Комплексное сопряжение

Геометрическое представление (диаграмма Аргана) z и сопряженного с ним z̅ на комплексной плоскости. Комплексное сопряжение находится путем отражения z поперек действительной оси.

В математике , то комплексно сопряженное из комплексного числа есть число с равным реальной части и мнимой части равны по величине , но противоположны по знаку . То есть (если a и b действительны, то) комплексное сопряжение равно . Комплексное сопряжение часто обозначается как .${\ displaystyle a + bi}$${\ displaystyle a-bi.}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {\ overline {z}}}$

В полярной форме , конъюгат это . Это можно показать с помощью формулы Эйлера .${\ displaystyle re ^ {я \ varphi}}$${\ displaystyle re ^ {- я \ varphi}}$

Произведение комплексного числа и его сопряженного числа является действительным числом:  (или  в полярных координатах ).${\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}}$${\ displaystyle r ^ {2}}$

Если корень одномерного многочлена с действительными коэффициентами является комплексным, то его комплексное сопряжение также является корнем .

Обозначение [ править ]

Комплексное сопряжение комплексного числа записывается как или . Первое обозначение, A винкулум , позволяет избежать путаницы с обозначениями для сопряженной транспонированной из в матрице , которая может рассматриваться как обобщение комплексного сопряжения. Второе предпочтительнее в физике , где кинжал (†) используется для сопряженного транспонирования, в то время как штриховая нотация более распространена в чистой математике . Если комплексное число представлено в виде матрицы 2 × 2 , обозначения идентичны. ^{[ требуется разъяснение ]}${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {\ overline {z}}}$${\ displaystyle z ^ {*}}$

Свойства [ править ]

Следующие свойства применяются ко всем комплексным числам z и w , если не указано иное, и могут быть доказаны записью z и w в форме a + bi .

Для любых двух комплексных чисел сопряжение является распределительным по сравнению с сложением, вычитанием, умножением и делением:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ overline {z + w}} & = {\ overline {z}} + {\ overline {w}}, \\ {\ overline {zw}} & = {\ overline {z}} - {\ overline {w}}, \\ {\ overline {zw}} & = {\ overline {z}} \; {\ overline {w}}, \ quad {\ text {and}} \\ {\ overline {\ left ({\ frac {z} {w}} \ right)}} & = {\ frac {\ overline {z}} {\ overline {w}}}, \ quad {\ text {if}} w \ neq 0. \ end {align}}}$

Действительные числа - единственные фиксированные точки сопряжения. Комплексное число равно своему комплексно-сопряженному, если его мнимая часть равна нулю.

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ overline {z}} & = z ~ \ Leftrightarrow ~ z \ in \ mathbb {R} \\\ конец {выровнено}}}$

Композиция сопряжения с модулем эквивалентна только модулю.

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\overline {z}}\right|&=\left|z\right|\\\end{aligned}}}$

Сопряжение - это инволюция , то есть сопряжение комплексного числа z - это z . ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\overline {z}}}&=z\\\end{aligned}}}$

Произведение комплексного числа и его сопряженного числа равно квадрату модуля числа. Это позволяет легко вычислить мультипликативную обратную величину комплексного числа, заданного в прямоугольных координатах.

${\displaystyle {\begin{aligned}z{\overline {z}}&={\left|z\right|}^{2}\\z^{-1}&={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}},\quad \forall z\neq 0\end{aligned}}}$

Сопряжение коммутативно относительно композиции с возведением в степень до целых степеней, с экспоненциальной функцией и с натуральным логарифмом для ненулевых аргументов:

${\displaystyle {\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n},\quad \forall n\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \exp \left({\overline {z}}\right)={\overline {\exp(z)}}}$

${\displaystyle \log \left({\overline {z}}\right)={\overline {\log(z)}}}$если z не ноль

Если - многочлен с действительными коэффициентами и , то тоже. Таким образом, невещественные корни вещественных многочленов встречаются в комплексно сопряженных парах ( см. Теорему о комплексном сопряженном корне ).${\displaystyle p}$${\displaystyle p(z)=0}$${\displaystyle p\left({\overline {z}}\right)=0}$

В общем случае , если это голоморфная функция , сужение которой на действительные числа вещественное, а и определена, то${\displaystyle \varphi \,}$${\displaystyle \varphi (z)}$${\displaystyle \varphi ({\overline {z}})}$

${\displaystyle \varphi \left({\overline {z}}\right)={\overline {\varphi (z)}}.\,\!}$

Отображение из в является гомеоморфизмом (где топология на считается стандартной топологией) и антилинейным , если рассматривать как комплексное векторное пространство над собой. Несмотря на то, что она кажется хорошо управляемой функцией, она не голоморфна ; он меняет ориентацию, тогда как голоморфные функции локально сохраняют ориентацию. Он биективен и совместим с арифметическими операциями и, следовательно, является полевым автоморфизмом . Как он держит действительные числа фиксированными, это элемент Галуа групп на расширении поля${\displaystyle \sigma (z)={\overline {z}}\,}$${\displaystyle \mathbb {C} \,}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$. Эта группа Галуа состоит только из двух элементов: и идентичности . Таким образом, единственные два полевых автоморфизма, которые оставляют действительные числа фиксированными, - это тождественное отображение и комплексное сопряжение.${\displaystyle \sigma \,}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Использовать как переменную [ править ]

Как только задано комплексное число или , его сопряженного числа достаточно для воспроизведения частей z -переменной:${\displaystyle z=x+yi}$${\displaystyle z=re^{i\theta }}$

• Реальная часть: ${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}$
• Мнимая часть: ${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$
• Модуль (или абсолютное значение) :${\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}$
• Аргумент : так${\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}}}$${\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}$

Кроме того, может использоваться для указания линий на плоскости: набор${\displaystyle {\overline {z}}}$

${\displaystyle \left\{z\mid z{\overline {r}}+{\overline {z}}r=0\right\}}$

представляет собой линию, проходящую через начало координат и перпендикулярную к , поскольку действительная часть равна нулю только тогда, когда косинус угла между и равен нулю. Аналогично, для фиксированной комплексной единицы u = exp ( b i) уравнение${\displaystyle {r}}$${\displaystyle z\cdot {\overline {r}}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle {r}}$

${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}}$

определяет прямую, проходящую параллельно прямой, проходящей через 0 и u .${\displaystyle z_{0}}$

Такое использование конъюгата z в качестве переменной проиллюстрировано в книге Фрэнка Морли « Инверсивная геометрия» (1933), написанной вместе с его сыном Фрэнком Вигором Морли.

Обобщения [ править ]

Другие плоские вещественные алгебры, двойственные числа и расщепленные комплексные числа также анализируются с помощью комплексного сопряжения.

Для матриц комплексных чисел,, где представляет собой поэлементное сопряжение . ^[2] Сравните это со свойством , где представляет собой сопряженное транспонирование из .${\textstyle {\overline {\mathbf {AB} }}=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)\left({\overline {\mathbf {B} }}\right)}$${\textstyle {\overline {\mathbf {A} }}}$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\textstyle \left(\mathbf {AB} \right)^{*}=\mathbf {B} ^{*}\mathbf {A} ^{*}}$${\textstyle \mathbf {A} ^{*}}$${\textstyle \mathbf {A} }$

Взятие сопряженного транспонирования (или присоединения) комплексных матриц обобщает комплексное сопряжение. Еще более общим является понятие сопряженного оператора для операторов в (возможно, бесконечномерных) комплексных гильбертовых пространствах . Все это относится к * -операциям C * -алгебр .

Можно также определить сопряжение кватернионов и расщепленных кватернионов : сопряжение is .${\textstyle a+bi+cj+dk}$${\textstyle a-bi-cj-dk}$

Все эти обобщения мультипликативны, только если факторы поменять местами:

${\displaystyle {\left(zw\right)}^{*}=w^{*}z^{*}.}$

Поскольку умножение плоских вещественных алгебр коммутативно , в этом обращении нет необходимости.

Существует также абстрактное понятие сопряжения для векторных пространств над комплексными числами . В этом контексте любое антилинейное отображение , удовлетворяющее${\textstyle V}$ ${\textstyle \varphi :V\rightarrow V\,}$

1. ${\displaystyle \varphi ^{2}=\operatorname {id} _{V}\,}$, где и - тождественное отображение на ,${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi \circ \varphi }$${\displaystyle \operatorname {id} _{V}}$${\displaystyle V\,}$
2. ${\displaystyle \varphi (zv)={\overline {z}}\varphi (v)}$для всех , и${\displaystyle v\in V\,}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} \,}$
3. ${\displaystyle \varphi \left(v_{1}+v_{2}\right)=\varphi \left(v_{1}\right)+\varphi \left(v_{2}\right)\,}$для всех , ,${\displaystyle v_{1}\in V\,}$${\displaystyle v_{2}\in V\,}$

называется комплексным сопряжением или реальной структурой . Поскольку инволюция является антилинейной , она не может быть тождественным отображением на .${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle V}$

Конечно, это -линейное преобразование , если заметить, что каждое комплексное пространство V имеет действительную форму, полученную путем взятия тех же векторов, что и в исходном пространстве, и ограничения скаляров действительными. Вышеупомянутые свойства фактически определяют реальную структуру в комплексном векторном пространстве . ^[3]${\textstyle \varphi }$${\textstyle \mathbb {R} }$${\textstyle V}$${\displaystyle V}$

Одним из примеров этого понятия является операция сопряженного транспонирования сложных матриц, определенная выше. Однако в общих комплексных векторных пространствах нет канонического понятия комплексного сопряжения.

См. Также [ править ]

• Абсолютный квадрат
• Комплексно-сопряженная линия
• Комплексно-сопряженное представление
• Комплексно сопряженное векторное пространство
• Составная алгебра
• Сопряжение (квадратные корни)
• Производные Виртингера

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Будинич П., Траутман А. Спинориальная шахматная доска . Springer-Verlag, 1988. ISBN  0-387-19078-3 . (антилинейные карты обсуждаются в разделе 3.3).