Однородная функция

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июль 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике однородная функция - это функция с мультипликативным масштабированием: если все ее аргументы умножаются на коэффициент , то ее значение умножается на некоторую степень этого коэффициента.

Например, однородная действительная функция двух переменных x и y является действительной функцией, которая удовлетворяет условию для некоторой константы k и всех действительных чисел α. Постоянная k называется степенью однородности . ${\ Displaystyle е (\ альфа х, \ альфа у) = \ альфа ^ {к} е (х, у)}$

В более общем смысле , если ƒ : V → W является функцией между двумя векторными пространствами над полем F , и к является целым числом , то ƒ называется однородным степени к , если

{\ Displaystyle е (\ альфа \ mathbf {v}) = \ альфа ^ {к} е (\ mathbf {v})}

( 1 )

для всех ненулевых альфа ∈ F и об ∈ V . Когда задействованные векторные пространства над действительными числами , часто используется немного менее общая форма однородности, требующая только, чтобы ( 1 ) выполнялось для всех α> 0.

Однородные функции также могут быть определены для векторных пространств с удаленным началом координат, факт, который используется в определении пучков на проективном пространстве в алгебраической геометрии . В более общем смысле, если S ⊂ V - любое подмножество , инвариантное относительно скалярного умножения на элементы поля («конус»), то однородная функция из S в W все еще может быть определена с помощью ( 1 ).

Примеры [ править ]

Однородная функция не обязательно является непрерывной , как показано в этом примере. Это функция f, определяемая if и if . Эта функция однородна степени 1, т.е. для любых действительных чисел . Прерывистый при .

{\ Displaystyle е (х, у) = х}

{\ displaystyle xy> 0}

{\ displaystyle f (x, y) = 0}

{\ displaystyle xy \ leq 0}

{\ Displaystyle е (\ альфа х, \ альфа у) = \ альфа е (х, у)}

{\ Displaystyle \ альфа, х, у}

{\ Displaystyle у = 0, х \ neq 0}

Пример 1 [ править ]

Функция однородна степени 2: ${\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}}$

{\ displaystyle f (tx, ty) = (tx) ^ {2} + (ty) ^ {2} = t ^ {2} \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right) = t ^ {2} f (x, y).}

Например, предположим, что x = 2, y = 4 и t = 5. Тогда

${\ displaystyle f (x, y) = 2 ^ {2} + 4 ^ {2} = 4 + 16 = 20}$ , и
${\ Displaystyle f (5x, 5y) = 5 ^ {2} \ left (2 ^ {2} + 4 ^ {2} \ right) = 25 (20) = 500}$ .

Линейные функции [ править ]

Любое линейное отображение ƒ : V → W однородно степени 1, поскольку по определению линейности

f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )

для всех а Е F и v ∈ V .

Аналогично, любая полилинейная функция ƒ : V ₁ × V ₂ × ⋯ × V _n → W однородна степени n, поскольку по определению полилинейности

f(\alpha \mathbf {v} _{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} _{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})

для всех α ∈ F и v ₁ ∈ V ₁ , v ₂ ∈ V ₂ , ..., v _n ∈ V _n .

Отсюда следует , что п -го дифференциала некоторой функции ƒ : X → Y между двумя банаховых пространств X и Y является однородным степени п .

Однородные многочлены [ править ]

Мономы в п переменных определяют однородные функции ƒ : F ^п → F . Например,

f(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}\,

однородна степени 10, так как

f(\alpha x,\alpha y,\alpha z)=(\alpha x)^{5}(\alpha y)^{2}(\alpha z)^{3}=\alpha ^{10}x^{5}y^{2}z^{3}=\alpha ^{10}f(x,y,z).\,

Степень - это сумма показателей переменных; в этом примере 10 = 5 + 2 + 3 .

Однородный многочлен является многочленом из суммы одночленов той же степени. Например,

x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}\,

является однородным многочленом степени 5. Однородные многочлены также определяют однородные функции.

Для однородного полинома степени k можно получить однородную функцию степени 1, возведя его в степень 1 / k . Так, например, для каждого k следующая функция однородна степени 1:

\left(x^{k}+y^{k}+z^{k}\right)^{\frac {1}{k}}

Мин. / Макс. [ Редактировать ]

Для каждого набора весов следующие функции однородны степени 1: $w_{1},\dots ,w_{n}$

$\min \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)$ ( Леонтьевское коммунальное хозяйство )
$\max \left({\frac {x_{1}}{w_{1}}},\dots ,{\frac {x_{n}}{w_{n}}}\right)$

Поляризация [ править ]

Полилинейный функция г : V × V × ⋯ × V → F из п -го декартово произведение из V с самим собой в нижележащей области Р приводит к однородной функции ƒ : V → F путем оценки по диагонали:

f(v)=g(v,v,\dots ,v).

Полученная функция ƒ является полиномом на векторном пространстве V .

И наоборот, если Р имеет характерный нуль, то дается однородный многочлен ƒ степени п на V , то поляризация из ƒ является функцией полилинейная г : V × V × ⋯ × V → Р на п -м декартово произведение V . Поляризация определяется:

g(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})={\frac {1}{n!}}{\frac {\partial }{\partial t_{1}}}{\frac {\partial }{\partial t_{2}}}\cdots {\frac {\partial }{\partial t_{n}}}f(t_{1}v_{1}+\cdots +t_{n}v_{n}).

Эти две конструкции, одна из однородного полинома из полилинейной формы, а другая из полилинейной формы из однородного полинома, взаимно обратны друг другу. В конечных размерах, они установить изоморфизм из градуированных векторных пространств с симметричной алгебры из V ^* в алгебру однородных многочленов на V .

Рациональные функции [ править ]

Рациональные функции, образованные как отношение двух однородных многочленов, являются однородными функциями за пределами аффинного конуса, вырезанного нулевым множеством знаменателя. Таким образом, если f однороден степени m, а g однороден степени n , то f / g однороден степени m - n вдали от нулей g .

Не примеры [ править ]

Логарифмы [ править ]

Натуральный логарифм весы аддитивно и поэтому не является однородным. $f(x)=\ln x$

Это может быть продемонстрировано с помощью следующих примеров: , и . Это потому, что не существует такого k , что . $f(5x)=\ln 5x=\ln 5+f(x)$ $f(10x)=\ln 10+f(x)$ $f(15x)=\ln 15+f(x)$ $f(\alpha \cdot x)=\alpha ^{k}\cdot f(x)$

Аффинные функции [ править ]

Аффинные функции (функция является примером) не масштабируются мультипликативно. $f(x)=x+5$

Положительная однородность [ править ]

В частном случае векторных пространств над действительными числами понятие положительной однородности часто играет более важную роль, чем однородность в указанном выше смысле.

Пусть $X$ (соответственно $Y$ ) будет векторным пространством над полем (соответственно ), где и обычно (или, возможно, просто содержат) действительные числа или комплексные числа . Пусть $f$ $:$ $X$ $\to$ $Y$ - отображение. ^{[примечание 1]} Мы определяем ^{[примечание 2]} следующую терминологию: $\mathbb {F}$ $\mathbb {G}$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {G}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

Строгая положительная однородность : $f (rx) = rf (x)$ для всех $x \in X$ и всех положительных вещественных $r > 0$ .
Неотрицательная однородность : f ( rx ) = rf ( x ) для всех x ∈ X и всех неотрицательных вещественных r ≥ 0 .
- Неотрицательные вещественные функции с этим свойством можно охарактеризовать как функционал Минковского .
- Это свойство используется в определении сублинейной функции .
Положительная однородность : обычно определяется как «неотрицательная однородность», но также часто определяется как «строго положительная однородность».
- Это различие обычно ^{[примечание 3]} не имеет значения, потому что для функции, оцениваемой в векторном пространстве или поле, неотрицательная однородность то же самое, что и строгая положительная однородность: эти понятия идентичны. См. Эту сноску ^{[доказательство 1]} для доказательства.
Действительная однородность : f ( rx ) = r f ( x ) для всех x ∈ X и всех действительных r .
- Это свойство используется при определении реального линейного функционала .
Однородность : f ( sx ) = s f ( x ) для всех x ∈ X и всех $s\in \mathbb {F} .$
- Следует подчеркнуть , что это определение зависит от скалярного поля , лежащего в основе домен $X$ . $\mathbb {F}$
- Это свойство используется при определении линейных функционалов и линейных отображений .
Сопряженная однородность : f ( sx ) = s f ( x ) для всех x ∈ X и всех $s\in \mathbb {F} .$
- Если затем $ев$ , как правило , обозначает комплексное сопряжение из $с$ . Но в более общем плане $s$ может быть образом $s$ при некотором выделенном автоморфизме . $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ $\mathbb {F}$
- Наряду с аддитивностью это свойство предполагается в определении антилинейного отображения . Кроме того , предполагается , что один из двух координат полуторалинейной формы обладает этим свойством (например , как скалярное произведение в виде гильбертова пространства ).

Все приведенные выше определения можно обобщить, заменив равенство $f (rx) = r f (x)$ на $f (rx) = | г | f (x), и$ в этом случае мы ставим перед этим определением слово « абсолютный » или « абсолютно ». Например,

Абсолютная действительная однородность : $f (rx) = | г | f (x)$ для всех $x \in X$ и всех действительных $r$ .
Абсолютная однородность : f ( sx ) = | s | f ( x ) для всех x ∈ X и всех $s\in \mathbb {F} .$
- Это свойство используется в определении полунормы и нормы .

Если $k$ - фиксированное действительное число, то приведенные выше определения можно дополнительно обобщить, заменив равенство $f (rx) = r f (x)$ на $f (rx) = r k f (x)$ (или на $f (rx) = | r | k f (x)$ для условий, использующих абсолютное значение), и в этом случае мы говорим, что однородность " степени $k$ " (обратите внимание, в частности, что все приведенные выше определения являются "степени $1$ "). Например,

Неотрицательная однородность степени $k$ : $f (rx) = r k f (x)$ для всех $x \in X$ и всех вещественных $r \geq 0$ .
Действительная однородность степени $k$ : $f (rx) = r k f (x)$ для всех $x \in X$ и всех действительных $r$ .
Абсолютная вещественная однородность степени $k$ : $f (rx) = | г | k f (x)$ для всех $x \in X$ и всех действительных $r$ .
Абсолютная однородность степени $k$ : $f (sx) = | s | k f (x)$ для всех $x \in X$ и всех $s\in \mathbb {F} .$

(Ненулевая) непрерывная функция , однородная степени $k$ на непрерывно продолжается в тогда и только тогда, когда $k$ $>$ $0$ . $\mathbb {R} ^{n}\backslash \lbrace 0\rbrace$ $\mathbb {R} ^{n}$

Обобщения [ править ]

Все определения, данные выше, являются специализацией следующего более общего понятия однородности, в котором $X$ может быть любым множеством (а не векторным пространством), а действительные числа могут быть заменены более общим понятием моноида .

Моноиды и моноидные действия [ править ]

Моноид представляет собой пару $(М, \cdot)$ , состоящие из множества $М$ и ассоциативного оператора $М \times М \to M$ , где есть некоторый элемент $S$ называется единичный элемент , который мы будем обозначать через $1 \in M$ , таким образом, что $1 \cdot м = т = м \cdot 1$ для всех $т \in M$ .

Обозначения : Если

(M, \cdot)

является моноид с единицей

1 \in M

, и если

т \in M

, то мы сообщим

м 0 ≝ 1

,

м 1 ≝ м

,

м 2 ≝ м \cdot м

, а в более общем случае для любого положительного целые числа

k

, пусть

m k

будет произведением

k

экземпляров

m

; то есть

m k ≝ m \cdot (m k - 1)

.

Обозначение : Обычной практикой (например, в алгебре или исчислении) является обозначение операции умножения моноида

(M, \cdot)

сопоставлением, что означает, что мы можем писать

mn,

а не

m \cdot n

. Это позволяет нам даже не назначать символ операции умножения моноида. Более того, когда мы используем это обозначение сопоставления, мы автоматически предполагаем, что тождественный элемент моноида обозначен

1

.

Пусть $M$ - моноид с единицей $1 \in M$ , операция которого обозначается сопоставлением, и пусть $X$ - множество. Моноид действие из $М$ на $X$ есть отображение $М \times Х \to Х$ , который мы будем обозначать также путем сопоставления, таким образом, что $1 х = х = х 1$ и $(млн) х = т (щ)$ для всех $х \in Х$ и все $м, н \in M$ .

Однородность [ править ]

Пусть $М$ будет Моноид с единицей $1 \in M$ , пусть $X$ и $Y$ являются множествами, и предположим , что на обоих $X$ и $Y$ существуют определенные действия Моноид $M$ . Пусть $k$ - неотрицательное целое число и пусть $f : X \to Y$ - отображение. Тогда мы говорим , что $е$ является однородным степени $к$ над $M$ , если для любого $х \in X$ и $т \in M$ ,

е (мх) = м к е (х)

.

Если дополнительно существует функция $M \to M$ , обозначенная через $m \mapsto | м |$ , Называется абсолютное значение , то мы говорим , что $е$ является абсолютно однородным степени $к$ над $M$ , если для любого $х \in X$ и $т \in M$ ,

f (mx) = | м | k f (x)

.

Если мы говорим, что функция однородна над $M$ (соответственно, абсолютно однородна над $M$ ), мы имеем в виду, что она однородна степени $1$ над $M$ (соответственно абсолютно однородна степени $1$ над $M$ ).

В более общем смысле, обратите внимание, что символы $m k$ могут быть определены для $m \in M,$ где $k$ является чем-то отличным от целого числа (например, если $M$ - действительные числа, а $k$ - ненулевое действительное число, тогда $m k$ определяется хотя $k$ не является целым числом). В этом случае мы говорим , что $е$ является однородным степени $к$ над $М$ , если же имеет место равенство:

е (х) = т к е (х)

для любого

х \in Х

и

т \in М

.

Понятие бытия абсолютно однородна степени $к$ над $М$ обобщена аналогично.

Теорема Эйлера об однородных функциях [ править ]

Непрерывно дифференцируемые положительно однородные функции характеризуются следующей теоремой:

Теорема Эйлера об однородных функциях. - Предположим , что функция является непрерывно дифференцируемой . Тогда $f$ положительно однородна степени $k$ тогда и только тогда, когда $f:\mathbb {R} ^{n}\backslash \lbrace 0\rbrace \rightarrow \mathbb {R}$

\mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} ).

Доказательство

Этот результат следует сразу после дифференцирования обеих частей уравнения $f (α y) = α k f (y)$ по $α$ , применения цепного правила и выбора $α$ равным $1$ .

Обратное доказывается интегрированием. Конкретно пусть . Поскольку , $\textstyle g(\alpha )=f(\alpha \mathbf {x} )$ $\textstyle \alpha \mathbf {x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {x} )=kf(\alpha \mathbf {x} )$

g'(\alpha )=\mathbf {x} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {x} )={\frac {k}{\alpha }}f(\alpha \mathbf {x} )={\frac {k}{\alpha }}g(\alpha ).

Таким образом, . Это подразумевает . Поэтому : $е$ положительно однородна степени $к$ . $\textstyle g'(\alpha )-{\frac {k}{\alpha }}g(\alpha )=0$ $\textstyle g(\alpha )=g(1)\alpha ^{k}$ $\textstyle f(\alpha \mathbf {x} )=g(\alpha )=\alpha ^{k}g(1)=\alpha ^{k}f(\mathbf {x} )$

Как следствие, предположим, что он дифференцируем и однороден степени $k$ . Тогда его частные производные первого порядка однородны степени $k$ $-$ $1$ . Результат следует из теоремы Эйлера путем коммутации оператора с частной производной. $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ $\partial f/\partial x_{i}$ $\mathbf {x} \cdot \nabla$

Теорема может быть специализирована для случая функции одной действительной переменной ( $n = 1$ ), и в этом случае функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению

f'(x)-{\frac {k}{x}}f(x)=0.

Это уравнение может быть решено с использованием подхода интегрирующих множителей с решением , где $c =$ $f$ $(1)$ . $\textstyle f(x)=cx^{k}$

Однородные распределения [ править ]

Непрерывная функция on однородна степени $k$ тогда и только тогда, когда $\mathbb {R} ^{n}$

\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(tx)\varphi (x)\,dx=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\varphi (x)\,dx

для всех тестовых функций с компактной поддержкой ; и ненулевое действительное $t$ . Эквивалентно, делая замену переменной $y$ $=$ $tx$ , однородно степени $k$ тогда и только тогда, когда $\varphi$

t^{-n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi \left({\frac {y}{t}}\right)\,dy=t^{k}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)\varphi (y)\,dy

для всех t и всех тестовых функций . Последний дисплей позволяет определить однородность распределений . Распределение $S$ однородно степени $k,$ если $\varphi$

t^{-n}\langle S,\varphi \circ \mu _{t}\rangle =t^{k}\langle S,\varphi \rangle

для всех ненулевых вещественных $t$ и всех тестовых функций . Здесь угловые скобки обозначают пары между распределениями и тестовыми функциями и являются отображением скалярного деления на действительное число $t$ . $\varphi$ $\mu _{t}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$

Приложение к дифференциальным уравнениям [ править ]

Подстановка $v = y / x$ преобразует обыкновенное дифференциальное уравнение

I(x,y){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+J(x,y)=0,

где $I$ и $J$ - однородные функции одной степени, в сепарабельное дифференциальное уравнение

x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {J(1,v)}{I(1,v)}}-v.

См. Также [ править ]

Производственная функция
Функция центра треугольника
Эллиптическая функция Вейерштрасса

Заметки [ править ]

^ Обратите внимание, в частности, что еслитогда каждая-значная функция на $X$ также является-значной. $Y=\mathbb {C} =\mathbb {G} ,$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$
^ Чтобы такое свойство, как реальная однородность, было четко определено, поляидолжны содержать действительные числа. Мы, конечно, автоматически сделаем любые предположенияинеобходимые для того, чтобы скалярные произведения, приведенные ниже, были четко определены. $\mathbb {F}$ $\mathbb {G}$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {G}$
^ Обратите внимание, что иногдаобласть значений $f$ является набором расширенных действительных чисел (что допускает $\pm \infty$ ), и в этом случае умножение $0 \cdot f (x)$ будет неопределенным, если $f (x) = \pm \infty$ . В этом случае условия « $r > 0$ » и « $r \geq 0$ » не обязательно могут использоваться взаимозаменяемо.

^ Предположим, что $f$ строго положительно однородна и имеет значения в векторном пространстве или поле. Тогда $f (0) = f (2 \cdot 0) = 2 f (0),$ поэтому вычитание $f (0)$ с обеих сторон показывает, что $f (0) = 0$ . Записывая $r ≝ 0$ , для всех $x \in X$ имеем $f (r x) = f (0) = 0 = 0 f (x) = r f (x)$ , что показывает, что $f$ неотрицательно однородно.

Ссылки [ править ]

Блаттер, Кристиан (1979). «20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.». Анализ II (2-е изд.) (На немецком языке). Springer Verlag. стр. 188. ISBN 3-540-09484-9.

Внешние ссылки [ править ]

"Однородная функция" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Эрик Вайсштейн. «Теорема Эйлера об однородной функции» . MathWorld .

[1] Обратите внимание, в частности, что еслитогда каждая-значная функция на $X$ также является-значной. $Y=\mathbb {C} =\mathbb {G} ,$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$

[2] Чтобы такое свойство, как реальная однородность, было четко определено, поляидолжны содержать действительные числа. Мы, конечно, автоматически сделаем любые предположенияинеобходимые для того, чтобы скалярные произведения, приведенные ниже, были четко определены. $\mathbb {F}$ $\mathbb {G}$ $\mathbb {F}$ $\mathbb {G}$

[3] Обратите внимание, что иногдаобласть значений $f$ является набором расширенных действительных чисел (что допускает $\pm \infty$ ), и в этом случае умножение $0 \cdot f (x)$ будет неопределенным, если $f (x) = \pm \infty$ . В этом случае условия « $r > 0$ » и « $r \geq 0$ » не обязательно могут использоваться взаимозаменяемо.

[4] Предположим, что $f$ строго положительно однородна и имеет значения в векторном пространстве или поле. Тогда $f (0) = f (2 \cdot 0) = 2 f (0),$ поэтому вычитание $f (0)$ с обеих сторон показывает, что $f (0) = 0$ . Записывая $r ≝ 0$ , для всех $x \in X$ имеем $f (r x) = f (0) = 0 = 0 f (x) = r f (x)$ , что показывает, что $f$ неотрицательно однородно.