Потенциал Юкавы

В частицы , атомарный и физике конденсированных сред , А потенциал юкавская (также называемый скрининг потенциал Кулона ) представляет собой потенциал вида

${\ displaystyle V _ {\ text {Yukawa}} (r) = - g ^ {2} {\ frac {e ^ {- \ alpha mr}} {r}},}$

где g - постоянная масштабирования величины, то есть амплитуда потенциала, m - масса частицы, r - радиальное расстояние до частицы, а α - еще одна постоянная масштабирования, так что это приблизительный диапазон. Потенциал монотонно увеличивается по r и отрицателен, что означает, что сила притягивает. В системе СИ единица измерения потенциала Юкавы - (1 / м).${\ displaystyle r \ приблизительно {\ tfrac {1} {\ alpha m}}}$

Потенциал Кулона из электромагнетизма является примером потенциала юкавского с коэффициентом , равным 1, везде. Это можно интерпретировать как утверждение, что масса фотона m равна 0.${\ displaystyle e ^ {- \ alpha mr}}$

Во взаимодействиях между мезонным полем и фермионным полем постоянная g равна калибровочной константе связи между этими полями. В случае ядерной силы фермионы были бы протоном и другим протоном или нейтроном .

История [ править ]

До работы Хидеки Юкавы 1935 года ^[1] физики изо всех сил пытались объяснить результаты атомной модели Джеймса Чедвика , которая состояла из положительно заряженных протонов и нейтронов, упакованных внутри небольшого ядра с радиусом порядка ^10-14 метров. . Физики знали, что электромагнитные силы такой длины заставят эти протоны отталкиваться друг от друга, а ядро ​​развалится. ^[2] Так возникла мотивация для дальнейшего объяснения взаимодействий между элементарными частицами. В 1932 году Вернер Гейзенбергпредложил "Platzwechsel" (миграцию) взаимодействие между нейтронами и протонами внутри ядра, в котором нейтроны были составными частицами протонов и электронов. Эти составные нейтроны испускают электроны, создавая силу притяжения с протонами, а затем сами превращаются в протоны. Когда в 1933 году на Сольвеевской конференции Гейзенберг предложил свое взаимодействие, физики заподозрили, что оно имеет две формы:

${\ displaystyle J (r) = ae ^ {- br} \ quad {\ textrm {или}} \ quad J (r) = ae ^ {- br ^ {2}}}$

из-за его малой дальности. ^[3] Однако его теория вызвала много вопросов. А именно, для электрона со спином1/2 и протон спина 1/2 добавить к нейтронному спину 1/2. То, как Гейзенберг рассматривал этот вопрос, впоследствии сформировало идеи изоспина .

Идея Гейзенберга об обменном взаимодействии (а не кулоновской силе) между частицами внутри ядра побудила Ферми сформулировать свои идеи о бета-распаде в 1934 году. ^[3] Нейтрон-протонное взаимодействие Ферми не было основано на «миграции» нейтрона и протоны между собой. Вместо этого Ферми предложил испускание и поглощение двух легких частиц: нейтрино и электрона, а не только электрона (как в теории Гейзенберга). В то время как взаимодействие Ферми решило проблему сохранения линейного и углового момента, советские физики Игорь Тамм и Дмитрий Иванекопродемонстрировал, что сила, связанная с испусканием нейтрино и электронов, не была достаточно сильной, чтобы связать протоны и нейтроны в ядре. ^[4]

В своей статье, опубликованной в феврале 1935 года, Хидеки Юкава сочетает идею ближнего силового взаимодействия Гейзенберга и идею Ферми об обменной частице, чтобы решить проблему взаимодействия нейтрона и протона. Он вывел потенциал, который включает член экспоненциального затухания ( ) и электромагнитный член ( ). По аналогии с квантовой теорией поля Юкава знал, что потенциал и соответствующее ему поле должны быть результатом обменной частицы. В случае КЭД этой обменной частицей был фотон с нулевой массой. В случае Юкавы обменная частица имела некоторую массу, которая была связана с диапазоном взаимодействия (определяемым формулой${\ displaystyle e ^ {- \ alpha mr}}$${\ displaystyle 1 / r}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ alpha m}}}$). Поскольку диапазон ядерных сил был известен, Юкава использовал свое уравнение, чтобы предсказать, что масса частицы-посредника примерно в 200 раз больше массы электрона. Физики назвали эту частицу « мезон », так как ее масса была посередине между протоном и электроном. Мезон Юкавы был обнаружен в 1947 году и стал известен как пион . ^[4]

Связь с кулоновским потенциалом [ править ]

Если частица не имеет массы (т. Е. M = 0), то потенциал Юкавы сводится к кулоновскому потенциалу, и диапазон считается бесконечным. Фактически у нас есть:

${\ displaystyle m = 0 \ Rightarrow e ^ {- \ alpha mr} = e ^ {0} = 1.}$

Следовательно, уравнение

${\ displaystyle V _ {\ text {Yukawa}} (r) = - g ^ {2} \; {\ frac {e ^ {- \ alpha mr}} {r}}}$

упрощается до вида кулоновского потенциала

${\ displaystyle V _ {\ text {Coulomb}} (r) = - g ^ {2} \; {\ frac {1} {r}}.}$

где мы устанавливаем постоянную масштабирования равной:

${\ displaystyle g ^ {2} = {\ frac {q_ {1} q_ {2}} {~ 4 \ pi \ epsilon _ {0} ~}} \ quad}$^[5]

Сравнение дальнодействующего потенциала Юкавы и Кулона показано на рисунке 2. Можно видеть, что кулоновский потенциал действует на большем расстоянии, тогда как потенциал Юкавы довольно быстро приближается к нулю. Однако любой потенциал Юкавы или кулоновский потенциал отличен от нуля при любом большом r .

Преобразование Фурье [ править ]

Самый простой способ понять, что потенциал Юкавы связан с массивным полем, - это изучить его преобразование Фурье . Надо

${\displaystyle V(\mathbf {r} )={\frac {-g^{2}}{(2\pi )^{3}}}\int e^{i\mathbf {k\cdot r} }{\frac {4\pi }{k^{2}+(\alpha m)^{2}}}\;\operatorname {d} ^{3}k}$

где интеграл ведется по всем возможным значениям 3-векторных импульсов k . В этой форме, а также установка коэффициента масштабирования к одному, фракция видно , чтобы быть распространителем или функции Грина из уравнения Клейна-Гордона .${\displaystyle \alpha =1}$${\displaystyle {\frac {4\pi }{~k^{2}+m^{2}~}}}$

Амплитуда Фейнмана [ править ]

Потенциал Юкавы может быть получен как амплитуда низшего порядка взаимодействия пары фермионов. Юкавские взаимодействия пары фермионного поля к полю мезонов с термином сцепления${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \phi (x)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\mathrm {int} }(x)=g~{\overline {\psi }}(x)~\phi (x)~\psi (x)~.}$

Амплитуда рассеяния для двух фермионов, один с начальным импульсом , а другой с импульсом , обменивающихся мезон с импульсом к , задается диаграммой Фейнмана справа.${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{2}}$

Правила Фейнмана для каждой вершины связывают коэффициент g с амплитудой; так как эта диаграмма имеет две вершины, общая амплитуда будет иметь коэффициент . Линия посередине, соединяющая две линии фермионов, представляет собой обмен мезоном. Правило Фейнмана для обмена частицами заключается в использовании пропагатора; пропагатор массивного мезона равен . Таким образом, мы видим, что амплитуда Фейнмана для этого графика не более чем${\displaystyle g^{2}}$${\displaystyle {\frac {-4\pi }{~k^{2}+m^{2}~}}}$

${\displaystyle V(\mathbf {k} )=-g^{2}{\frac {4\pi }{k^{2}+m^{2}}}~.}$

Из предыдущего раздела видно, что это преобразование Фурье потенциала Юкавы.

Собственные значения уравнения Шредингера [ править ]

Радиальное уравнение Шредингера с потенциалом Юкавы можно решить пертурбативно. ^{[6] [7] [8] ( гл. 16 )} Использование радиального уравнения Шредингера в виде

${\displaystyle \left[{\frac {\operatorname {d} ^{2}}{\operatorname {d} r^{2}}}+k^{2}-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}-V(r)\right]\Psi \left(\ell ,k;\,r\right)=0,}$

и потенциал Юкавы в степенной форме

${\displaystyle V(r)=\sum _{i=-1}^{\infty }M_{i+1}(-r)^{i},}$

и положив , для момента количества движения получаем выражение${\displaystyle K=ik}$${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \ell +n+1=-{\frac {\Delta _{n}(K)}{2K}}}$

для , где${\displaystyle |K|\to \infty }$

${\displaystyle \Delta _{n}(K)=M_{0}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \quad -{\frac {1}{2K^{2}}}{\Bigl [}n(n+1)M_{2}+M_{0}M_{1}{\Bigr ]}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \quad -{\frac {2n+1}{4K^{3}}}M_{0}M_{2}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \quad +{\frac {1}{8K^{4}}}{\Bigl [}3M_{4}(n-1)n(n+1)(n+2)+2M_{3}M_{0}(3n^{2}+3n-1)+6M_{2}M_{1}n(n+1)+2M_{2}M_{0}^{2}+3M_{1}^{2}M_{0}{\Bigr ]}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \quad +{\frac {2n+1}{8K^{5}}}{\Bigl [}3M_{4}M_{0}(n^{2}+n-1)+3M_{3}M_{0}^{2}+M_{2}^{2}n(n+1)+4M_{2}M_{1}M_{0}{\Bigr ]}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \quad +{}O\left({\frac {1}{K^{7}}}\right).}$

Устанавливая все коэффициенты, кроме равных нулю, получаем хорошо известное выражение для собственного значения Шредингера для кулоновского потенциала, а радиальное квантовое число n является положительным целым числом или нулем как следствие граничных условий, которые волновые функции кулоновского потенциал должен удовлетворить. В случае потенциала Юкавы наложение граничных условий сложнее. Таким образом, в случае Юкавы это только приближение, а параметр , заменяющий целое число n, на самом деле представляет собой асимптотическое разложение, подобное приведенному выше с первым приближением целочисленного значения соответствующего кулоновского случая. Приведенное выше разложение для орбитального углового момента или траектории Редже${\displaystyle M_{i}}$${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle \nu =n}$${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \ell (K)}$можно перевернуть для получения собственных значений энергии или, что то же самое, получить: ^[9]${\displaystyle |K|^{2}~.}$

${\displaystyle |K|^{2}=-M_{1}+{\frac {M_{0}^{2}}{4(\ell +n+1)^{2}}}{\biggl \{}~1-4n(n+1)(\ell +n+1)^{2}{\frac {M_{2}}{M_{0}}}+4(2n+1)(\ell +n+1)^{2}{\frac {M_{2}}{M_{0}^{3}}}}$

${\displaystyle \quad +~4{\frac {(\ell +n+1)^{4}}{M_{0}^{6}}}{\Bigl [}~3M_{4}M_{0}(n-1)n(n+1)(n+2+3)}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -~3M_{2}^{2}n^{2}(n+1)^{2}+2M_{3}M_{0}^{2}(3n^{2}+3n-1)+2M_{2}M_{0}^{3}~{\Bigr ]}}$

${\displaystyle \quad -~24{\frac {(2n+1)(\ell +n+1)^{5}}{M_{0}^{6}}}{\Bigl [}~M_{0}M_{4}(n^{2}+n-1)+M_{0}^{3}M_{3}-M_{2}^{2}n(n+1)~{\Bigr ]}}$

${\displaystyle \quad -~4{\frac {(\ell +n+1)^{6}}{M_{0}^{9}}}{\Bigl [}~10M_{6}M_{0}^{2}(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)(n+3)}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad +~~4M_{3}M_{0}^{5}+2M_{5}M_{0}^{3}{\Bigl (}~5n(n+1)(3n^{2}+3n-10)+12~{\Bigr )}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad +~~2M_{4}M_{0}^{4}(6n^{2}+6n-11)+2M_{2}^{2}M_{0}^{3}(9n^{2}+9n-1)}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad -~10M_{3}M_{2}M_{0}^{2}n(n+1)(3n^{2}+3n+2)+20M_{2}^{3}n^{3}(n+1)^{3}}$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad -~30M_{4}M_{2}M_{0}(n-1)n^{2}(n+1)^{2}(n+2)~{\Bigr ]}\quad +\quad ...{\biggr \}}~.}$

Вышеупомянутое асимптотическое разложение углового момента по убывающим степеням K также может быть получено с помощью метода ВКБ . В этом случае, однако, как и в случае кулоновского потенциала, выражение в центробежном члене уравнения Шредингера должно быть заменено , как первоначально утверждал Лангер ^[10], причина в том, что сингулярность слишком сильна для неизменное применение метода ВКБ . Правильность этого рассуждения следует из вывода ВКБ правильного результата в кулоновском случае (с поправкой Лангера ), ^{[8] ( p404 )}${\displaystyle \ell (K)}$${\displaystyle \ell (\ell +1)}$${\displaystyle (\ell +{\tfrac {1}{2}})^{2}}$и даже вышеупомянутого разложения в случае Юкавы с приближениями ВКБ более высокого порядка. ^[11]

Поперечное сечение [ править ]

Мы можем вычислить дифференциальное сечение между протоном или нейтроном и пионом, используя потенциал Юкавы. Мы используем приближение Борна , которое говорит нам, что в сферически симметричном потенциале мы можем аппроксимировать исходящую рассеянную волновую функцию как сумму входящей плоской волновой функции и небольшого возмущения:

${\displaystyle \psi ({\vec {r}})\approx A{\bigg [}(e^{ipr})+{\frac {e^{ipr}}{r}}f(\theta ){\bigg ]}}$

где - набегающий импульс частицы. Функция задается:${\displaystyle {\vec {p}}=p{\hat {z}}}$${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle f(\theta )={\frac {-2\,\mu }{~\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|~}}\,\int \limits _{0}^{\infty }r\,V(r)\,\sin {\left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|\,r\,\right)}~\operatorname {d} r~}$

где - исходящий рассеянный импульс частицы и - масса падающей частицы (не путать с массой пиона). Рассчитываем , подключив :${\displaystyle ~{\vec {p}}'=p\,{\hat {r}}~}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle m,}$${\displaystyle f(\theta )}$${\displaystyle V_{Yukawa}}$

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\,\mu }{\hbar ^{2}\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|}}\,g^{2}\,\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\alpha mr}\,\sin {\left(\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|\,r\right)}\operatorname {d} r~}$

Оценка интеграла дает

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\,\mu \,g^{2}}{~\hbar ^{2}\,\left[(\alpha m)^{2}+\left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|^{2}\right]~}}~}$

Энергосбережение подразумевает

${\displaystyle {\bigl |}{\vec {p}}{\bigr |}={\bigl |}{\vec {p}}'{\bigr |}=p~}$

чтобы

${\displaystyle \left|{\vec {p}}-{\vec {p}}'\right|=2\,p\,\sin \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)~}$

Подключив, получаем:

${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\,\mu \,g^{2}}{\hbar ^{2}\,\left[\,(\alpha m)^{2}+4\,p^{2}\,\sin ^{2}\left({{\tfrac {1}{2}}\theta }\right)\,\right]}}~}$

Таким образом, мы получаем дифференциальное сечение:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} \Omega }}=\left|f(\theta )\right|^{2}={\frac {4\,\mu \,g^{4}}{\hbar ^{4}\,\left[\,(\alpha m)^{2}+4\,p^{2}\,\sin ^{2}\left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)\,\right]^{2}}}~}$^[5]

Суммируя, получаем полное сечение:

${\displaystyle \sigma =\int {\frac {\operatorname {d} \sigma }{\operatorname {d} \Omega }}\operatorname {d} \Omega ={\frac {4\,\mu \,g^{4}}{\hbar ^{4}}}\int _{0}^{\pi }{\frac {2\pi \sin(\theta )\operatorname {d} \theta }{\left[\,(\alpha m)^{2}+4\,p^{2}\,\sin ^{2}\left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)\,\right]^{2}}}={\frac {4\,\mu \,g^{4}}{\hbar ^{4}}}{\frac {4\pi }{(\alpha m)^{2}\left[(\alpha m)^{2}+4p^{2}\right]}}}$

См. Также [ править ]

• Юкава взаимодействие
• Экранированное уравнение Пуассона
• Бесселев потенциал

Ссылки [ править ]

Источники [ править ]

• Браун, GE ; Джексон, AD (1976). Нуклон-нуклонное взаимодействие . Амстердам: Издательство Северной Голландии. ISBN 0-7204-0335-9.