Векторы обычно показаны на графиках или других диаграммах в виде стрелок (направленных сегментов линии ), как показано на рисунке. Здесь, точка называется происхождение , хвост , основание , или начальная точка , а точка В называется головкой , наконечник , конечную точку , конечный пункт или конечный пункт . Длина стрелки пропорциональна величине вектора , а направление, в котором указывает стрелка, указывает направление вектора.
На двумерной диаграмме, вектор перпендикулярно к плоскости диаграммы иногда желательно. Эти векторы обычно обозначаются маленькими кружками. Круг с точкой в центре (Unicode U + 2299 ⊙) указывает вектор, указывающий из передней части диаграммы в сторону зрителя. Круг с вписанным в него крестом (Unicode U + 2297 ⊗) указывает вектор, указывающий на диаграмму и позади нее. Это можно представить как наблюдение за кончиком наконечника стрелы и наблюдение за полетами стрелы со спины.
Для вычислений с помощью векторов графическое представление может быть слишком громоздким. Векторы в n- мерном евклидовом пространстве могут быть представлены как координатные векторы в декартовой системе координат . Конечная точка вектора может быть идентифицирована с помощью упорядоченного списка из n действительных чисел ( n - кортеж ). Эти числа являются координатами конечной точки вектора относительно данной декартовой системы координат и обычно называются скалярными компонентами (или скалярными проекциями ) вектора на оси системы координат.
В качестве примера в двух измерениях (см. Рисунок) вектор от начала координат O = (0, 0) до точки A = (2, 3) просто записывается как
Представление о том, что хвост вектора совпадает с началом координат, неявно и легко понимается. Таким образом, более явное обозначение обычно считается ненужным (и действительно редко используется).
В трехмерном евклидовом пространстве (или R 3 ) векторы отождествляются с тройками скалярных компонентов:
- также написано
Это можно обобщить на n-мерное евклидово пространство (или R n ).
Эти числа часто объединяются в вектор-столбец или вектор- строку , особенно при работе с матрицами , следующим образом:
Другой способ представить вектор в n -мерностях - ввести стандартные базисные векторы. Например, в трех измерениях их три:
Они имеют интуитивную интерпретацию , как векторы единичной длины , направленная вверх на х -, у -, а г оси х в А декартовой системе координат , соответственно. С их помощью любой вектор a в R 3 может быть выражен в виде:
или же
где a 1 , a 2 , a 3 называются компонентами вектора (или проекциями вектора ) a на базисные векторы или, что то же самое, на соответствующие декартовы оси x , y и z (см. рисунок), а a 1 , a 2 , a 3 - соответствующие скалярные компоненты (или скалярные проекции).
В вводных учебниках физики стандартные базисные векторы часто обозначают вместо этого (или , в котором символ шляпы ^ обычно обозначает единичные векторы ). В этом случае скалярная и векторная компоненты обозначаются соответственно a x , a y , a z и a x , a y , a z (обратите внимание на разницу, выделенную жирным шрифтом). Таким образом,
Обозначение e i совместимо с обозначением индекса и соглашением о суммировании, обычно используемым в математике, физике и инженерии более высокого уровня.
Разложение или разрешение
Как объяснялось выше , вектор часто описывается набором компонентов вектора, которые в сумме образуют данный вектор. Обычно эти компоненты являются проекциями вектора на набор взаимно перпендикулярных опорных осей (базисных векторов). Говорят, что вектор разложен или разрешен относительно этого набора.
Разложение или разрешение [15] вектора на компоненты не является уникальным, потому что оно зависит от выбора осей, на которые проецируется вектор.
Кроме того, использование декартовых единичных векторов, таких как в качестве основы для представления вектора не требуется. Векторы также могут быть выражены в терминах произвольного базиса, включая единичные векторы цилиндрической системы координат () или сферической системы координат (). Последние два варианта более удобны для решения задач, обладающих цилиндрической или сферической симметрией соответственно.
Выбор базиса не влияет на свойства вектора или его поведение при преобразованиях.
Вектор также может быть разбит на «нефиксированные» базисные векторы, которые меняют свою ориентацию в зависимости от времени или пространства. Например, вектор в трехмерном пространстве можно разложить относительно двух осей, соответственно нормальной и касательной к поверхности (см. Рисунок). Кроме того, радиальные и тангенциальные компоненты вектора связаны с радиусом от поворота объекта. Первый параллелен радиусу, а второй ортогонален ему. [16]
В этих случаях каждый из компонентов может быть, в свою очередь, разложен по фиксированной системе координат или базисному набору (например, глобальной системе координат или инерциальной системе отсчета ).
Основные свойства
В следующем разделе используется декартова система координат с базисными векторами.
и предполагает, что все векторы имеют начало в качестве общей базовой точки. Вектор a запишется как
Равенство
Два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую величину и направление. Равнозначно они будут равны, если их координаты равны. Итак, два вектора
а также
равны, если
Противоположные, параллельные и антипараллельные векторы
Два вектора противоположны, если они имеют одинаковую величину, но противоположное направление. Итак, два вектора
а также
противоположны, если
Два вектора параллельны, если они имеют одинаковое направление, но не обязательно одинаковой величины, или антипараллельны, если они имеют противоположное направление, но не обязательно одинаковой величины.
Сложение и вычитание
Предположим теперь, что a и b не обязательно равные векторы, но они могут иметь разные величины и направления. Сумма a и b равна
Добавление может быть представлено графически, поместив конец стрелки b в конец стрелки a , а затем нарисовав стрелку от конца a к вершине b . Новая нарисованная стрелка представляет вектор a + b , как показано ниже: [8]
Этот метод сложения иногда называют правилом параллелограмма, потому что a и b образуют стороны параллелограмма, а a + b - одна из диагоналей. Если a и b являются связанными векторами, имеющими одну и ту же базовую точку, эта точка также будет базовой точкой a + b . Можно геометрически проверить, что a + b = b + a и ( a + b ) + c = a + ( b + c ).
Разница между a и b составляет
Вычитание двух векторов можно геометрически проиллюстрировать следующим образом: чтобы вычесть b из a , поместите хвосты a и b в одну и ту же точку, а затем проведите стрелку от вершины b к вершине a . Эта новая стрелка представляет вектор (-b) + a , где (-b) является противоположностью b , см. Рисунок. И (-b) + a = a - b .
Скалярное умножение
Вектор также может быть умножен или масштабирован на действительное число r . В контексте традиционной векторной алгебры эти действительные числа часто называют скалярами (по шкале ), чтобы отличить их от векторов. Операция умножения вектора на скаляр называется скалярным умножением . Результирующий вектор
Интуитивно, умножение на скаляр r растягивает вектор на коэффициент r . Геометрически это можно визуализировать (по крайней мере, в случае, когда r является целым числом) как размещение r копий вектора в строке, где конечная точка одного вектора является начальной точкой следующего вектора.
If r is negative, then the vector changes direction: it flips around by an angle of 180°. Two examples (r = −1 and r = 2) are given below:
Scalar multiplication is distributive over vector addition in the following sense: r(a + b) = ra + rb for all vectors a and b and all scalars r. One can also show that a − b = a + (−1)b.
Length
The length or magnitude or norm of the vector a is denoted by ‖a‖ or, less commonly, |a|, which is not to be confused with the absolute value (a scalar "norm").
The length of the vector a can be computed with the Euclidean norm
which is a consequence of the Pythagorean theorem since the basis vectors e1, e2, e3 are orthogonal unit vectors.
This happens to be equal to the square root of the dot product, discussed below, of the vector with itself:
- Unit vector
A unit vector is any vector with a length of one; normally unit vectors are used simply to indicate direction. A vector of arbitrary length can be divided by its length to create a unit vector.[17] This is known as normalizing a vector. A unit vector is often indicated with a hat as in â.
To normalize a vector a = (a1, a2, a3), scale the vector by the reciprocal of its length ‖a‖. That is:
- Zero vector
The zero vector is the vector with length zero. Written out in coordinates, the vector is (0, 0, 0), and it is commonly denoted , 0, or simply 0.[4] Unlike any other vector, it has an arbitrary or indeterminate direction, and cannot be normalized (that is, there is no unit vector that is a multiple of the zero vector). The sum of the zero vector with any vector a is a (that is, 0 + a = a).
Dot product
The dot product of two vectors a and b (sometimes called the inner product, or, since its result is a scalar, the scalar product) is denoted by a ∙ b,[4] and is defined as:
where θ is the measure of the angle between a and b (see trigonometric function for an explanation of cosine). Geometrically, this means that a and b are drawn with a common start point, and then the length of a is multiplied with the length of the component of b that points in the same direction as a.
The dot product can also be defined as the sum of the products of the components of each vector as
Cross product
The cross product (also called the vector product or outer product) is only meaningful in three or seven dimensions. The cross product differs from the dot product primarily in that the result of the cross product of two vectors is a vector. The cross product, denoted a × b, is a vector perpendicular to both a and b and is defined as
where θ is the measure of the angle between a and b, and n is a unit vector perpendicular to both a and b which completes a right-handed system. The right-handedness constraint is necessary because there exist two unit vectors that are perpendicular to both a and b, namely, n and (−n).
The cross product a × b is defined so that a, b, and a × b also becomes a right-handed system (although a and b are not necessarily orthogonal). This is the right-hand rule.
The length of a × b can be interpreted as the area of the parallelogram having a and b as sides.
The cross product can be written as
For arbitrary choices of spatial orientation (that is, allowing for left-handed as well as right-handed coordinate systems) the cross product of two vectors is a pseudovector instead of a vector (see below).
Scalar triple product
The scalar triple product (also called the box product or mixed triple product) is not really a new operator, but a way of applying the other two multiplication operators to three vectors. The scalar triple product is sometimes denoted by (a b c) and defined as:
It has three primary uses. First, the absolute value of the box product is the volume of the parallelepiped which has edges that are defined by the three vectors. Second, the scalar triple product is zero if and only if the three vectors are linearly dependent, which can be easily proved by considering that in order for the three vectors to not make a volume, they must all lie in the same plane. Third, the box product is positive if and only if the three vectors a, b and c are right-handed.
In components (with respect to a right-handed orthonormal basis), if the three vectors are thought of as rows (or columns, but in the same order), the scalar triple product is simply the determinant of the 3-by-3 matrix having the three vectors as rows
The scalar triple product is linear in all three entries and anti-symmetric in the following sense:
Conversion between multiple Cartesian bases
All examples thus far have dealt with vectors expressed in terms of the same basis, namely, the e basis {e1, e2, e3}. However, a vector can be expressed in terms of any number of different bases that are not necessarily aligned with each other, and still remain the same vector. In the e basis, a vector a is expressed, by definition, as
- .
The scalar components in the e basis are, by definition,
- ,
- ,
- .
In another orthonormal basis n = {n1, n2, n3} that is not necessarily aligned with e, the vector a is expressed as
and the scalar components in the n basis are, by definition,
- ,
- ,
- .
The values of p, q, r, and u, v, w relate to the unit vectors in such a way that the resulting vector sum is exactly the same physical vector a in both cases. It is common to encounter vectors known in terms of different bases (for example, one basis fixed to the Earth and a second basis fixed to a moving vehicle). In such a case it is necessary to develop a method to convert between bases so the basic vector operations such as addition and subtraction can be performed. One way to express u, v, w in terms of p, q, r is to use column matrices along with a direction cosine matrix containing the information that relates the two bases. Such an expression can be formed by substitution of the above equations to form
- ,
- ,
- .
Distributing the dot-multiplication gives
- ,
- ,
- .
Replacing each dot product with a unique scalar gives
- ,
- ,
- ,
and these equations can be expressed as the single matrix equation
- .
This matrix equation relates the scalar components of a in the n basis (u,v, and w) with those in the e basis (p, q, and r). Each matrix element cjk is the direction cosine relating nj to ek.[18] The term direction cosine refers to the cosine of the angle between two unit vectors, which is also equal to their dot product.[18] Therefore,
By referring collectively to e1, e2, e3 as the e basis and to n1, n2, n3 as the n basis, the matrix containing all the cjk is known as the "transformation matrix from e to n", or the "rotation matrix from e to n" (because it can be imagined as the "rotation" of a vector from one basis to another), or the "direction cosine matrix from e to n"[18] (because it contains direction cosines). The properties of a rotation matrix are such that its inverse is equal to its transpose. This means that the "rotation matrix from e to n" is the transpose of "rotation matrix from n to e".
The properties of a direction cosine matrix, C are:[19]
- the determinant is unity, |C| = 1
- the inverse is equal to the transpose,
- the rows and columns are orthogonal unit vectors, therefore their dot products are zero.
The advantage of this method is that a direction cosine matrix can usually be obtained independently by using Euler angles or a quaternion to relate the two vector bases, so the basis conversions can be performed directly, without having to work out all the dot products described above.
By applying several matrix multiplications in succession, any vector can be expressed in any basis so long as the set of direction cosines is known relating the successive bases.[18]
Other dimensions
With the exception of the cross and triple products, the above formulae generalise to two dimensions and higher dimensions. For example, addition generalises to two dimensions as
and in four dimensions as
The cross product does not readily generalise to other dimensions, though the closely related exterior product does, whose result is a bivector. In two dimensions this is simply a pseudoscalar
A seven-dimensional cross product is similar to the cross product in that its result is a vector orthogonal to the two arguments; there is however no natural way of selecting one of the possible such products.
Физика
Vectors have many uses in physics and other sciences.
Length and units
In abstract vector spaces, the length of the arrow depends on a dimensionless scale. If it represents, for example, a force, the "scale" is of physical dimension length/force. Thus there is typically consistency in scale among quantities of the same dimension, but otherwise scale ratios may vary; for example, if "1 newton" and "5 m" are both represented with an arrow of 2 cm, the scales are 1 m:50 N and 1:250 respectively. Equal length of vectors of different dimension has no particular significance unless there is some proportionality constant inherent in the system that the diagram represents. Also length of a unit vector (of dimension length, not length/force, etc.) has no coordinate-system-invariant significance.
Vector-valued functions
Often in areas of physics and mathematics, a vector evolves in time, meaning that it depends on a time parameter t. For instance, if r represents the position vector of a particle, then r(t) gives a parametric representation of the trajectory of the particle. Vector-valued functions can be differentiated and integrated by differentiating or integrating the components of the vector, and many of the familiar rules from calculus continue to hold for the derivative and integral of vector-valued functions.
Position, velocity and acceleration
The position of a point x = (x1, x2, x3) in three-dimensional space can be represented as a position vector whose base point is the origin
The position vector has dimensions of length.
Given two points x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3) their displacement is a vector
which specifies the position of y relative to x. The length of this vector gives the straight-line distance from x to y. Displacement has the dimensions of length.
The velocity v of a point or particle is a vector, its length gives the speed. For constant velocity the position at time t will be
where x0 is the position at time t = 0. Velocity is the time derivative of position. Its dimensions are length/time.
Acceleration a of a point is vector which is the time derivative of velocity. Its dimensions are length/time2.
Force, energy, work
Force is a vector with dimensions of mass×length/time2 and Newton's second law is the scalar multiplication
Work is the dot product of force and displacement
Векторы, псевдовекторы и преобразования
An alternative characterization of Euclidean vectors, especially in physics, describes them as lists of quantities which behave in a certain way under a coordinate transformation. A contravariant vector is required to have components that "transform opposite to the basis" under changes of basis. The vector itself does not change when the basis is transformed; instead, the components of the vector make a change that cancels the change in the basis. In other words, if the reference axes (and the basis derived from it) were rotated in one direction, the component representation of the vector would rotate in the opposite way to generate the same final vector. Similarly, if the reference axes were stretched in one direction, the components of the vector would reduce in an exactly compensating way. Mathematically, if the basis undergoes a transformation described by an invertible matrix M, so that a coordinate vector x is transformed to x′ = Mx, then a contravariant vector v must be similarly transformed via v′ = Mv. This important requirement is what distinguishes a contravariant vector from any other triple of physically meaningful quantities. For example, if v consists of the x, y, and z-components of velocity, then v is a contravariant vector: if the coordinates of space are stretched, rotated, or twisted, then the components of the velocity transform in the same way. On the other hand, for instance, a triple consisting of the length, width, and height of a rectangular box could make up the three components of an abstract vector, but this vector would not be contravariant, since rotating the box does not change the box's length, width, and height. Examples of contravariant vectors include displacement, velocity, electric field, momentum, force, and acceleration.
In the language of differential geometry, the requirement that the components of a vector transform according to the same matrix of the coordinate transition is equivalent to defining a contravariant vector to be a tensor of contravariant rank one. Alternatively, a contravariant vector is defined to be a tangent vector, and the rules for transforming a contravariant vector follow from the chain rule.
Some vectors transform like contravariant vectors, except that when they are reflected through a mirror, they flip and gain a minus sign. A transformation that switches right-handedness to left-handedness and vice versa like a mirror does is said to change the orientation of space. A vector which gains a minus sign when the orientation of space changes is called a pseudovector or an axial vector. Ordinary vectors are sometimes called true vectors or polar vectors to distinguish them from pseudovectors. Pseudovectors occur most frequently as the cross product of two ordinary vectors.
One example of a pseudovector is angular velocity. Driving in a car, and looking forward, each of the wheels has an angular velocity vector pointing to the left. If the world is reflected in a mirror which switches the left and right side of the car, the reflection of this angular velocity vector points to the right, but the actual angular velocity vector of the wheel still points to the left, corresponding to the minus sign. Other examples of pseudovectors include magnetic field, torque, or more generally any cross product of two (true) vectors.
This distinction between vectors and pseudovectors is often ignored, but it becomes important in studying symmetry properties. See parity (physics).
Смотрите также
- Affine space, which distinguishes between vectors and points
- Array data structure or Vector (Computer Science)
- Banach space
- Clifford algebra
- Complex number
- Coordinate system
- Covariance and contravariance of vectors
- Four-vector, a non-Euclidean vector in Minkowski space (i.e. four-dimensional spacetime), important in relativity
- Function space
- Grassmann's Ausdehnungslehre
- Hilbert space
- Normal vector
- Null vector
- Pseudovector
- Quaternion
- Tangential and normal components (of a vector)
- Tensor
- Unit vector
- Vector bundle
- Vector calculus
- Vector notation
- Vector-valued function
Заметки
- ^ Ivanov 2001
- ^ Heinbockel 2001
- ^ Itô 1993, p. 1678; Pedoe 1988
- ^ a b c d "Compendium of Mathematical Symbols". Math Vault. 2020-03-01. Retrieved 2020-08-19.
- ^ Latin: vectus, perfect participle of vehere, "to carry"/ veho = "I carry". For historical development of the word vector, see "vector n.". Oxford English Dictionary (Online ed.). Oxford University Press. (Subscription or participating institution membership required.) and Jeff Miller. "Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics". Retrieved 2007-05-25.
- ^ The Oxford english dictionary (2nd. ed.). London: Claredon Press. 2001. ISBN 9780195219425.
- ^ a b "vector | Definition & Facts". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2020-08-19.
- ^ a b c "Vectors". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-19.
- ^ Weisstein, Eric W. "Vector". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-19.
- ^ a b c d Michael J. Crowe, A History of Vector Analysis; see also his "lecture notes" (PDF). Archived from the original (PDF) on January 26, 2004. Retrieved 2010-09-04. on the subject.
- ^ W. R. Hamilton (1846) London, Edinburgh & Dublin Philosophical Magazine 3rd series 29 27
- ^ Itô 1993, p. 1678
- ^ Formerly known as located vector. See Lang 1986, p. 9.
- ^ Thermodynamics and Differential Forms
- ^ Gibbs, J.W. (1901). Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, Founded upon the Lectures of J. Willard Gibbs, by E.B. Wilson, Chares Scribner's Sons, New York, p. 15: "Any vector r coplanar with two non-collinear vectors a and b may be resolved into two components parallel to a and b respectively. This resolution may be accomplished by constructing the parallelogram ..."
- ^ U. Guelph Physics Dept., "Torque and Angular Acceleration"
- ^ "1.1: Vectors". Mathematics LibreTexts. 2013-11-07. Retrieved 2020-08-19.
- ^ a b c d Kane & Levinson 1996, pp. 20–22
- ^ M., Rogers, Robert (2007). Applied mathematics in integrated navigation systems (3rd ed.). Reston, Va.: American Institute of Aeronautics and Astronautics. ISBN 9781563479274. OCLC 652389481.
Рекомендации
Mathematical treatments
- Apostol, Tom (1967). Calculus. Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra. Wiley. ISBN 978-0-471-00005-1.
|volume=
has extra text (help) - Apostol, Tom (1969). Calculus. Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications. Wiley. ISBN 978-0-471-00007-5.
|volume=
has extra text (help) - Heinbockel, J. H. (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing, ISBN 1-55369-133-4.
- Itô, Kiyosi (1993), Encyclopedic Dictionary of Mathematics (2nd ed.), MIT Press, ISBN 978-0-262-59020-4.
- Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Vector", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
- Kane, Thomas R.; Levinson, David A. (1996), Dynamics Online, Sunnyvale, California: OnLine Dynamics.
- Lang, Serge (1986). Introduction to Linear Algebra (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-96205-0.
- Pedoe, Daniel (1988). Geometry: A comprehensive course. Dover. ISBN 0-486-65812-0.
Physical treatments
- Aris, R. (1990). Vectors, Tensors and the Basic Equations of Fluid Mechanics. Dover. ISBN 978-0-486-66110-0.
- Feynman, Richard; Leighton, R.; Sands, M. (2005). "Chapter 11". The Feynman Lectures on Physics. Vol. I (2nd ed.). Addison Wesley. ISBN 978-0-8053-9046-9.
|volume=
has extra text (help)
Внешние ссылки
- "Vector", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Online vector identities (PDF)
- Introducing Vectors A conceptual introduction (applied mathematics)