Экранированное уравнение Пуассона

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Экранное уравнение Пуассона»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июль 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

В физике , то скринингу уравнение Пуассона является уравнение Пуассона , которое возникает в (например) уравнения Клейна-Гордона , электрического поля скрининга в плазме , и нелокальные Гранулированный Текучесть ^[1] , в гранулированной потоке .

Формулировка уравнения [ править ]

Уравнение

${\ displaystyle \ left [\ Delta - \ lambda ^ {2} \ right] u (\ mathbf {r}) = - f (\ mathbf {r}),}$

где - оператор Лапласа , λ - константа, выражающая «экранирование», f - произвольная функция положения (известная как «функция источника»), а u - функция, которую необходимо определить.${\displaystyle \Delta }$

В однородном случае (f = 0) экранированное уравнение Пуассона совпадает с не зависящим от времени уравнением Клейна – Гордона . В неоднородном случае экранированное уравнение Пуассона очень похоже на неоднородное уравнение Гельмгольца , с той лишь разницей, что это знак в скобках.

Решения [ править ]

Три измерения [ править ]

Без ограничения общности будем считать λ неотрицательной. Когда λ равно нулю , уравнение сводится к уравнению Пуассона . Следовательно, когда λ очень мало, решение приближается к решению неэкранированного уравнения Пуассона, которое по размерности представляет собой суперпозицию функций 1 / r, взвешенных функцией источника f :${\displaystyle n=3}$

${\displaystyle u(\mathbf {r} )_{({\text{Poisson}})}=\iiint \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}$

С другой стороны, когда λ чрезвычайно велико, u приближается к значению f / λ² , которое стремится к нулю, когда λ стремится к бесконечности. Как мы увидим, решение для промежуточных значений λ ведет себя как суперпозиция экранированных (или затухающих) функций 1 / r , причем λ ведет себя как сила экранирования.

Экранированное уравнение Пуассона может быть решено относительно общего f с помощью метода функций Грина . Функция Грина G определяется формулой

${\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r} )=-\delta ^{3}(\mathbf {r} ),}$

где δ ³ - дельта-функция с единицей массы, сосредоточенной в начале координат R ³ .

Предполагая, что u и его производные равны нулю при больших r , мы можем выполнить непрерывное преобразование Фурье в пространственных координатах:

${\displaystyle G(\mathbf {k} )=\iiint \mathrm {d} ^{3}r\;G(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$

где интеграл берется по всему пространству. Тогда несложно показать, что

${\displaystyle \left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {k} )=1.}$

Таким образом, функция Грина по r определяется обратным преобразованием Фурье:

${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\;\iiint \mathrm {d} ^{3}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.}$

Этот интеграл можно вычислить, используя сферические координаты в k- пространстве. Интегрирование по угловым координатам выполняется просто, и интеграл сводится к единице по радиальному волновому числу :${\displaystyle k_{r}}$

${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int _{0}^{+\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}\,\sin k_{r}r}{k_{r}^{2}+\lambda ^{2}}}.}$

Это можно оценить с помощью интегрирования контуров . Результат:

${\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {e^{-\lambda r}}{4\pi r}}.}$

Тогда решение полной проблемы дается следующим образом:

${\displaystyle u(\mathbf {r} )=\int \mathrm {d} ^{3}r'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')=\int \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {e^{-\lambda |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}f(\mathbf {r} ').}$

Как указано выше, это суперпозиция экранированных функций 1 / r , взвешенных функцией источника f и с λ, действующим как сила экранирования. Экранированная функция 1 / r часто встречается в физике как экранированный кулоновский потенциал, также называемый « потенциалом Юкавы ».

Два измерения [ править ]

В двух измерениях: в случае намагниченной плазмы экранированное уравнение Пуассона является квазидвумерным:

${\displaystyle \left(\Delta _{\perp }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)u(\mathbf {r} _{\perp })=-f(\mathbf {r} _{\perp })}$

с и , с магнитным полем и - (ионный) ларморовский радиус . Двумерное преобразование Фурье связанной функции Грина :${\displaystyle \Delta _{\perp }=\nabla \cdot \nabla _{\perp }}$${\displaystyle \nabla _{\perp }=\nabla -{\frac {\mathbf {B} }{B}}\cdot \nabla }$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle G(\mathbf {k_{\perp }} )=\iint d^{2}r~G(\mathbf {r} _{\perp })e^{-i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}.}$

Двухмерное экранированное уравнение Пуассона дает:

${\displaystyle \left(k_{\perp }^{2}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)G(\mathbf {k} _{\perp })=1}$.

Таким образом , функция Грина задается обратным преобразованием Фурье :

${\displaystyle G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\;\iint \mathrm {d} ^{2}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}}{k_{\perp }^{2}+1/\rho ^{2}}}.}$

Этот интеграл можно вычислить, используя полярные координаты в k-пространстве :

${\displaystyle \mathbf {k} _{\perp }=(k_{r}\cos(\theta ),k_{r}\sin(\theta ))}$

Интегрирование по угловой координате дает функцию Бесселя , а интеграл сводится к единице по радиальному волновому числу :${\displaystyle k_{r}}$

${\displaystyle G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{2\pi }}\;\int _{0}^{+\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}\,J_{0}(k_{r}r_{\perp })}{k_{r}^{2}+1/\rho ^{2}}}={\frac {1}{2\pi }}K_{0}(r_{\perp }\,/\,\rho ).}$

См. Также [ править ]

• Юкава взаимодействие

Ссылки [ править ]