Фундаментальное решение

В математике , А фундаментальное решение для линейного частичного дифференциального оператора $L$ представляет собой композиция на языке теории распределения старшей идеи о функции Грина (хотя в отличие от функций Грина, фундаментальные решения не учитывают граничные условия).

В терминах дельта-«функции» Дирака $δ (x)$ фундаментальное решение $F$ является решением неоднородного уравнения

LF = δ (х).

Здесь $Р$ является априори предполагается только быть распределение .

Эта концепция уже давно используется для лапласиана в двух и трех измерениях. Он был исследован для всех измерений лапласиана Марселем Риссом .

Существование фундаментального решения для любого оператора с постоянными коэффициентами - наиболее важный случай, напрямую связанный с возможностью использования свертки для решения произвольной правой части - было показано Бернаром Мальгранжем и Леоном Эренпрейсом . В контексте функционального анализа фундаментальные решения обычно разрабатываются с помощью альтернативы Фредгольма и исследуются в теории Фредгольма .

Пример [ править ]

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение $Lf = sin (x)$ с

{\ displaystyle L = {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}}}

.

Фундаментальные решения могут быть получены путем решения $LF = δ (x) в$ явном виде:

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} F (x) = \ delta (x) ~.}

Поскольку для функции Хевисайда $H$ имеем

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} H (x) = \ delta (x) ~,}

есть решение

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} F (x) = H (x) + C ~.}

Здесь $C$ - произвольная постоянная, введенная интегрированием. Для удобства установите $C$ = - 1/2.

После интегрирования и выбора новой постоянной интегрирования равной нулю, мы имеем ${\ displaystyle {\ frac {dF} {dx}}}$

F(x)=xH(x)-{\frac {1}{2}}x={\frac {1}{2}}|x|~.

Мотивация [ править ]

Как только фундаментальное решение найдено, несложно найти решение исходного уравнения путем свертки фундаментального решения и желаемой правой части.

Фундаментальные решения также играют важную роль при численном решении уравнений в частных производных методом граничных элементов .

Приложение к примеру [ править ]

Рассмотрим оператор $L$ и дифференциальное уравнение, упомянутые в примере,

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=\sin(x)~.

Мы можем найти решение исходного уравнения путем свертки (обозначенной звездочкой) правой части с фундаментальным решением : $f(x)$ $\sin(x)$ $F(x)={\frac {|x|}{2}}$

f(x)=(F*\sin )(x):=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2}}|x-y|\sin(y)\ dy~.

Это показывает, что необходимо соблюдать осторожность при работе с функциями, которые не имеют достаточной регулярности (например, компактный носитель, интегрируемость L ¹ ), поскольку мы знаем, что искомым решением будет $f (x) = -sin x$ , в то время как указанный выше интеграл расходится для всех $х$ . Однако два выражения для $f$ равны как распределения.

Пример, который работает более четко [ править ]

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=I(x)~,

где $I$ - характеристическая (индикаторная) функция единичного интервала [0,1] . В этом случае легко проверить, что свертка $I * F$ с F (x) = | х | / 2 является решением, то есть, имеет вторую производную равен $I$ .

Доказательство того, что свертка является решением [ править ]

Обозначим свертку функций $F$ и $g$ как $F * g$ . Допустим, мы пытаемся найти решение $Lf = g (x)$ . Мы хотим доказать, что $F * g$ является решением предыдущего уравнения, т.е. мы хотим доказать, что $L (F * g) = g$ . При применении дифференциального оператора $L$ к свертке известно, что

L(F*g)=(LF)*g~,

при условии, что $L$ имеет постоянные коэффициенты.

Если $F$ - фундаментальное решение, правая часть уравнения сводится к

\delta *g~.

Но поскольку дельта-функция является тождественным элементом для свертки, это просто $g (x)$ . Подводя итоги,

L(F*g)=(LF)*g=\delta (x)*g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)g(y)dy=g(x)~.

Следовательно, если $F$ - фундаментальное решение, свертка $F * g$ является одним из решений $Lf = g (x)$ . Это не значит, что это единственное решение. Можно найти несколько решений для разных начальных условий.