E 8 (математика)

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( Z ) Бесплатная группа Модульные группы PSL (2; Z ) SL (2, Z ) Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , Е ₈ представляет собой любой из нескольких тесно связанных исключительных простых групп Ли , линейные алгебраических групп или алгебр Ли размерностей 248; то же обозначение используется для соответствующей корневой решетки , имеющей ранг  8. Обозначение E ₈ происходит из классификации Картана – Киллинга сложных простых алгебр Ли , которые распадаются на четыре бесконечные серии, обозначенные A _n , B _n , C _n , D _n , и пять исключительных случаев, помеченных E6 , E 7 , E ₈ , F 4 и G 2 . АлгебраE ₈ - самый большой и сложный из этих исключительных случаев.

Основное описание [ править ]

Группа Ли E ₈ имеет размерность 248. Ее ранг , который является размерностью ее максимального тора , равен восьми (8).

Следовательно, векторы корневой системы находятся в восьмимерном евклидовом пространстве : они подробно описаны ниже в этой статье. Группа Вейля E ₈ , которая является группой симметрий максимального тора, индуцированных сопряжениями во всей группе, имеет порядок 2 ¹⁴  3 ⁵  5 ²  7 = 696 729 600 .

Компактная группа E ₈ уникальна среди простых компактных групп Ли тем, что ее нетривиальное представление наименьшей размерности является присоединенным представлением (размерности 248), действующим на самой алгебре Ли E ₈ ; он также является уникальным, обладающим следующими четырьмя свойствами: тривиальный центр, компактный, односвязный и просто зашнурованный (все корни имеют одинаковую длину).

Для любого целого k  ≥ 3 существует алгебра Ли E k . Наибольшее значение k, для которого E _k конечномерно, равно k = 8, то есть E _k бесконечномерно для любого k  > 8.

Реальные и сложные формы [ править ]

Существует уникальная комплексная алгебра Ли типа Е ₈ , что соответствует комплексной группы комплексной размерности 248. комплексная группа Ли Е ₈ из комплексной размерности 248 можно рассматривать как простой группы Ли вещественной размерности 496. Это просто связано , имеет максимальную компактную подгруппу, компактную форму (см. ниже) E ₈ , и группу внешних автоморфизмов порядка 2, порожденную комплексным сопряжением.

Помимо комплексной группы Ли типа E ₈ , существуют три действительные формы алгебры Ли, три действительные формы группы с тривиальным центром (две из которых имеют неалгебраические двойные покрытия, что дает еще две действительные формы), все действительной размерности 248, а именно:

• Компактная форма (которая обычно подразумевается, если никакая другая информация не указана), которая является односвязной и имеет тривиальную группу внешних автоморфизмов.
• Расщепленная форма, EVIII (или E _{8 (8)} ), которая имеет максимальную компактную подгруппу Spin (16) / ( Z / 2 Z ), фундаментальную группу порядка 2 (подразумевая, что она имеет двойное покрытие , которое является односвязным Вещественная группа Ли, но не алгебраическая, см. Ниже ) и имеет тривиальную группу внешних автоморфизмов.
• EIX (или E _{8 (−24)} ), который имеет максимальную компактную подгруппу E ₇ × SU (2) / (- 1, −1), фундаментальную группу порядка 2 (снова подразумевая двойное покрытие, которое не является алгебраическим) и имеет тривиальную группу внешних автоморфизмов.

Полный список реальных форм простых алгебр Ли см. В списке простых групп Ли .

E ₈ как алгебраическая группа [ править ]

С помощью базиса Шевалле алгебры Ли можно определить E ₈ как линейную алгебраическую группу над целыми числами и, следовательно, над любым коммутативным кольцом и, в частности, над любым полем: это определяет так называемое расщепление (иногда также известное как «раскрученная») форма Е ₈ . Над алгебраически замкнутым полем это единственная форма; однако, помимо других полей, часто существует множество других форм или «скручиваний» E ₈ , которые классифицируются в общих рамках когомологий Галуа (над совершенным полем k ) множеством H ¹ ( k , Aut (E ₈ )) который, поскольку диаграмма Дынкина E ₈(см. ниже ) не имеет автоморфизмов, совпадает с H ¹ ( k , E ₈ ). ^[1]

Над R вещественная связная компонента тождества этих алгебраически скрученных форм E ₈ совпадает с тремя реальными группами Ли, упомянутыми выше , но с тонкостью, касающейся фундаментальной группы: все формы E ₈ односвязны в алгебраическом смысле. геометрия, означающая, что они не допускают нетривиальных алгебраических покрытий; поэтому некомпактные и односвязные вещественные групповые формы Ли E _{8 не} являются алгебраическими и не допускают точных конечномерных представлений.

Над конечными полями теорема Лэнга – Стейнберга влечет, что H ¹ ( k , E ₈ ) = 0, что означает, что E ₈ не имеет скрученных форм: см. Ниже .

Характеры конечномерных представлений вещественных и комплексных алгебр Ли и групп Ли задаются формулой характера Вейля . Размеры наименьших неприводимых представлений (последовательность A121732 в OEIS ):

1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 79143000, 146325270, 203205000, 281545875, 301694976, 3420465000, 281545875, 301694976, 34204650000, 219606000, 218606000, 219606000, 219606000 2642777280, 2903770000, 3929713760, 4076399250, 4825673125, 6899079264, 8634368000 (дважды), 12692520960…

248-мерное представление является присоединенным . Существует два неизоморфных неприводимых представления размерности 8634368000 (оно не уникально; однако следующее целое число с этим свойством - 175898504162692612600853299200000 (последовательность A181746 в OEIS )). Эти фундаментальные представления являются те , с размерами 3875, 6696000, 6899079264, 146325270, 2450240, 30380, 248 и 147250 (соответствующих восьми узлов в диаграмме Дынкина в порядке , выбранном для матрицы Картана ниже, то есть, узлы считываются в цепочка из семи узлов первая, причем последний узел подключается к третьему).

Коэффициенты формул характеров для бесконечномерных неприводимых представлений E ₈ зависят от некоторых больших квадратных матриц, состоящих из многочленов, многочленов Люстига – Фогана , аналога многочленов Каждана – Люстига, введенного для редуктивных групп в целом Джорджем Люстигом и Давидом Кажданом ( 1983). Значения в 1 полиномов Люстига – Фогана дают коэффициенты матриц, связывающих стандартные представления (характеры которых легко описываются) с неприводимыми представлениями.

Эти матрицы были вычислены после четырех лет сотрудничества группой из 18 математиков и компьютерных ученых во главе с Джеффри Адамсом , при этом большая часть программирования была сделана Фокко дю Клу . Самый сложный случай (для исключительных групп) - это разделенная вещественная форма E ₈ (см. Выше), где самая большая матрица имеет размер 453060 × 453060. Многочлены Люстига – Фогана для всех других исключительных простых групп были известны уже некоторое время; расчет для раздельной формы E ₈намного дольше, чем в любом другом случае. Объявление результата в марте 2007 г. привлекло чрезвычайное внимание средств массовой информации (см. Внешние ссылки), к удивлению математиков, работавших над этим.

Представления групп E ₈ над конечными полями даются теорией Делиня – Люстига .

Конструкции [ править ]

Можно построить (компактную форму) группы E ₈ как группу автоморфизмов соответствующей алгебры Ли e ₈ . Эта алгебра имеет 120-подалгебру так (16) , порожденную J _Ij , а также 128 новых генераторами Q _через которые преобразуются как Вейль-майорановский спинор из спина (16). Эти утверждения определяют коммутаторы

${\ displaystyle \ left [J_ {ij}, J_ {k \ ell} \ right] = \ delta _ {jk} J_ {i \ ell} - \ delta _ {j \ ell} J_ {ik} - \ delta _ {ik} J_ {j \ ell} + \ delta _ {i \ ell} J_ {jk}}$

а также

${\displaystyle \left[J_{ij},Q_{a}\right]={\frac {1}{4}}\left(\gamma _{i}\gamma _{j}-\gamma _{j}\gamma _{i}\right)_{ab}Q_{b},}$

а остальные коммутаторы (не антикоммутаторы!) между спинорными генераторами определяются как

${\displaystyle \left[Q_{a},Q_{b}\right]=\gamma _{ac}^{[i}\gamma _{cb}^{j]}J_{ij}.}$

Тогда можно проверить выполнение тождества Якоби .

Геометрия [ править ]

Компактная вещественная форма E ₈ - это группа изометрий 128-мерного исключительного компактного риманова симметрического пространства EVIII (по классификации Картана ). Она неформально известна как « октооктонионная проективная плоскость », потому что ее можно построить с помощью алгебры, которая является тензорным произведением октонионов на самих себя, и также известна как проективная плоскость Розенфельда , хотя она не подчиняется обычным аксиомам проективная плоскость. Систематически это можно увидеть, используя конструкцию, известную как магический квадрат , созданную Гансом Фройденталем и Жаком Титсом (Ландсберг и Манивель 2001 ).

Корневая система E ₈ [ править ]

Модель Zome корневой системы E ₈ , спроецированная в трехмерное пространство и представленная вершинами многогранника 4 21 ,

Система корней ранга г является частной конечной конфигурацией векторов, называемых корни , которые охватывают собой г - мерное евклидово пространства и удовлетворяют определенные геометрические свойства. В частности, корневая система должна быть инвариантной относительно отражения через гиперплоскость, перпендикулярную любому корню.

Е ₈ корневая система является системой корней ранга 8 , содержащей 240 корневых векторов , охватывающих R ⁸ . Он несводим в том смысле, что не может быть построен из корневых систем меньшего ранга. Все корневые векторы в E ₈ имеют одинаковую длину. Для ряда целей их удобно нормализовать до длины √ 2 . Эти 240 векторов являются вершинами полурегулярного многогранника обнаруженного Торолдом Госсет в 1900 году, иногда известные как 4 21 многогранника .

Строительство [ править ]

В так называемой четной системе координат E ₈ задается как набор всех векторов в R ⁸ с квадратом длины, равным 2, так что координаты либо все целые, либо все полуцелые числа, а сумма координат четная.

Явно существует 112 корней с целыми элементами, полученными из

${\displaystyle \left(\pm 1,\pm 1,0,0,0,0,0,0\right)\,}$

взяв произвольную комбинацию знаков и произвольную перестановку координат, и 128 корней с полуцелыми элементами, полученными из

${\displaystyle \left(\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}\right)\,}$

взяв четное количество знаков минус (или, что то же самое, требуя, чтобы сумма всех восьми координат была четной). Всего 240 корней.

112 корней с целыми элементами образуют корневую систему D ₈ . Корневая система E ₈ также содержит копию A ₈ (которая имеет 72 корня), а также E 6 и E 7 (фактически, последние два обычно определяются как подмножества E ₈ ).

В нечетной системе координат E ₈ задается путем взятия корней в четной системе координат и изменения знака любой одной координаты. Корни с целыми записями такие же, в то время как корни с полуцелыми записями имеют нечетное количество знаков минус, а не четное число.

Диаграмма Дынкина [ править ]

Диаграмма Дынкина для E ₈ задается .

Эта диаграмма дает краткое визуальное описание корневой структуры. Каждый узел этой диаграммы представляет собой простой корень. Линия, соединяющая два простых корня, означает, что они расположены под углом 120 ° друг к другу. Два простых корня, не соединенных линией, ортогональны .

Матрица Картана [ править ]

Матрица Картана из ранга г корневой системы является г × г матрица , элементы которой являются производными от простых корней. В частности, элементы матрицы Картана задаются

${\displaystyle A_{ij}=2{\frac {\left(\alpha _{i},\alpha _{j}\right)}{\left(\alpha _{i},\alpha _{i}\right)}}}$

где (,) - евклидов скалярное произведение, а α _i - простые корни. Записи не зависят от выбора простых корней (с точностью до упорядочения).

Матрица Картана для E ₈ имеет вид

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&0&0&-1&0&0&2\end{smallmatrix}}\right].}$

Определитель этой матрицы равен 1.

Простые корни [ править ]

Набор простых корней для корневой системы Φ - это набор корней, которые образуют основу для евклидова пространства, натянутого на Φ, со специальным свойством, заключающимся в том, что каждый корень имеет компоненты относительно этого базиса, которые либо все неотрицательны, либо все неположительны.

Учитывая матрицу Картана E ₈ (см. Выше) и порядок узлов диаграммы Дынкина :

Один выбор простых корней дается строками следующей матрицы:

${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&-1&0&0&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0&0&0&0\\0&0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&0&1&-1&0&0&0\\0&0&0&0&1&-1&0&0\\0&0&0&0&0&1&1&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0&0&0&0&1&-1&0\\\end{smallmatrix}}\right].}$

Группа Вейля [ править ]

Группа Вейля E ₈ имеет порядок 696729600 и может быть описана как O⁺
₈(2): он имеет вид 2. G .2 (то есть базовое расширение циклической группой порядка 2 расширения циклической группы порядка 2 группой G ), где G - единственная простая группа порядка 174182400 (который можно описать как PSΩ ₈ ⁺ (2)). ^[3]

Корневая решетка E ₈ [ править ]

Целая оболочка корневой системы E ₈ образует решетку в R ^8, естественно называемую решеткой корней E 8 . Эта решетка весьма примечательна тем, что является единственной (нетривиальной) четной унимодулярной решеткой ранга меньше 16.

Простые подалгебры в E ₈ [ править ]

Алгебра Ли E8 содержит в качестве подалгебр все исключительные алгебры Ли, а также многие другие важные алгебры Ли в математике и физике. Высота алгебры Ли на диаграмме приблизительно соответствует рангу алгебры. Линия от алгебры к нижней алгебре указывает, что нижняя алгебра является подалгеброй высшей алгебры.

Группы Шевалле типа E ₈ [ править ]

Шевалле (1955) показал, что точки (расщепленной) алгебраической группы E ₈ (см. Выше ) над конечным полем с q элементами образуют конечную группу Шевалле , обычно обозначаемую E ₈ ( q ), которая проста для любого q , ^{[ 4] [5]} и составляет одно из бесконечных семейств, рассматриваемых при классификации конечных простых групп . Его количество элементов определяется формулой (последовательность A008868 в OEIS ):

${\displaystyle q^{120}\left(q^{30}-1\right)\left(q^{24}-1\right)\left(q^{20}-1\right)\left(q^{18}-1\right)\left(q^{14}-1\right)\left(q^{12}-1\right)\left(q^{8}-1\right)\left(q^{2}-1\right)}$

Первый член в этой последовательности, порядок E ₈ (2), а именно 337 804 753 143 634 806 261 388 190 614 085 595 079 991 692 242 467 651 576 160 959 909 068 800 000 ≈ 3,38 × 10 ⁷⁴ , уже равен больше, чем размер группы Монстров . Эта группа E ₈ (2) является последней, описанной (но без ее таблицы символов) в ATLAS конечных групп . ^[6]

Мультипликатор Шура Е ₈ ( д ) тривиальна, а ее внешний автоморфизм группы является то , что полевых автоморфизмов (т.е. циклическая порядка е , если д = р ^е , где р простое).

Люстиг (1979) описал унипотентные представления конечных групп типа E ₈ .

Подгруппы [ править ]

Меньшие исключительные группы E 7 и E 6 находятся внутри E ₈ . В компактной группе как E ₇ × SU (2) / (- 1, −1), так и E ₆ × SU (3) / ( Z / 3 Z ) являются максимальными подгруппами в E ₈ .

248-мерное присоединенное представление E ₈ можно рассматривать в терминах его ограниченного представления первой из этих подгрупп. Он преобразуется при E ₇ × SU (2) как сумма представлений тензорного произведения , которую можно обозначить как пару измерений как (3,1) + (1,133) + (2,56) (поскольку в эти обозначения могут строго рассматриваться как указывающие на бесконечно малые (алгебра Ли) представления). Поскольку присоединенное представление может быть описано корнями вместе с образующими в подалгебре Картана , мы можем увидеть это разложение, посмотрев на них. В этом описании

• (3,1) состоит из корней (0,0,0,0,0,0,1, −1), (0,0,0,0,0,0, −1,1) и генератора Картана соответствующий последнему измерению;
• (1133) состоит из всех корней с (1,1), (-1, -1), (0,0), (- ¹ / ₂ , - ¹ / ₂ ) или ( ¹ / ₂ , ¹ ⁄ ₂ ) в последних двух измерениях вместе с генераторами Картана, соответствующими первым семи измерениям;
• (2,56) состоит из всех корней с перестановками (1,0), (-1,0) или ( ¹ / ₂ , - ¹ / ₂ ) в течение последних двух измерений.

При аналогичном ограничении 248-мерное присоединенное представление E ₈ преобразуется при E ₆ × SU (3) как: (8,1) + (1,78) + (3,27) + ( 3 , 27 ). Мы можем снова увидеть разложение, посмотрев на корни вместе с образующими в подалгебре Картана. В этом описании

• (8,1) состоит из корней с перестановками (1, −1,0) в последних трех измерениях вместе с генератором Картана, соответствующим двум последним измерениям;
• (1,78) состоит из всех корней с (0,0,0), (- ¹ / ₂ , - ¹ / ₂ , - ¹ / ₂ ) или ( ¹ / ₂ , ¹ / ₂ , ¹ ⁄ ₂ ) в последних трех измерениях вместе с генераторами Картана, соответствующими первым шести измерениям;
• (3,27) состоит из всех корней с перестановками (1,0,0), (1,1,0) или (- ¹ / ₂ , ¹ / ₂ , ¹ / ₂ ) в течение последних трех измерениях .
• ( 3 , 27 ) состоит из всех корней с перестановками (-1,0,0), (-1, -1,0) или ( ¹ / ₂ , - ¹ / ₂ , - ¹ / ₂ ) в последние три измерения.

Конечные квазипростые группы, которые могут быть вложены в (компактную форму) E _8, были найдены Гриссом и Рыбой (1999) .

Группа Демпвольфа является подгруппой (компактной формы) E ₈ . Он содержится в спорадической группе Томпсона , которая действует на базовом векторном пространстве группы Ли E _8, но не сохраняет скобку Ли. Группа Томпсона фиксирует решетку и сохраняет скобку Ли этой решетки по модулю 3, давая вложение группы Томпсона в E ₈ ( F ₃ ).

Приложения [ править ]

Группа Ли E ₈ имеет приложения в теоретической физике и особенно в теории струн и супергравитации . E ₈ × E ₈ - это калибровочная группа одного из двух типов гетеротической струны и одна из двух калибровочных групп без аномалий, которые могут быть связаны с  супергравитацией N = 1 в десяти измерениях. E ₈ - это группа U-двойственности супергравитации на восьмимерном торе (в ее расщепленной форме).

Одним из способов включения стандартной модели физики элементарных частиц в гетеротическую теорию струн является нарушение симметрии E ₈ до ее максимальной подалгебры SU (3) × E ₆ .

В 1982 году Майкл Фридман использовал Е 8 решетку построить пример топологического 4-многообразия , на Е 8 коллектора , который не имеет гладкую структуру .

Неполная книга Энтони Гарретта Лиси « Исключительно простая теория всего » пытается описать все известные фундаментальные взаимодействия в физике как часть алгебры Ли E ₈ . ^{[7] [8]}

R. Coldea, DA Tennant и EM Wheeler et al. ( 2010 ) сообщила , эксперимент , где спины электронов из кобальта - ниобий кристалл показал, при определенных условиях, два из восьми пиков , связанных с Й ₈ , которые были предсказаны Замолодчиками (1989) . ^{[9] [10]}

История [ править ]

Вильгельм Киллинг  ( 1888a , 1888b , 1889 , 1890 ) открыл комплексную алгебру Ли E ₈ во время своей классификации простых компактных алгебр Ли, хотя он не доказал ее существование, что впервые было показано Эли Картаном . Картан определил, что сложная простая алгебра Ли типа E ₈ допускает три вещественные формы. Каждая из них порождает простую группу Ли размерности 248, ровно одна из которых (как и любая сложная простая алгебра Ли) компактна . Шевалле (1955) ввел алгебраические группы и алгебры Ли типа E _8.над другими полями : например, в случае конечных полей они приводят к бесконечному семейству конечных простых групп лиева типа.

См. Также [ править ]

• E n

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Адамс, Дж. Франк (1996), Лекции по исключительным группам Ли , Чикагские лекции по математике, University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00526-3, MR  1428422
• Баэз, Джон К. (2002), «Октонионы» , Бюллетень Американского математического общества (NS) , 39 (2): 145–205, arXiv : math / 0105155 , doi : 10.1090 / S0273-0979-01-00934 -X , Руководство по ремонту  1886087
• Шевалье, Клод (1955), "Sur certains Groupes Simples" , Тохоку математический журнал , вторая серия, 7 : 14-66, DOI : 10,2748 / TMJ / 1178245104 , ISSN  0040-8735 , MR  0073602
• Coldea, R .; Tennant, DA; Уиллер, EM; Wawrzynska, E .; Prabhakaran, D .; Говоря, М .; Habicht, K .; Smeibidl, P .; Кифер, К. (2010), «Квантовая критичность в цепи Изинга: экспериментальные доказательства появления симметрии E ₈ », Science , 327 (5962): 177–180, arXiv : 1103.3694 , Bibcode : 2010Sci ... 327..177C , DOI : 10.1126 / science.1180085
• Гарибальди, Скип (2016), «E ₈ , самая исключительная группа», Бюллетень Американского математического общества , 53 : 643–671, arXiv : 1605.01721 , doi : 10.1090 / bull / 1540
• Грисс, Роберт Л .; Рыба, AJE (1999), "Конечные простые группы, которые проективно вкладываются в исключительную группу Ли, классифицированы!" , Американское математическое общество. Бюллетень. Новая серия , 36 (1): 75-93, DOI : 10,1090 / S0273-0979-99-00771-5 , MR  1653177
• Убийство Вильгельма (1888a), "Die Zusammensetzung дер stetigen endlichen Transformationsgruppen" , Mathematische Annalen , 31 (2): 252-290, DOI : 10.1007 / BF01211904
• Убийство Вильгельма (1888b), "Die Zusammensetzung дер stetigen endlichen Transformationsgruppen" , Mathematische Annalen , 33 (1): 1-48, DOI : 10.1007 / BF01444109
• Киллинг, Вильгельм (1889), «Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen» , Mathematische Annalen , 34 (1): 57–122, doi : 10.1007 / BF01446792 , заархивировано из оригинала 21.02.2015 , получено 2013-09- 12
• Уничтожение, Вильгельма (1890), "Die Zusammensetzung дер stetigen endlichen Transformationsgruppen" , Mathematische Annalen , 36 (2): 161-189, DOI : 10.1007 / BF01207837
• Ландсберг, Джозеф М .; Manivel, Laurent (2001), «Проективная геометрия магического квадрата Фрейденталя», Journal of Algebra , 239 (2): 477–512, arXiv : math / 9908039 , doi : 10.1006 / jabr.2000.8697 , MR  1832903
• Люстиг, Джордж (1979), "Унипотентные представления конечной группы Шевалле типа E8", Ежеквартальный журнал математики. Оксфорд. Вторая серия , 30 (3): 315-338, DOI : 10,1093 / qmath / 30.3.301 , ISSN  0033-5606 , МР  0545068
• Люстиг, Джордж ; Воган, Дэвид (1983), "Особенности замыканий K-орбит на многообразиях флагов", Inventiones Mathematicae , Springer-Verlag , 71 (2): 365–379, Bibcode : 1983InMat..71..365L , doi : 10.1007 / BF01389103
• Замолодчиков, А.Б. (1989), "Интегралы движения и S-матрица (масштабированной) T = T _c модели Изинга с магнитным полем", International Journal of Modern Physics A , 4 (16): 4235–4248, Bibcode : 1989IJMPA ... 4.4235Z , DOI : 10,1142 / S0217751X8900176X , MR  1017357

Внешние ссылки [ править ]

Вычисление полинома Люстига – Фогана

• Атлас групп Ли
• Полиномы Каждана – Люстига – Вогана для E 8.
• Описание проекта по вычислению полиномов Каждана – Люстига для E 8
• Американский институт математики (март 2007 г.), карта математиков E 8
• The n -Category Café , запись в блоге Техасского университета Джона Баэза на E ₈ .

Прочие ссылки

• Графическое изображение корневой системы E 8 .
• Список размерностей неприводимых представлений сложной формы E ₈ - это последовательность A121732 в OEIS .