где δ - дельта-функция Дирака . Это свойство функции Грина можно использовать для решения дифференциальных уравнений вида
( 2 )
Если ядро из L нетривиально, то функция Грина не является уникальной. Однако на практике некоторая комбинация симметрии , граничных условий и / или других внешних критериев дает уникальную функцию Грина. Функции Грина можно классифицировать по типу удовлетворяемых граничных условий по номеру функции Грина . Кроме того, функции Грина в целом являются распределениями , а не обязательно функциями действительной переменной.
Грубо говоря, если такую функцию G можно найти для оператора, то, если мы умножим уравнение (1) для функции Грина на f ( s ) , а затем проинтегрируем по s , получим
Потому что оператор линейна и действует только на переменную x (а не на переменную интегрирования s ), можно взять оператор вне интеграции, давая
Это значит, что
(3)
является решением уравнения
Таким образом, можно получить функцию u ( x ), зная функцию Грина в уравнении (1) и истоковый член в правой части уравнения (2). Этот процесс основан на линейности оператора.
Другими словами, решение уравнения (2) u ( x ) может быть определено интегрированием, приведенным в уравнении (3). Хотя f ( x ) известен, это интегрирование не может быть выполнено, если также не известен G. Теперь проблема состоит в том, чтобы найти функцию Грина G , удовлетворяющую уравнению (1). По этой причине функцию Грина также иногда называют фундаментальным решением, связанным с оператором.
Не каждый оператор допускает функцию Грина. Функция Грина также можно рассматривать как правый обратный из. Помимо трудностей нахождения функции Грина для конкретного оператора, интеграл в уравнении (3) может быть довольно трудным для вычисления. Однако метод дает теоретически точный результат.
Функции Грина для решения неоднородных краевых задач
Основное использование функций Грина в математике - решение неоднородных краевых задач . В современной теоретической физике функции Грина также обычно используются как пропагаторы в диаграммах Фейнмана ; термин функция Грина часто используется для обозначения любой корреляционной функции .
Фреймворк
Позволять быть Штурма-Лиувилля оператор, линейный дифференциальный оператор вида
и разреши - векторнозначный оператор граничных условий
Позволять быть непрерывной функцией в Далее предположим, что проблема
является «обычным», т. е. единственным решением для для всех x есть. [а]
Теорема
Есть одно-единственное решение это удовлетворяет
и это дается
где - функция Грина, удовлетворяющая следующим условиям:
непрерывно в а также .
Для , .
Для , .
Производная «скачок»:.
Симметрия: .
Продвинутые и отсталые функции Грина
Иногда функцию Грина можно разбить на сумму двух функций. Один с положительной переменной (+), а другой с отрицательной переменной (-). Это продвинутые и запаздывающие функции Грина, и когда изучаемое уравнение зависит от времени, одна из частей является причинной, а другая анти-причинной. В этих проблемах обычно важна причинная часть. Часто это решения неоднородного уравнения электромагнитной волны .
Поиск функций Грина
Единицы измерения
Хотя он не фиксирует однозначно форму, которую примет функция Грина, выполнение анализа измерений для нахождения единиц, которые должна иметь функция Грина, является важной проверкой работоспособности любой функции Грина, обнаруженной другими способами. Быстрый анализ определяющего уравнения,
показывает, что единицы зависят не только от единиц но также от числа и единиц пространства, в котором векторы положения а также элементы. Это приводит к отношениям:
где определяется как "физические единицы ", а также это элемент объема пространства (или пространства - времени ).
Например, если и время - единственная переменная, тогда:
Если , оператор Даламбера , и тогда пространство имеет 3 измерения:
Разложения по собственным значениям
Если дифференциальный оператор L допускает набор собственных векторов Ψ n ( x ) (т. Е. Набор функций Ψ n и скаляров λ n таких, что L Ψ n = λ n Ψ n ), который является полным, то можно построить Функция Грина из этих собственных векторов и собственных значений .
«Полный» означает, что набор функций { Ψ n } удовлетворяет следующему соотношению полноты :
Тогда имеет место следующее:
где представляет собой комплексное сопряжение.
Применение оператора L к каждой части этого уравнения приводит к предполагаемому соотношению полноты.
Общее исследование функции Грина, записанной в указанной выше форме, и ее связи с функциональными пространствами, образованными собственными векторами, известно как теория Фредгольма .
Есть несколько других методов поиска функций Грина, включая метод изображений , разделения переменных и преобразования Лапласа (Cole 2011).
Объединение функций Грина
Если дифференциальный оператор можно разложить на множители как то функция Грина можно построить из функций Грина для а также :
Приведенное выше тождество немедленно следует из взятия быть представлением правого оператора, обратного к , аналогично тому, как для обратимого линейного оператора , определяется , представлена своими матричными элементами .
Дальнейшее тождество следует для дифференциальных операторов, которые являются скалярными полиномами от производной: . Основная теорема алгебры , в сочетании с тем , что коммутирует сам с собой , гарантирует, что многочлен может быть факторизован, положив в виде:
где нули . Принимая преобразование Фурье от в отношении обоих а также дает:
Затем дробь может быть разделена на сумму с помощью разложения на частичную дробь до преобразования Фурье обратно в а также космос. Этот процесс дает тождества, которые связывают интегралы от функций Грина и их суммы. Например, если то одна из форм его функции Грина:
Хотя представленный пример поддается анализу, он иллюстрирует процесс, который работает, когда интеграл нетривиален (например, когда - оператор в полиноме).
Таблица функций Грина
В следующей таблице представлен обзор функций Грина часто встречающихся дифференциальных операторов, где , , - ступенчатая функция Хевисайда ,- функция Бесселя ,- модифицированная функция Бесселя первого рода , аявляется модифицированной функцией Бесселя второго рода . [1] Там, где в первом столбце указано время ( t ), указана расширенная (причинная) функция Грина.
Одномерный гармонический осциллятор с критическим затуханием
2D оператор Лапласа
с участием
2D уравнение Пуассона
3D оператор Лапласа
с участием
Уравнение Пуассона
Оператор Гельмгольца
ЧАС 1 / 2 ( 2 ) ( k р ) {\ displaystyle H_ {1/2} ^ {(2)} (kr)} час 0 ( 2 ) ( k р ) {\ displaystyle h_ {0} ^ {(2)} (kr)}
стационарное трехмерное уравнение Шредингера для свободной частицы
в Габаритные размеры
Потенциал Юкавы , пропагатор Фейнмана
1D волновое уравнение
2D волновое уравнение
Оператор Даламбера
Трехмерное волновое уравнение
1D диффузия
2D диффузия
3D диффузия
с участием
1D уравнение Клейна – Гордона.
с участием
2D уравнение Клейна – Гордона.
с участием
Трехмерное уравнение Клейна – Гордона.
с участием
уравнение телеграфа
с участием
2D релятивистская теплопроводность
с участием
3D релятивистская теплопроводность
Функции Грина для лапласиана
Функции Грина для линейных дифференциальных операторов, включающих лапласиан, легко использовать, используя второе из тождеств Грина .
Чтобы вывести теорему Грина, начнем с теоремы о расходимости (также известной как теорема Гаусса ),
Позволять и подставим в закон Гаусса.
Вычислить и примените правило произведения для оператора ∇,
Добавление этого в теорему о расходимости дает теорему Грина ,
Предположим, что линейный дифференциальный оператор L является лапласианом ² и что существует функция Грина G для лапласиана. Определяющее свойство функции Грина по-прежнему сохраняется:
Позволять во второй личности Грина см . личности Грина . Потом,
Используя это выражение, можно решить Лапласа уравнение ∇ 2 ф ( х ) = 0 или Пуассона уравнение ∇ 2 ф ( х ) = - р ( х ), с учетом либо Неймана или Дирихле граничных условий. Другими словами, мы можем решить для φ ( x ) всюду внутри объема, где либо (1) значение φ ( x ) задано на ограничивающей поверхности объема (граничные условия Дирихле), либо (2) нормальная производная функции φ ( x ) задается на ограничивающей поверхности (граничные условия Неймана).
Предположим, что задача состоит в том, чтобы решить для φ ( x ) внутри области. Тогда интеграл
сводится к просто φ ( x ) из-за определяющего свойства дельта-функции Дирака, и мы имеем
Эта форма выражает хорошо известное свойство гармонических функций : если значение или нормальная производная известны на ограничивающей поверхности, то значение функции внутри объема известно повсюду .
В электростатики , φ ( х ) интерпретируется как электрический потенциал , р ( х ) в виде электрического заряда плотности и нормальной производной как нормальная составляющая электрического поля.
Если задача состоит в том, чтобы решить краевую задачу Дирихле, функция Грина должна быть выбрана так, чтобы G ( x , x ′) обращалась в нуль, когда x или x ′ находится на ограничивающей поверхности. Таким образом, остается только один из двух членов поверхностного интеграла . Если задача состоит в решении краевой задачи Неймана, функция Грина выбирается так, чтобы ее нормальная производная обращалась в нуль на ограничивающей поверхности, что может показаться наиболее логичным выбором. (См. Классическую электродинамику Джексона Дж. Д., стр. 39). Однако применение теоремы Гаусса к дифференциальному уравнению, определяющему функцию Грина, дает
это означает, что нормальная производная G ( x , x ′) не может обращаться в нуль на поверхности, потому что она должна интегрироваться до 1 на поверхности. (Снова см. Классическую электродинамику Джексона Дж. Д., стр. 39 для этого и следующих аргументов).
Простейшая форма нормальной производной - это постоянная, а именно 1 / S , где S - площадь поверхности. Поверхностный член в растворе становится
где - среднее значение потенциала на поверхности. Это число, как правило, неизвестно, но часто не имеет значения, поскольку цель часто состоит в том, чтобы получить электрическое поле, задаваемое градиентом потенциала, а не самим потенциалом.
Без граничных условий функция Грина для лапласиана ( функция Грина для уравнения Лапласа с тремя переменными ) имеет вид
Предположим, что ограничивающая поверхность уходит в бесконечность, и подставив это выражение для функции Грина, наконец, получим стандартное выражение для электрического потенциала через плотность электрического заряда:
Пример
Пример. Найдите функцию Грина для следующей задачи, номер функции Грина которой равен X11:
Первый шаг: функция Грина для рассматриваемого линейного оператора определяется как решение
Если , то дельта-функция дает ноль, и общее решение
Для , граничное условие при подразумевает
если а также .
Для , граничное условие при подразумевает
Уравнение пропускается по тем же причинам.
Подводя итоги на данный момент:
Второй шаг: следующая задача - определить а также .
Обеспечение преемственности функции Грина на подразумевает
Можно обеспечить надлежащий разрыв в первой производной, интегрировав определяющее дифференциальное уравнение (т. Е. Уравнение *) из к и принимая предел как уходит в ноль. Обратите внимание, что мы интегрируем только вторую производную, так как оставшийся член будет непрерывным по построению.
Два (не) уравнения неразрывности могут быть решены относительно а также чтобы получить
Итак, функция Грина для этой задачи:
Дальнейшие примеры
Пусть n = 1 и пусть все подмножество. Пусть L будет. Тогда ступенчатая функция Хевисайда H ( x - x 0 ) является функцией Грина L в точке x 0 .
Пусть n = 2, и пусть подмножество представляет собой четверть плоскости {( x , y ): x , y ≥ 0}, а L - лапласиан . Также предположим, что граничное условие Дирихле наложено при x = 0, а граничное условие Неймана наложено при y = 0 . Тогда функция Грина X10Y20 равна
Позволять , и все три являются элементами действительных чисел. Тогда для любой функции от вещественных до вещественных,, с -я производная, интегрируемая на интервале:
Функция Грина в приведенном выше уравнении, , не уникален. Как изменяется уравнение, если добавлен к , где удовлетворяет для всех (Например, с участием )? Кроме того, сравните приведенное выше уравнение с формой ряда Тейлора с центром в .
Смотрите также
Бесселев потенциал
Дискретные функции Грина - определенные на графиках и сетках
Импульсная характеристика - аналог функции Грина в обработке сигналов.
Функция передачи
Фундаментальное решение
Функция Грина в теории многих тел
Корреляционная функция
Пропагатор
Личность Грина
Параметрикс
Интегральное уравнение Вольтерра
Резольвентный формализм
Формализм Келдыша
Спектральная теория
Сноски
^ На техническом жаргоне «обычный» означает, что только тривиальное решение () существует для однородной задачи ().
Рекомендации
^ некоторые примеры взяты из Schulz, Hermann: Physik mit Bleistift. Франкфурт-на-Майне: Deutsch, 2001. ISBN 3-8171-1661-6 (немецкий)
Баин, СС (2006). Математические методы в науке и технике . Вайли. Главы 18 и 19.
Эйджес, Леонард (1972). Классическое электромагнитное поле . Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-63947-9. Глава 5 содержит очень наглядное описание использования функций Грина для решения краевых задач в электростатике.
Полянин А.Д .; Зайцев, В. Ф. (2003). Справочник точных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
Полянин, АД (2002). Справочник по линейным дифференциальным уравнениям с частными производными для инженеров и ученых . Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC Press. ISBN 1-58488-299-9.
Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.). Нью-Йорк: В. А. Бенджамин. ISBN 0-8053-7002-1.
Фолланд, Г. Б. Анализ Фурье и его приложения . Математическая серия. Уодсворт и Брукс / Коул.
Коул, KD; Бек, СП; Хаджи-Шейх, А .; Литкоухи, Б. (2011). «Методы получения функций Грина». Теплопроводность с использованием функций Грина . Тейлор и Фрэнсис. С. 101–148. ISBN 978-1-4398-1354-6.
Грин, G (1828). Очерк о применении математического анализа к теориям электричества и магнетизма . Ноттингем, Англия: Т. Уилхаус. страницы 10-12 .
Фаряд а, М .; Лахтакия, А. (2018). Двоичные функции Грина в бесконечном пространстве в электромагнетизме . Лондон, Великобритания / Сан-Рафаэль, Калифорния: IoP Science (Великобритания) / Морган и Клейпул (США). Bibcode : 2018idgf.book ..... F .
Функция Грина для дифференциального оператора в PlanetMath .
Функция Грина в PlanetMath .
Функции Грина и конформное отображение в PlanetMath .
Введение в технику неравновесных функций Грина Келдыша, автор А.П. Джаухо
Библиотека функций Грина
Учебник по функциям Грина
Метод граничных элементов (для некоторого представления о том, как можно использовать функции Грина с методом граничных элементов для численного решения потенциальных проблем)
В Citizendium
Видеолекция MIT о функции Грина
Боули, Роджер. «Функции Джорджа Грина и Грина» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .