В математике , А линейное отображение (также называется линейное отображение , линейное преобразование , векторное пространство , гомоморфизм , или в некоторых контекстах линейных функций ) представляет собой отображение между двумя векторными пространствами , сохраняющими операции сложения векторов и скалярного умножения . Те же имена и определение используются и для более общего случая модулей над кольцом ; см. Гомоморфизм модулей .
Если линейное отображение является биекцией, то это называется линейным изоморфизмом . В случае, если, линейное отображение называется (линейным) эндоморфизмом . Иногда термин « линейный оператор» относится к этому случаю [1], но термин «линейный оператор» может иметь разные значения для разных соглашений: например, его можно использовать, чтобы подчеркнуть, что а также являются вещественными векторными пространствами (не обязательно с), [ необходима цитата ] или его можно использовать, чтобы подчеркнуть, что- это функциональное пространство , которое является общепринятым в функциональном анализе . [2] Иногда термин линейная функция имеет то же значение, что и линейная карта , хотя в анализе это не так.
Линейное отображение из V в W всегда отображает происхождение V к происхождению W . Более того, он отображает линейные подпространства в V на линейные подпространства в W (возможно, меньшей размерности ); [3] , например, он отображает плоскость через происхождения в V в любой плоскости , проходящей через начало координат в W , в линии через начало координат в W , или просто координат в W . Линейные карты часто могут быть представлены в виде матриц , а простые примеры включают линейные преобразования вращения и отражения .
На языке теории категорий линейные отображения - это морфизмы векторных пространств.
Определение и первые следствия
Позволять а также быть векторными пространствами над одним и тем же полем . Функцияназывается линейным отображением, если для любых двух векторов и любой скаляр выполняются следующие два условия:
аддитивность / операция сложения | |
однородность степени 1 / операция скалярного умножения |
Таким образом, линейное отображение называется сохраняющим операцию . Другими словами, не имеет значения, применяется ли линейная карта до (правые части приведенных выше примеров) или после (левые части примеров) операций сложения и скалярного умножения.
По ассоциативности операции сложения, обозначенной как +, для любых векторов и скаляры выполняется следующее равенство: [4] [5]
Обозначая нулевые элементы векторных пространств а также от а также соответственно, отсюда следует, что Позволять а также в уравнении однородности степени 1:
Изредка, а также могут быть векторными пространствами над разными полями. Затем необходимо указать, какое из этих основных полей используется в определении «линейного». Если а также пробелы над одним и тем же полем как указано выше, тогда мы говорим о -линейные карты. Так , например, конъюгации из комплексных чисел является-линейная карта , но это не так -линейный, где а также - символы, представляющие наборы действительных чисел и комплексных чисел соответственно.
Линейная карта с участием рассматриваемое как одномерное векторное пространство над самим собой, называется линейным функционалом . [6]
Эти утверждения обобщаются на любой левый модуль над кольцом без модификации, и любому правому модулю при обращении скалярного умножения.
Примеры
- Типичным примером, который дает линейным картам их имя, является функция , график которой представляет собой линию, проходящую через начало координат. [7]
- В общем, любая гомотетия где с центром в начале координат векторного пространства является линейная карта.
- Нулевая карта между двумя векторными пространствами (над одним и тем же полем ) является линейным.
- Тождественное отображение на любом модуле является линейным оператором.
- Для вещественных чисел карта не является линейным.
- Для вещественных чисел карта не является линейным (а является аффинным преобразованием ).
- Если это вещественная матрица , тогда определяет линейную карту из к отправив вектор-столбец к вектору-столбцу . И наоборот, любое линейное отображение между конечномерными векторными пространствами может быть представлено таким образом; см. § Матрицы ниже.
- Если является изометрией между вещественными нормированными пространствами такими, что тогда является линейным отображением. Этот результат не обязательно верен для сложного нормированного пространства. [8]
- Дифференцирование определяет линейное отображение пространства всех дифференцируемых функций в пространство всех функций. Он также определяет линейный оператор в пространстве всех гладких функций (линейный оператор - это линейный эндоморфизм , то есть линейное отображение, область определения и область значений которого совпадают). Примером является
- Определенный интеграл по некоторому интервалу I - это линейное отображение пространства всех действительных интегрируемых функций на I в. Например,
- Неопределенный интеграл (или первообразная ) с фиксированной начальной точкой интегрирования определяет линейное отображение из пространства всех действительных интегрируемых функций на пространству всех действительных дифференцируемых функций на . Без фиксированной начальной точки первообразная отображается в фактор-пространство дифференцируемых функций по линейному пространству постоянных функций.
- Если а также являются конечномерными векторными пространствами над полем F соответствующих размерностей m и n , то функция, отображающая линейные отображенияк матрицам размера n × m способом, описанным в § Матрицы (ниже), является линейным отображением и даже линейным изоморфизмом .
- Ожидаемое значение из случайной величины (которая на самом деле является функция, и в качестве такого элемента векторного пространства) является линейным, как и для случайных величин а также у нас есть а также , но дисперсия случайной величины не является линейной.
Функция с участием является линейным отображением. Эта функция масштабирует компонент вектора по множителю .
Функция является аддитивным: не имеет значения, добавляются ли сначала векторы, а затем отображаются, или же они отображаются и, наконец, добавляются:
Функция однороден: не имеет значения, сначала масштабируется вектор, а затем отображается или сначала отображается, а затем масштабируется:
Матрицы
Если а также являются конечномерными векторными пространствами, и для каждого векторного пространства определен базис , тогда каждая линейная карта из к можно представить в виде матрицы . [9] Это полезно, поскольку позволяет выполнять конкретные вычисления. Матрицы дают примеры линейных карт: если настоящий матрица, тогда описывает линейную карту (см. Евклидово пространство ).
Позволять быть основой для . Тогда каждый вектор однозначно определяется коэффициентами в поле :
Если линейная карта,
откуда следует, что функция f полностью определяется векторами. Теперь позвольте быть основой для . Тогда мы можем представить каждый вектор в виде
Таким образом, функция полностью определяется значениями . Если мы поместим эти значения в матрица , то мы можем удобно использовать его для вычисления векторного вывода для любого вектора в . Получить, каждый столбец из вектор
соответствующий как определено выше. Чтобы определить его более четко, для некоторого столбца что соответствует отображению ,
где матрица . Другими словами, каждый столбец имеет соответствующий вектор чьи координаты элементы колонны . Одна линейная карта может быть представлена множеством матриц. Это связано с тем, что значения элементов матрицы зависят от выбранных оснований.
Матрицы линейного преобразования можно представить визуально:
- Матрица для относительно :
- Матрица для относительно :
- Матрица перехода из к :
- Матрица перехода из к :
Так что начиная с нижнего левого угла и ищем правый нижний угол , можно было бы умножить влево, то есть . Эквивалентным методом будет "более длинный" метод, идущий по часовой стрелке из той же точки, так что умножается слева на , или же .
Примеры во втором измерении
В двумерном пространстве R 2 линейные карты описываются матрицами 2 × 2 . Вот несколько примеров:
- вращение
- на 90 градусов против часовой стрелки:
- на угол θ против часовой стрелки:
- на 90 градусов против часовой стрелки:
- отражение
- по оси x :
- по оси Y :
- через линию, образующую угол θ с началом координат:
- по оси x :
- масштабирование на 2 во всех направлениях:
- отображение горизонтального сдвига :
- сжатие :
- проекция на ось y :
Векторное пространство линейных отображений
Состав линейных карт линейен: если а также линейны, то и их состав . Отсюда следует, что класс всех векторных пространств над данным полем K вместе с K -линейными отображениями как морфизмами образует категорию .
Обратного линейного отображения, когда определено, снова линейное отображение.
Если а также линейны, то линейна их поточечная сумма, который определяется .
Если линейно и элемент основного поля , то карта , определяется , также линейна.
Таким образом, множество линейных карт из к сам образует векторное пространство над , [10] иногда обозначается. [11] Кроме того, в случае, если, это векторное пространство, обозначенное , является ассоциативной алгеброй относительно композиции карт , так как композиция двух линейных карт снова является линейной картой, а композиция карт всегда ассоциативна. Более подробно этот случай обсуждается ниже.
Снова в конечномерном случае, если были выбраны базисы, то композиция линейных отображений соответствует умножению матриц , добавление линейных отображений соответствует сложению матриц , а умножение линейных отображений со скалярами соответствует умножению матрицы со скалярами.
Эндоморфизмы и автоморфизмы
Линейное преобразование является эндоморфизмом из; множество всех таких эндоморфизмоввместе со сложением, композицией и скалярным умножением, как определено выше, образует ассоциативную алгебру с единичным элементом над полем(и в частности кольцо ). Мультипликативным тождественным элементом этой алгебры является тождественное отображение .
Эндоморфизм что также изоморфизм называется автоморфизм из. Композиция двух автоморфизмов снова является автоморфизмом, а множество всех автоморфизмовобразует группу , в группу автоморфизмов из который обозначается или же . Поскольку автоморфизмы - это в точности те эндоморфизмы, которые обладают обратными относительно композиции,группа единиц в кольце.
Если имеет конечную размерность , тогда является изоморфной к ассоциативной алгебре всех матрицы с записями в . Группа автоморфизмовэто изоморфно к общей линейной группе из всех обратимые матрицы с элементами в .
Ядро, образ и теорема ранга – недействительности
Если является линейным, мы определим ядро и образ или в диапазоне от от
является подпространством в а также является подпространством . Следующая формула размерности известна как теорема ранга-недействительности :
- [12]
Номер также называется ранг из и написано как , а иногда, ; [13] [14] числоназывается аннулированием из и написано как или же . [13] [14] Если а также конечномерны, выбраны базисы и представлен матрицей , то ранг и недействительность равны рангу и нулю матрицы , соответственно.
Cokernel
Более тонкий инвариант линейного преобразования - ко- ядро , которое определяется как
Это двойное понятие к ядру: так же , как ядро является суб пространства домена, совместное ядром является частным пространством от цели. Формально есть точная последовательность
Их можно интерпретировать так: если необходимо решить линейное уравнение f ( v ) = w ,
- ядро является пространством решений для однородного уравнения F ( об ) = 0, а его размерности есть число степеней свободы в пространстве решений, если оно не пусто;
- ко-ядро - это пространство ограничений, которым должны удовлетворять решения, а его размерность - это максимальное количество независимых ограничений.
Размерность со-ядра и размер изображения (ранг) складываются в размерность целевого пространства. Для конечных размеров это означает, что размерность фактор-пространства W / f ( V ) - это размерность целевого пространства за вычетом размера изображения.
В качестве простого примера рассмотрим отображение f : R 2 → R 2 , заданное формулой f ( x , y ) = (0, y ). Тогда для того, чтобы уравнение f ( x , y ) = ( a , b ) имело решение, мы должны иметь a = 0 (одно ограничение), и в этом случае пространство решений равно ( x , b ) или, что эквивалентно, ( 0, b ) + ( x , 0), (одна степень свободы). Ядро может быть выражено как подпространство ( x , 0) < V : значение x - это свобода в решении - в то время как коядро может быть выражено через отображение W → R ,учитывая вектор ( a , b ), значение a является препятствием к существованию решения.
Пример, иллюстрирующий бесконечномерный случай, дает отображение f : R ∞ → R ∞ ,с b 1 = 0 и b n + 1 = a n для n > 0. Его образ состоит из всех последовательностей с первым элементом 0, и, таким образом, его коядро состоит из классов последовательностей с идентичным первым элементом. Таким образом, в то время как его ядро имеет размерность 0 (оно отображает только нулевую последовательность в нулевую последовательность), его со-ядро имеет размерность 1. Поскольку область определения и целевое пространство одинаковы, ранг и размерность ядра складываются. к той же сумме, что и ранг и размерность ко-ядра (), но в бесконечномерном случае нельзя вывести, что ядро и ко-ядро эндоморфизма имеют одинаковую размерность (0 ≠ 1). Обратная ситуация имеет место для отображения h : R ∞ → R ∞ ,с c n = a n + 1 . Его изображение - это все целевое пространство, и, следовательно, его со-ядро имеет размерность 0, но поскольку он отображает все последовательности, в которых только первый элемент не равен нулю, в нулевую последовательность, его ядро имеет размерность 1.
Индекс
Для линейного оператора с конечномерным ядром и ко-ядром можно определить индекс как:
а именно степени свободы минус количество ограничений.
Для преобразования между конечномерными векторными пространствами это просто разность dim ( V ) - dim ( W ) по рангу – нулю. Это дает представление о том, сколько решений или сколько ограничений у вас есть: если отображение из большего пространства в меньшее, карта может быть на и, таким образом, будет иметь степени свободы даже без ограничений. И наоборот, при отображении из меньшего пространства в большее, карта не может быть на, и, следовательно, у вас будут ограничения даже без степеней свободы.
Индекс оператора - это в точности эйлерова характеристика 2-членного комплекса 0 → V → W → 0. В теории операторов индекс фредгольмовых операторов является объектом исследования, основным результатом которого является теорема Атьи – Зингера об индексе. . [15]
Алгебраические классификации линейных преобразований
Никакая классификация линейных карт не может быть исчерпывающей. В следующем неполном списке перечислены некоторые важные классификации, которые не требуют какой-либо дополнительной структуры в векторном пространстве.
Пусть V и W обозначают векторные пространства над полем F и пусть T : V → W - линейное отображение.
Определение : T называется инъективным или мономорфизмом, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:
- Т представляет один к одному как отображение множеств .
- ker T = {0 V }
- dim (ker T ) = 0
- Т является унитарным или левым сократимым, который должен сказать, для любого векторного пространства U и любой пары линейных отображений R : U → V и S : U → V , уравнение TR = TS означают R = S .
- Т является обратим слева , который должен сказать , существует линейное отображение S : W → V таким образом, что СТ является тождественным отображением на V .
Определение : T называется сюръективным или эпиморфизмом, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:
- Т находится на как отображение множеств.
- установка для коксования T = {0 Вт }
- Т является эпическим или вправо-сократимым, который должен сказать, для любого векторного пространства U и любой пары линейных отображений R : W → U и S : W → U , уравнение RT = ST означает R = S .
- Т является обратит справа , который должен сказать , существует линейное отображение S : W → V такие , что ТС является тождественным отображением на W .
Определение : T называется изоморфизмом, если он обратим как слева, так и справа. Это эквивалентно тому, что T является одновременно взаимно однозначным и на ( биекция множеств), или также тому, что T является одновременно эпическим и моническим и, таким образом, является биморфизмом .
Если T : V → V - эндоморфизм, то:
- Если для некоторого натурального числа п , тем п -й итерации Т , Т п , тождественно равна нулю, то Т называется нильпотентное .
- Если T 2 = T , то T называется идемпотентным.
- Если T = kI , где k - некоторый скаляр, то T называется масштабным преобразованием или отображением скалярного умножения; см. скалярную матрицу .
Смена основы
Учитывая линейное отображение, которое является эндоморфизмом с матрицей A , в базисе B пространства оно преобразует векторные координаты [u] как [v] = A [u]. Поскольку векторы изменяются вместе с обратным B (векторы контравариантны ), его обратное преобразование [v] = B [v '].
Подставляя это в первое выражение
следовательно
Следовательно, матрица в новом базисе будет A ′ = B −1 AB , а B - матрица данного базиса.
Таким образом, линейные отображения называются 1-со-1 противопоказание вариантных объекты или типа (1, 1) тензоров .
Непрерывность
Линейное преобразование между топологическими векторными пространствами , например , нормированными пространствами , может быть непрерывным . Если его домен и домен совпадают, тогда он будет непрерывным линейным оператором . Линейный оператор на линейном нормированном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен , например, когда область конечномерна. [16] Бесконечномерная область может иметь разрывные линейные операторы .
Примером неограниченного, а значит, прерывного линейного преобразования является дифференцирование на пространстве гладких функций, снабженных нормой супремума (функция с малыми значениями может иметь производную с большими значениями, а производная 0 равна 0). В конкретном примере sin ( nx ) / n сходится к 0, но его производная cos ( nx ) - нет, поэтому дифференцирование не является непрерывным в 0 (и, согласно вариации этого аргумента, оно не является непрерывным нигде).
Приложения
Конкретное применение линейных карт - это геометрические преобразования, такие как те, которые выполняются в компьютерной графике , где перемещение, вращение и масштабирование 2D или 3D объектов выполняется с использованием матрицы преобразования . Линейные отображения также используются как механизм для описания изменений: например, в исчислении соответствуют производным; или в теории относительности, используемый как устройство для отслеживания локальных преобразований систем отсчета.
Другое применение этих преобразований - оптимизация компилятором кода вложенных циклов и распараллеливание методов компилятора .
Смотрите также
- Антилинейная карта
- Изогнутая функция
- Ограниченный оператор
- Непрерывный линейный оператор
- Линейный функционал
- Линейная изометрия
Заметки
- ^ «Линейные преобразования V в V часто называют линейными операторами на V ». Рудин 1976 , с. 207
- ^ Пусть V и W два вещественных векторных пространства. Отображение a из V в W называется «линейным отображением» или «линейным преобразованием» или «линейным оператором» [...] из V в W , если
для всех ,
для всех и все действительные λ . Бронштейн, Семендяев 2004 , с. 316 - Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 14
Вот некоторые свойства линейных отображенийчьи доказательства настолько просты, что мы их опускаем; предполагается, что а также :- Если A - подпространство (или выпуклое множество , или сбалансированное множество ), то же самое верно и для
- Если B - подпространство (или выпуклое множество, или сбалансированное множество), то же самое верно и для
- В частности, набор:
- Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 14. Предположим теперь, что X и Y - векторные пространства над одним и тем же скалярным полем . Отображениеназывается линейным, если для всех и все скаляры а также . Обратите внимание, что часто пишут, скорее, чем , когда линейно.
- Перейти ↑ Rudin 1976 , p. 206. Отображение A векторного пространства X в векторное пространство Y называется линейным преобразованием, если: для всех и все скаляры c . Обратите внимание, что часто пишут вместо если A линейно.
- Перейти ↑ Rudin 1991 , p. 14. Линейные отображения X на его скалярное поле называются линейными функционалами .
- ^ "терминология - Что означает" линейный "в линейной алгебре?" . Обмен математическими стеками . Проверено 17 февраля 2021 .
- ^ Wilansky 2013 , стр. 21-26.
- Перейти ↑ Rudin 1976 , p. 210 Предположим а также являются базами векторных пространств X и Y соответственно. Затем каждые determines a set of numbers such that
- ^ Axler (2015) p. 52, § 3.3
- ^ Tu (2011), p. 19, § 3.1
- ^ Horn & Johnson 2013, 0.2.3 Vector spaces associated with a matrix or linear transformation, p. 6
- ^ a b Katznelson & Katznelson (2008) p. 52, § 2.5.1
- ^ a b Halmos (1974) p. 90, § 50
- ^ Nistor, Victor (2001) [1994], "Index theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press: "The main question in index theory is to provide index formulas for classes of Fredholm operators ... Index theory has become a subject on its own only after M. F. Atiyah and I. Singer published their index theorems"
- ^ Rudin 1991, p. 15 1.18 Theorem Let be a linear functional on a topological vector space X. Assume for some . Then each of the following four properties implies the other three:
- is continuous
- The null space is closed.
- is not dense in X.
- is bounded in some neighbourhood V of 0.
Библиография
- Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.
- Bronshtein, I. N.; Semendyayev, K. A. (2004). Handbook of Mathematics (4th ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43491-7.
- Halmos, Paul Richard (1974) [1958]. Finite-Dimensional Vector Spaces (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-90093-4.
- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (Second ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83940-2.
- Katznelson, Yitzhak; Katznelson, Yonatan R. (2008). A (Terse) Introduction to Linear Algebra. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4419-9.
- Lang, Serge (1987), Linear Algebra (Third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-96412-6
- Rudin, Walter (1973). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. 25 (First ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 9780070542259.
- Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis. Walter Rudin Student Series in Advanced Mathematics (3rd ed.). New York: McGraw–Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
- Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Swartz, Charles (1992). An introduction to Functional Analysis. New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067.
- Tu, Loring W. (2011). An Introduction to Manifolds (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-8218-4419-9.
- Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.