Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Чистая математика изучает свойства и структуру абстрактных объектов, таких как группа E8 , в теории групп . Это можно сделать, не сосредотачиваясь на конкретных приложениях концепций в физическом мире.

Чистая математика - это изучение математических понятий независимо от каких-либо приложений за пределами математики . Эти концепции могут возникать из реальных проблем, и полученные результаты могут позже оказаться полезными для практических приложений, но чистые математики в первую очередь не мотивированы такими приложениями. Напротив, привлекательность объясняется интеллектуальным вызовом и эстетической красотой разработки логических следствий основных принципов.

Хотя чистая математика существовала как вид деятельности, по крайней мере, с Древней Греции , эта концепция была разработана примерно в 1900 году [1] после введения теорий с контринтуитивными свойствами (таких как неевклидовы геометрии и теория бесконечных множеств Кантора). ), и открытие очевидных парадоксов (таких как непрерывные функции , которые нигде не дифференцируются , и парадокс Рассела ). Это привело к необходимости обновить концепцию математической строгости и соответствующим образом переписать всю математику с систематическим использованием аксиоматических методов.. Это побудило многих математиков сосредоточиться на математике как таковой, то есть чистой математике.

Тем не менее, почти все математические теории оставались мотивированными проблемами, исходящими из реального мира или из менее абстрактных математических теорий. Кроме того, многие математические теории, которые казались полностью чистой математикой, в конечном итоге стали использоваться в прикладных областях, в основном в физике и информатике . Известный ранний пример - это демонстрация Исаака Ньютона того , что его закон всемирного тяготения подразумевает, что планеты движутся по орбитам, которые представляют собой конические сечения , геометрические кривые, которые в древности изучал Аполлоний . Другой пример - проблема факторизации больших целых чисел., который является основой криптосистемы RSA , широко используемой для защиты интернет- коммуникаций. [2]

Отсюда следует, что в настоящее время различие между чистой и прикладной математикой является скорее философской точкой зрения или предпочтением математика, чем жестким разделением математики. В частности, нередко некоторые сотрудники отдела прикладной математики называют себя чистыми математиками.

История [ править ]

Древняя Греция [ править ]

Древнегреческие математики были одними из первых, кто различал чистую и прикладную математику. Платон помог создать разрыв между «арифметикой», которая теперь называется теорией чисел , и «логистикой», которая теперь называется арифметикой . Платон считал логистику (арифметику) подходящей для бизнесменов и военнослужащих, которые «должны изучить искусство чисел, иначе [они] не будут знать, как выстраивать [свои] войска», а арифметику (теория чисел) - подходящей для философов », потому что [ они должны] подняться из моря перемен и овладеть истинным существом ». [3] Евклид АлександрийскийКогда один из его учеников спросил, какая польза от изучения геометрии, попросил своего раба дать ученику три пенса, «поскольку он должен получить выгоду от того, что он узнает». [4] Греческого математика Аполлония Пергского спросили о полезности некоторых из его теорем в книге IV « Коник», на что он с гордостью заявил: [5]

Они достойны принятия ради самих демонстраций, точно так же, как мы принимаем многие другие вещи в математике по этой, а не по какой-либо другой причине.

И поскольку многие из его результатов не были применимы к науке или технике его времени, Аполлоний далее утверждал в предисловии к пятой книге Коников, что этот предмет является одним из тех, которые «... кажутся достойными изучения ради самих себя. . " [5]

19 век [ править ]

Сам термин закреплен в полном названии Садлерианской кафедры , садлерианский профессор чистой математики , основанной (как профессура) в середине девятнадцатого века. Идея отдельной дисциплины чистой математики могла возникнуть в то время. Поколение Гаусса не делало радикальных различий между чистым и прикладным . В последующие годы специализация и профессионализация (особенно в подходе Вейерштрасса к математическому анализу ) стали делать разрыв более очевидным.

20 век [ править ]

В начале двадцатого века математики взяли на вооружение аксиоматический метод под сильным влиянием примера Дэвида Гильберта . Логическая формулировка чистой математики, предложенная Бертраном Расселом в терминах кванторной структуры предложений, казалась все более и более правдоподобной, поскольку большие части математики становились аксиоматизированными и, таким образом, подчинялись простым критериям строгого доказательства .

Чистая математика, согласно точке зрения, которую можно отнести к группе Бурбаки , - это то, что доказано. Чистая математика стала признанным призванием, достижимым благодаря обучению.

Было доказано, что чистая математика полезна в инженерном образовании : [6]

Существует тренировка мышления, точек зрения и интеллектуального понимания обычных инженерных задач, которые может дать только изучение высшей математики.

Общность и абстракция [ править ]

Иллюстрация парадокса Банаха – Тарского , известного результата чистой математики. Хотя доказано, что можно преобразовать одну сферу в две, используя только разрезы и вращения, преобразование затрагивает объекты, которые не могут существовать в физическом мире.

Одно из центральных понятий чистой математики - это идея всеобщности; чистая математика часто демонстрирует тенденцию к большей универсальности. Использование и преимущества универсальности включают следующее:

  • Обобщение теорем или математических структур может привести к более глубокому пониманию исходных теорем или структур.
  • Общность может упростить изложение материала, что приведет к более коротким доказательствам или аргументам, которым будет легче следовать.
  • Можно использовать общность, чтобы избежать дублирования усилий, доказать общий результат вместо того, чтобы доказывать отдельные случаи независимо, или использовать результаты из других областей математики.
  • Общность может облегчить связи между различными разделами математики. Теория категорий - это одна из областей математики, посвященная изучению этой общности структуры, проявляющейся в некоторых областях математики.

Влияние общности на интуицию зависит как от предмета, так и от личных предпочтений или стиля обучения. Часто общность рассматривается как препятствие для интуиции, хотя она, безусловно, может служить ей помощником, особенно когда дает аналогии с материалом, к которому у человека уже есть хорошая интуиция.

В качестве яркого примера общности программа Эрлангена включала расширение геометрии с учетом неевклидовой геометрии, а также области топологии и других форм геометрии, рассматривая геометрию как исследование пространства вместе с группой преобразований. . Изучение чисел , называемое алгеброй на начальном уровне бакалавриата, распространяется на абстрактную алгебру на более продвинутом уровне; а изучение функций , называемое исчислением на уровне первокурсников колледжа, становится математическим анализом и функциональным анализом.на более продвинутом уровне. Каждая из этих ветвей более абстрактной математики имеет множество подспециальностей, и на самом деле существует много связей между чистой математикой и дисциплинами прикладной математики. В середине 20 века наблюдался резкий рост абстракции .

На практике, однако, эти разработки привели к резкому отклонению от физики , особенно в период с 1950 по 1983 год. Позже это было подвергнуто критике, например, Владимиром Арнольдом , как слишком много Гильберта , но недостаточно Пуанкаре . Вопрос, похоже, еще не решен, поскольку теория струн ведет в одну сторону, в то время как дискретная математика отступает к доказательству как центральному.

Чистая и прикладная математика [ править ]

Математики всегда расходились во мнениях относительно различия между чистой и прикладной математикой. Один из самых известных (но , возможно , не поняли) современных примеров этой дискуссии можно найти в GH Hardy «s Апологии математика в .

Широко распространено мнение, что Харди считал прикладную математику уродливой и скучной. Хотя Харди действительно предпочитал чистую математику, которую он часто сравнивал с живописью и поэзией , Харди видел различие между чистой и прикладной математикой просто в том, что прикладная математика стремится выразить физическую истину в математической структуре, тогда как чистая математика выражает истины, которые были независимы от физического мира. Харди провел отдельное различие в математике между тем, что он называл «настоящей» математикой, «имеющей постоянную эстетическую ценность», и «скучными и элементарными частями математики», имеющими практическое применение.

Харди считал некоторых физиков, таких как Эйнштейн и Дирак , одними из «настоящих» математиков, но в то время, когда он писал « Апологию», он считал общую теорию относительности и квантовую механику «бесполезными», что позволяло ему придерживаться этого мнения. что полезна была только «тупая» математика. Более того, Харди вкратце признал, что - точно так же, как применение теории матриц и теории групп к физике пришло неожиданно - может наступить время, когда некоторые виды красивой, «настоящей» математики также могут оказаться полезными.

Еще один проницательный взгляд предлагает Магид:

Я всегда думал, что здесь хорошую модель можно почерпнуть из теории колец. В этом предмете есть разделы теории коммутативных колец и некоммутативной теории колец . Несведущий наблюдатель может подумать, что они представляют собой дихотомию, но на самом деле последнее включает первое: некоммутативное кольцо не обязательно является коммутативным кольцом. Если мы используем аналогичные соглашения, то мы могли бы относиться к прикладной математике и неприкладной математике, где под последней мы подразумеваем необязательно прикладную математику ... [курсив добавлен] [7]

См. Также [ править ]

  • Прикладная математика
  • Логика
  • Metalogic
  • Метаматематика

Ссылки [ править ]

  1. ^ Piaggio, HTH, "Sadleirian Профессора" , в О'Коннор, Джон Дж ; Робертсон, Эдмунд Ф. (ред.), Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
  2. ↑ Робинсон, Сара (июнь 2003 г.). «По-прежнему храня секреты после многих лет атак, RSA заслуживает похвалы для своих основателей» (PDF) . Новости SIAM . 36 (5).
  3. ^ Бойер, Карл Б. (1991). «Эпоха Платона и Аристотеля». История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc., с.  86 . ISBN 0-471-54397-7. Платон важен в истории математики в основном из-за его роли вдохновителя и руководителя других, и, возможно, именно ему это объясняется резким различием в Древней Греции между арифметикой (в смысле теории чисел) и логистикой (техника вычислений). ). Платон считал логистику подходящей для бизнесмена и для военного человека, который «должен научиться искусству чисел, иначе он не будет знать, как выстроить свои войска». Философ, с другой стороны, должен быть арифметиком, «потому что он должен подняться из моря перемен и ухватиться за истинное бытие».
  4. ^ Бойер, Карл Б. (1991). «Евклид Александрийский». История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc.,  стр.101 . ISBN 0-471-54397-7. Очевидно, Евклид не акцентировал внимание на практических аспектах своего предмета, поскольку о нем рассказывают историю, что когда один из его учеников спросил, какая польза от изучения геометрии, Евклид попросил своего раба дать студенту три пенса, «поскольку он должен извлекать выгоду из того, что он узнает ".
  5. ^ a b Бойер, Карл Б. (1991). «Аполлоний Пергский». История математики (второе изд.). John Wiley & Sons, Inc.,  стр.152 . ISBN 0-471-54397-7. Именно в связи с теоремами в этой книге Аполлоний делает заявление, подразумевающее, что в его дни, как и в наши, были ограниченные противники чистой математики, уничижительно спрашивавшие о полезности таких результатов. Автор с гордостью утверждал: «Они достойны принятия ради самих демонстраций, точно так же, как мы принимаем многие другие вещи в математике по этой, а не по какой-либо другой причине». (Heath 1961, стр. Lxxiv).
    В предисловии к Книге V, касающемся максимума и минимума прямых линий, проведенных к конусу, снова утверждается, что этот предмет является одним из тех, которые кажутся «достойными изучения ради самих себя». Хотя следует восхищаться автором за его возвышенное интеллектуальное отношение, можно уместно отметить, что в те дни была прекрасная теория, не имеющая перспектив применимости к науке или технике его времени, с тех пор стала фундаментальной в таких областях, как земная динамика и небесная механика.
  6. ^ AS Hathaway (1901) «Чистая математика для студентов инженерных специальностей» , Бюллетень Американского математического общества 7 (6): 266–71.
  7. ↑ Энди Мэгид (ноябрь 2005 г.), Письмо редактора , Уведомления Американского математического общества , стр. 1173

Внешние ссылки [ править ]

  • Что такое чистая математика? - Кафедра чистой математики Университета Ватерлоо
  • Что такое чистая математика? Профессор П.Дж. Гиблин Ливерпульский университет
  • Принципы математики по Бертрану Рассел
  • Как стать чистым математиком (или статистиком) , список учебников и конспектов лекций для студентов и выпускников, с несколькими комментариями и ссылками на решения, сопутствующие сайты, наборы данных, страницы с ошибками и т. Д.