Вращения и отражения в двух измерениях

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален .
Найдите источники: «Вращения и отражения в двух измерениях» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( ноябрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В геометрии , двумерный вращения и отражение два вида евклидовой плоскости изометрии , которые связаны друг с другом.

Вращение в плоскости можно сформировать, составив пару отражений. Сначала отразите точку P на ее изображение P 'на другой стороне линии L ₁ . Затем отражают P 'на ее изображении P ' 'на другой стороне линии L ₂ . Если прямые L ₁ и L ₂ образуют угол θ друг с другом, то точки P и P ′ ′ образуют угол 2θ вокруг точки O , пересечения L ₁ и L ₂ . Т.е. уголPOP ′ ′ будет измерять 2 θ .

Пара поворотов вокруг одной и той же точке O будет эквивалентно повороту вокруг другой точки O . С другой стороны, композиция отражения и вращения или вращения и отражения (композиция не коммутативна ) будет эквивалентна отражению.

Приведенные выше утверждения можно выразить более математически. Обозначим поворот вокруг начала координат O на угол θ как Rot ( θ ). Обозначим отражение относительно прямой L, проходящей через начало координат и образующей угол θ с осью x , как Ref ( θ ). Пусть эти вращения и отражения действуют во всех точках на плоскости, и пусть эти точки представлены векторами положения . Тогда поворот можно представить в виде матрицы,

\operatorname {Rot} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},

а также для отражения,

\operatorname {Ref} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{bmatrix}}.

С этими определениями вращения и отражения координат выполняются следующие четыре тождества:

{\begin{aligned}\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Rot} (\phi )&\equiv \operatorname {Rot} (\theta +\phi ),\\\operatorname {Ref} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&\equiv \operatorname {Rot} (2[\theta -\phi ]),\\\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&\equiv \operatorname {Ref} \left(\phi +{\frac {1}{2}}\theta \right),\\\operatorname {Ref} (\phi )\,\operatorname {Rot} (\theta )&\equiv \operatorname {Ref} \left(\phi -{\frac {1}{2}}\theta \right).\end{aligned}}

Эти уравнения могут быть доказаны простым умножением матриц и применением тригонометрических тождеств , в частности, сумм и разностей.

Набор всех отражений в линиях через начало координат и поворотов вокруг начала координат вместе с операцией композиции отражений и вращений образует группу . У группы есть идентификатор: Rot (0). Каждое вращение Rot ( φ ) имеет обратный Rot (- φ ). Каждое отражение Ref ( θ ) является своим обратным. Композиция имеет замыкание и ассоциативна, поскольку матричное умножение ассоциативно.

Обратите внимание, что и Ref ( θ ), и Rot ( θ ) были представлены ортогональными матрицами . Все эти матрицы имеют определитель , абсолютное значение которого равно единице. Матрицы вращения имеют определитель +1, а матрицы отражения имеют определитель -1.

Набор всех ортогональных двумерных матриц вместе с матричным умножением образуют ортогональную группу : O (2).

В следующей таблице приведены примеры матрицы вращения и отражения:

Тип	угол θ	матрица
Вращение	0 °	${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Вращение	$\pm$ 45 °	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&\mp 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}$
Вращение	90 °	${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$
Вращение	180 °	${\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
Отражение	0 °	${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
Отражение	45 °	${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$
Отражение	90 °	${\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Отражение	-45 °	${\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}$

Вращения и отражения в двух измерениях

См. Также [ править ]