Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Рисунок бабочки с двусторонней симметрией , где левая и правая стороны зеркально отражают друг друга.

В геометрии , объект имеет симметрию , если есть операция или преобразование (например, перевод , масштабирование , поворот или отражение ) , который отображает рисунок / объект на себя (т.е. объект имеет инвариантность при преобразовании). [1] [2] Таким образом, симметрию можно рассматривать как невосприимчивость к изменениям. [3] Например, круг, повернутый вокруг своего центра, будет иметь ту же форму и размер, что и исходный круг, так как все точки до и после преобразования будут неразличимы. Таким образом, окружность называется симметричной относительно вращенияили иметь вращательную симметрию . Если изометрия является отражением плоской фигуры относительно линии, то говорят, что эта фигура имеет симметрию отражения или симметрию линии ; [4] также возможно, что фигура / объект имеет более одной линии симметрии. [5]

Типы симметрий, которые возможны для геометрического объекта, зависят от набора доступных геометрических преобразований и от того, какие свойства объекта должны оставаться неизменными после преобразования. Поскольку композиция двух преобразований также является преобразованием, и каждое преобразование имеет, по определению, обратное преобразование, которое отменяет его, набор преобразований, при которых объект является симметричным, образуют математическую группу , группу симметрии объекта. [6]

Евклидовы симметрии в целом [ править ]

Наиболее распространенная группа преобразований, применяемых к объектам, называется евклидовой группой « изометрий », которые представляют собой сохраняющие расстояние преобразования в пространстве, обычно называемые двумерными или трехмерными (то есть в плоской геометрии или твердотельной геометрии евклидовы пространства ) . Эти изометрии состоят из отражений , вращений , перемещений и комбинаций этих основных операций. [7] При изометрическом преобразовании геометрический объект называется симметричным, если после преобразования объект неотличим от объекта до преобразования. [8]Геометрический объект обычно является симметричным только в отношении подмножества или « подгруппы » всех изометрий. Типы подгрупп изометрии описаны ниже, за ними следуют другие виды групп преобразований и типы объектной инвариантности, которые возможны в геометрии.

По теореме Картана-Дьёдонне , ортогональное преобразование в п - мерном пространстве может быть представлена в виде композиции не более чем п отражений.

Основные изометрии по размерности
1D2D3D4D
РазмышленияТочкаАффинныйТочкаАффинныйТочкаАффинныйТочкаАффинный
1ОтражениеОтражениеОтражениеОтражение
2ПереводВращениеПереводВращениеПереводВращениеПеревод
3ТрансфлексияRotoreflectionТрансфлексияRotoreflectionТрансфлексия
4Ротационный переводДвойное вращениеРотационный перевод
5Вращательное трансфлексия

Отражательная симметрия [ править ]

Основная статья: Отражательная симметрия

Отражательная симметрия, линейная симметрия, зеркальная симметрия, зеркальная симметрия или двусторонняя симметрия - это симметрия относительно отражения. [9]

В одном измерении существует точка симметрии, относительно которой имеет место отражение; в двух измерениях есть ось симметрии (иначе говоря, линия симметрии), а в трех измерениях есть плоскость симметрии. [4] [10] Объект или фигура, для которых каждая точка имеет взаимно однозначное отображение на другую, равноудаленную от и на противоположных сторонах общей плоскости, называется зеркально-симметричным (подробнее см. Зеркальное отображение ).

Ось симметрии двумерной фигуры - это такая линия, что при построении перпендикуляра любые две точки, лежащие на перпендикуляре на равных расстояниях от оси симметрии, идентичны. Другой способ подумать об этом состоит в том, что если бы форму нужно было сложить пополам по оси, две половинки были бы идентичны как зеркальное отображение друг друга. Например. У квадрата четыре оси симметрии, потому что есть четыре разных способа сложить его и сделать так, чтобы края совпадали друг с другом. Другой пример - окружность , имеющая бесконечное множество осей симметрии, проходящих через ее центр по той же причине. [11]

Если буква Т отражается вдоль вертикальной оси, она выглядит так же. Иногда это называют вертикальной симметрией. Таким образом, можно однозначно описать это явление, сказав, что «Т имеет вертикальную ось симметрии» или что «Т имеет лево-правую симметрию».

Эти треугольники с симметрией отражения являются равнобедренными , то четырехугольники с этой симметрией змеи и равнобедренные трапеции . [12]

Для каждой линии или плоскости отражения, то группа симметрии является изоморфной с С с (см групп точек в трех измерениях для более), один из трех типов второго порядка ( инволюция ), следовательно , алгебраически изоморфны С 2 . Фундаментальная область является полуплоскость или полупространство . [13]

Точечное отражение и другие инволютивные изометрии [ править ]

В двух измерениях точечное отражение - это поворот на 180 градусов.
Основная статья: Точечное отражение

Отражение симметрии можно обобщить и на другие изометрии в м - мерном пространстве , которые инволюции , например,

( x 1 , ..., x m ) ↦ (- x 1 , ..., - x k ,  x k +1 , ..., x m )

в определенной системе декартовых координат . Это отражает пространство вдоль ( m - k ) -мерного аффинного подпространства . [14] Если k  =  m , то такое преобразование называется точечным отражением или инверсией через точку . На плоскости ( m  = 2) точечное отражение совпадает с поворотом на пол- оборота (180 °); Смотри ниже. Антиподальная симметрия - это альтернативное название точечной симметрии отражения через начало координат. [15]

Такое «отражение» сохраняет ориентацию тогда и только тогда, когда k - четное число. [16] Это означает, что для m  = 3 (а также для других нечетных  m ) точечное отражение изменяет ориентацию пространства, как симметрия зеркального изображения. Это объясняет, почему в физике термин P- симметрия (P означает четность ) используется как для точечного отражения, так и для зеркальной симметрии. Поскольку отражение точки в трех измерениях изменяет левую систему координат на правую , симметрия относительно точки отражения также называется симметрией влево-вправо.[17]

Вращательная симметрия [ править ]

Основная статья: Вращательная симметрия
Трискелион имеет 3-кратную вращательную симметрию.

Вращательная симметрия - это симметрия относительно некоторых или всех вращений в m -мерном евклидовом пространстве. Вращения - это прямые изометрии , которые сохраняют ориентацию . [18] Следовательно, группа симметрии вращательной симметрии является подгруппой специальной евклидовой группы E + ( m ) .

Симметрия относительно всех вращений вокруг всех точек подразумевает трансляционную симметрию относительно всех трансляций (поскольку трансляции представляют собой композиции вращений вокруг различных точек) [19], а группа симметрии - это все E + ( m ). Это не относится к объектам, поскольку делает пространство однородным, но может применяться к физическим законам.

Для симметрии относительно вращений вокруг точки, можно взять эту точку за начало координат. Эти вращения образуют специальную ортогональную группу SO ( m ), которую можно представить группой ортогональных матриц размера m  ×  m с определителем  1. При m  = 3 это группа вращений SO (3) . [20]

Если сформулировать несколько иначе, группа вращения объекта - это группа симметрии внутри E + ( m ), группа жестких движений; [21] то есть пересечение полной группы симметрии и группы жестких движений. Для киральных объектов это то же самое, что и полная группа симметрии.

Законы физики являются SO (3) -инвариантными, если они не различают разные направления в пространстве. По теореме Нётер вращательная симметрия физической системы эквивалентна закону сохранения углового момента . [22] Подробнее см. Инвариантность вращения .

Трансляционная симметрия [ править ]

Шаблон Фриз с трансляционной симметрией
Основная статья: поступательная симметрия

Трансляционная симметрия оставляет объект инвариантным относительно дискретной или непрерывной группы трансляций . [23] На рисунке справа показаны четыре конгруэнтных треугольника, образованных перемещением по стрелке. Если бы линия треугольников продолжалась до бесконечности в обоих направлениях, то они имели бы дискретную трансляционную симметрию; любой перевод, который отображал один треугольник на другой, оставил бы всю строку неизменной.

Симметрия скользящего отражения [ править ]

Шаблон Фриз с симметрией скользящего отражения
Основная статья: Скользящее отражение

В 2D симметрия отражения скольжения (также называемая симметрией плоскости скольжения в 3D и трансфлексией в целом) означает, что отражение в линии или плоскости в сочетании с перемещением вдоль линии или в плоскости приводит к тому же объекту ( например, в случае следов). [3] [24] Сочетание двух скользящих отражений приводит к трансляционной симметрии с удвоенным вектором трансляции. Группа симметрии , содержащая скольжение отражения и связанные с ними переводами является фриз группы p11g и изоморфен бесконечной циклической группы Z .

Симметрия вращательного отражения [ править ]

Пятиугольная антипризма с выраженными краями показывает rotoreflectional симметрии, с порядка 10.
Основная статья: неправильное вращение

В 3D, роторном отражения , rotoreflection или неправильное вращение есть вращение вокруг оси в сочетании с отражением в плоскости , перпендикулярной к этой оси. [25] Группы симметрии, связанные с вращательным отражением, включают:

  • если угол поворота не имеет общего делителя с 360 °, группа симметрии не является дискретной.
  • если вращательное отражение имеет угол поворота в 2 n (угол 180 ° / n ), группа симметрии будет S 2 n порядка 2 n (не путать с симметричными группами , для которых используются те же обозначения; аннотация группа C 2n ). Частным случаем является n  = 1, инверсия , потому что она не зависит от оси и плоскости. Для него характерна именно точка инверсии.
  • Группа C nh (угол 360 ° / n ); для нечетного n это порождается одной симметрией, а абстрактная группа - C 2 n для четного n. T его не является основной симметрии , а комбинация.

Для получения дополнительной информации см. Группы точек в трех измерениях .

Спиральная симметрия [ править ]

См. Также: Ось винта

В 3D-геометрии и выше ось винта (или вращательное перемещение) представляет собой комбинацию вращения и перемещения вдоль оси вращения. [26]

Спиральная симметрия - это вид симметрии, наблюдаемый в повседневных предметах, таких как пружины , обтягивающие игрушки, сверла и шнеки . Концепция винтовой симметрии может быть визуализирована как отслеживание в трехмерном пространстве, которое возникает в результате вращения объекта с постоянной угловой скоростью , одновременно перемещаясь с постоянной линейной скоростью вдоль его оси вращения. В любой момент времени эти два движения объединяются, чтобы получить угол намотки, который помогает определить свойства прослеживаемой спирали. [27]Когда отслеживаемый объект быстро вращается и медленно перемещается, угол намотки будет близок к 0 °. И наоборот, если объект медленно вращается и быстро перемещается, угол наматывания приближается к 90 °.

Непрерывная спираль

Можно выделить три основных класса винтовой симметрии, основанные на взаимодействии угла накрутки и трансляционной симметрии вдоль оси:

Регулярное косо apeirogon имеет дискретный ( в 3 раза) здесь винтовой оси симметрии, нарисованный в перспективе .
Спирал Boerdijk-Косетер , построенный дополненных правильные тетраэдрами, является примером оси симметрии винта , который является непериодическим.
  • Бесконечная спиральная симметрия : если нет никаких отличительных черт по длине спирали или спиралевидного объекта, объект будет иметь бесконечную симметрию, очень похожую на симметрию круга, но с дополнительным требованием перемещения вдоль длинной оси объекта - чтобы вернуть ему первоначальный вид. [28] Спиралевидный объект - это объект, который имеет в каждой точке правильный угол закручивания спирали, но который также может иметь поперечное сечениенеопределенно высокой сложности при условии, что точно такое же поперечное сечение существует (обычно после поворота) в каждой точке по длине объекта. Простые примеры включают пружины с равномерной спиралью, пружины, буровые коронки и шнеки. Точнее говоря, объект имеет бесконечную спиральную симметрию, если для любого небольшого вращения объекта вокруг его центральной оси существует точка поблизости (расстояние перемещения) на этой оси, в которой объект будет выглядеть точно так же, как и раньше. Именно эта бесконечная спиральная симметрия порождает любопытную иллюзию движения по длине вращающегося шнека или винтовой насадки. Это также обеспечивает механически полезную способность таких устройств перемещать материалы по их длине,
  • n -кратная спиральная симметрия : если требование, чтобы каждое поперечное сечение спирального объекта было идентичным, было бы ослаблено, то стали бы возможны дополнительные меньшие спиральные симметрии. Например, поперечное сечение спирального объекта может измениться, но все же может регулярно повторяться вдоль оси спирального объекта. Следовательно, объекты этого типа будут демонстрировать симметрию после поворота на некоторый фиксированный угол θ и перемещения на некоторое фиксированное расстояние, но в целом не будут инвариантными для любого угла поворота. Если угол поворота, при котором возникает симметрия, равномерно делится на полный круг (360 °), то в результате получается спиральный эквивалент правильного многоугольника. Этот случай называется n-кратной спиральной симметрией , где n = 360 ° (например, в случае двойной спирали ). Эта концепция может быть дополнительно обобщена, чтобы включить случаи, когда она кратна 360 °, то есть цикл в конечном итоге повторяется, но только после более чем одного полного поворота спирального объекта.
  • Неповторяющаяся спиральная симметрия : это случай, когда угол поворота θ, необходимый для соблюдения симметрии, является иррациональным . Угол поворота никогда не повторяется в точности, независимо от того, сколько раз вращалась спираль. Такие симметрии создаются с помощью неповторяющейся точечной группы в двух измерениях . ДНК с примерно 10,5 парами оснований на виток является примером этого типа неповторяющейся спиральной симметрии. [29]

Симметрия двойного вращения [ править ]

4D- тор клиффорда , стереографически спроецированный в 3D, выглядит как тор . Двойное вращение можно рассматривать как спиральную траекторию.
Смотрите также: Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве § Двойные вращения

В 4D симметрия двойного вращения может быть создана как композиция двух ортогональных вращений. [30] Это похоже на трехмерную ось винта, которая представляет собой смесь вращения и ортогонального перемещения.

Неизометрические симметрии [ править ]

Более широкое определение геометрической симметрии допускает операции из большей группы, чем евклидова группа изометрий. Примеры больших геометрических групп симметрии:

  • Группа преобразований подобия ; [31] т.е. аффинные преобразования, представленные матрицей  A, которая является скалярной, умноженной на ортогональную матрицу . Таким образом добавляется гомотетия , самоподобие считается симметрией.
  • Группа аффинных преобразований, представленная матрицей  A с определителем 1 или -1; т.е. преобразования, сохраняющие площадь. [32]
    Это добавляет, например, симметрию наклонного отражения .
  • Группа всех биективных аффинных преобразований .
  • Группа преобразований Мёбиуса, сохраняющих кросс-отношения .
    Это добавляет, например, обратные отражения, такие как отражение круга на плоскости.

В Феликса Клейна «ы программы Erlangen , каждая возможная группа симметрии определяет геометрию , в которой объекты, связанные с членом группы симметрии считаются эквивалентными. [33] Например, евклидова группа определяет евклидову геометрию , тогда как группа преобразований Мёбиуса определяет проективную геометрию .

Масштабная симметрия и фракталы [ править ]

Набор Джулии обладает симметрией масштаба

Симметрия масштабирования означает, что при увеличении или уменьшении размера объекта новый объект имеет те же свойства, что и исходный. [34] Это не относится к большинству физических систем, о чем свидетельствует разница в форме ног слона и мыши (так называемое аллометрическое масштабирование ). Точно так же, если свечу из мягкого воска увеличить до размера высокого дерева, она сразу же рухнет под собственным весом.

Более тонкую форму симметрии масштаба демонстрируют фракталы . По замыслу Benoît Мандельброта , фрактал представляют собой математическое понятие , в котором структура сложной формы выглядит так же при любой степени увеличения , [35] хорошо виден на множестве Мандельброта . Побережье является примером природной фрактала, так как он сохраняет подобный явившейся сложности на каждом уровне с точки зрения спутника для микроскопического исследования , как вода плещется против отдельных песчинок. Ветвление деревьев, которое позволяет маленьким веткам заменять целые деревья на диорамах , является еще одним примером.

Поскольку фракталы могут создавать видимость закономерностей в природе , они обладают красотой и привычностью, которые обычно не наблюдаются с математически созданными функциями. Фракталы также нашли свое место в компьютерных эффектах фильмов , где их способность создавать сложные кривые с фрактальной симметрией приводит к созданию более реалистичных виртуальных миров .

Абстрактная симметрия [ править ]

Взгляд Кляйна [ править ]

С каждой геометрией Феликс Клейн связал базовую группу симметрий . Таким образом, иерархия геометрий математически представлена ​​как иерархия этих групп и иерархия их инвариантов . Например, длины, углы и площади сохраняются относительно евклидовой группы симметрий, в то время как только структура инцидентности и поперечное отношение сохраняются при наиболее общих проективных преобразованиях . Концепция параллелизма , которая сохраняется в аффинной геометрии , не имеет смысла в проективной геометрии.. Затем, абстрагируя основные группы симметрий от геометрий, отношения между ними могут быть восстановлены на групповом уровне. Поскольку группа аффинной геометрии является подгруппой группы проективной геометрии, любое понятие, инвариантное в проективной геометрии, имеет априорный смысл в аффинной геометрии; но не наоборот. Если вы добавите необходимые симметрии, у вас будет более мощная теория, но меньше понятий и теорем (которые будут более глубокими и общими).

Взгляд Терстона [ править ]

Уильям Терстон представил аналогичную версию симметрий в геометрии. Геометрии модели является односвязен гладким многообразием X вместе с переходным действием группы Ли G на X с компактными стабилизаторами. Группа Ли можно рассматривать как группу симметрий геометрии.

Модельная геометрия называется максимальной, если G максимальна среди групп, действующих гладко и транзитивно на X с компактными стабилизаторами, т. Е. Если это максимальная группа симметрий. Иногда это условие включается в определение геометрии модели.

Геометрическая структура на многообразии М является диффеоморфизмом из М к X / Г для некоторой геометрической модели X , где Γ является дискретной подгруппой G , свободно действующая на X . Если данное многообразие допускает геометрическую структуру, то оно допускает такое, модель которого максимальна.

3-мерная модель геометрия Х имеет отношение к гипотезе геометризации , если оно является максимальным , и , если существует, по крайней мере , одно компактное многообразия с геометрической структурой по образцу X . Терстон классифицировал 8 геометрических моделей, удовлетворяющих этим условиям; они перечислены ниже и иногда называются геометриями Терстона . (Существует также несчетное количество геометрических моделей без компактных частных.)

См. Также [ править ]

  • Фрактал
  • Симметричное отношение

Ссылки [ править ]

  1. ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - инвариантность" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 6 декабря 2019 .
  2. ^ Мартин, Г. (1996). Преобразовательная геометрия: введение в симметрию . Springer. п. 28.
  3. ^ a b «Симметрия | Размышляя о геометрии | Подпольная математика» . Undergroundmat Mathematics.org . Проверено 6 декабря 2019 .
  4. ^ a b «Симметрия - MathBitsNotebook (Geo - CCSS Math)» . mathbitsnotebook.com . Проверено 6 декабря 2019 .
  5. Перейти ↑ Freitag, Mark (2013). Математика для учителей начальной школы: процессный подход . Cengage Learning. п. 721.
  6. Перейти ↑ Miller, Willard Jr. (1972). Группы симметрий и их приложения . Нью-Йорк: Academic Press. OCLC 589081 . Архивировано из оригинала на 2010-02-17 . Проверено 28 сентября 2009 . 
  7. ^ "Теория групп высших измерений" . Архивировано из оригинала на 2012-07-23 . Проверено 16 апреля 2013 .
  8. ^ «2.6 Симметрия отражения» . Фундамент СК-12 . Проверено 6 декабря 2019 .
  9. ^ Вейль, Герман (1982) [1952]. Симметрия . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-02374-3.
  10. ^ Cowin, Стивен C .; Доти, Стивен Б. (2007). Механика тканей . Springer. п. 152 .
  11. Перейти ↑ Caldecott, Stratford (2009). Красота ради правды: на переоценке образования . Brazos Press. п. 70.
  12. ^ Bassarear, Том (2011). Математика для учителей начальной школы (5-е изд.). Cengage Learning. п. 499.
  13. ^ Джонсон, NW Джонсон (2018). «11: Конечные группы симметрии». Геометрии и преобразования . Издательство Кембриджского университета.
  14. ^ Hertrich-Jeromin, Удо (2003). Введение в дифференциальную геометрию Мёбиуса . Издательство Кембриджского университета.
  15. ^ Dieck, Tammo (2008). Алгебраическая топология . Европейское математическое общество. С.  261 . ISBN 9783037190487.
  16. ^ Уильям Х. Баркер, Непрерывная симметрия Роджера Хоу : от Евклида до Клейна (электронная книга Google) American Mathematical Soc
  17. ↑ WM Гибсон и Б. Р. Поллард (1980). Принципы симметрии в физике элементарных частиц . Издательство Кембриджского университета. С. 120–122. ISBN 0 521 29964 0.
  18. ^ Владимир Г. Иванцевич, Тияна Т. Иванцевич (2005) Natural Biodynamics World Scientific
  19. ^ Певец, Дэвид А. (1998). Геометрия: плоскость и фантазия . Springer Science & Business Media.
  20. Перейти ↑ Joshi, AW (2007). Элементы теории групп для физиков . Нью Эйдж Интернэшнл. стр. 111 и далее.
  21. ^ Хартсхорн, Робин (2000). Геометрия: Евклид и не только . Springer Science & Business Media.
  22. ^ Kosmann-Шварцбах, Иветт (2010). Теоремы Нётер: инвариантность и законы сохранения в двадцатом веке . Источники и исследования по истории математики и физических наук. Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-87867-6.
  23. ^ Stenger, Victor J. (2000) и Mahou Shiro (2007). Вневременная реальность . Книги Прометея. Особенно главу 12. Нетехнические.
  24. ^ Мартин, Джордж Э. (1982), Геометрия преобразований: Введение в симметрию , Тексты для студентов по математике , Springer, стр. 64, ISBN 9780387906362.
  25. ^ Роберт О. Гулд, Штеффен Борхардт-Отт (2011) Кристаллография: Введение Springer Science & Business Media
  26. ^ Bottema, O и B. Рот, Теоретическая кинематика, Dover Publications (сентябрь 1990)
  27. ^ Джордж Р. МакГи (2006) Геометрия эволюции: адаптивные ландшафты и теоретические морфопространства Cambridge University Press стр.64
  28. ^ Анна Урсин (2012) Биологически вдохновленные вычисления для искусства: научные данные через графику IGI Global Snippet стр.209 [ требуется пояснение ]
  29. ^ Sinden, Ричард Р. (1994). Структура и функции ДНК . Издательство Gulf Professional Publishing. п. 101. ISBN 9780126457506.
  30. ^ Чарльз Ховард Хинтон (1906) Четвертое измерение (электронная книга Google) S. Sonnenschein & Company, стр.223
  31. ^ HSM Coxeter (1961,9) Введение в геометрию , §5 Подобие в евклидовой плоскости, стр. 67–76, §7 Изометрия и подобие в евклидовом пространстве, стр 96–104, John Wiley & Sons .
  32. ^ Уильям Терстон. Трехмерная геометрия и топология. Vol. 1 . Под редакцией Сильвио Леви. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x + 311 pp. ISBN 0-691-08304-5. 
  33. ↑ Klein, Felix , 1872. «Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen» («Сравнительный обзор последних исследований в области геометрии»), Mathematische Annalen, 43 (1893), стр. 63–100 (Также: Gesammelte Abh. Vol. 1, Springer, 1921, стр. 460–497).
    Английский перевод Меллена Хаскелла появился в Bull. NY Math. Soc 2 (1892–1893): 215–249.
  34. ^ Тянь Ю Цао Концептуальные основы квантовой теории поля Cambridge University Press, стр.154-155
  35. ^ Гуйе, Жан-Франсуа (1996). Физика и фрактальные структуры . Париж / Нью-Йорк: Массон Спрингер. ISBN 978-0-387-94153-0.

Внешние ссылки [ править ]

  • Калотта: мир симметрии
  • Голландский: симметрия вокруг точки на плоскости