Квантовая электродинамика

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Фон Эффект Казимира Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Четвертичное взаимодействие Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Теория Черна – Саймонса Море Дирака Ложный вакуум Калибровочная теория Теория калибровочной гравитации Калибровочная теория гравитации Теория возмущений 6D (2,0) суперконформная теория поля Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Локальная квантовая теория поля Теория поля Лиувилля Некоммутативная квантовая теория поля Квантовая геометрия Теория рассеяния Полуклассическая гравитация Отжим пена Теория струн Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая космология Квантовая пена Квантовая флуктуация Квантовая гравитация Локальная квантовая теория поля Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Релятивистская квантовая теория поля Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса Теория Янга – Миллса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин
v т е

В физике элементарных частиц, квантовая электродинамика ( КЭД ) является релятивистской квантовой теорией поля из электродинамики . По сути, она описывает, как взаимодействуют свет и материя, и является первой теорией, в которой достигается полное согласие между квантовой механикой и специальной теорией относительности . КЭД математически описывает все явления, связанные с взаимодействием электрически заряженных частиц посредством обмена фотонами, и представляет собой квантовый аналог классического электромагнетизма. дающий полный отчет о взаимодействии материи и света.

С технической точки зрения КЭД можно описать как теорию возмущений электромагнитного квантового вакуума . Ричард Фейнман назвал его «жемчужина физики» за его чрезвычайно точные предсказания величин , как аномальный магнитный момент электрона и сдвиг Лэмбы из уровней энергии из водорода . ^{[1] : Ch1}

История [ править ]

Первая формулировка квантовой теории , описывающей взаимодействие излучения и вещества приписывается Британский ученый Поль Дирак , который (в 1920) был в состоянии вычислить коэффициент спонтанного излучения в качестве атома . ^[2]

Дирак описал квантование электромагнитного поля как ансамбль гармонических осцилляторов с введением концепции операторов рождения и уничтожения частиц. В последующие годы при участии Вольфганг Паули , Юджин Вигнер , Паскуаль Иордан , Вернер Гейзенберг и элегантной формулировки квантовой электродинамики в связи с Энрико Ферми , ^[3] физики пришли к убеждению , что, в принципе, можно было бы выполнить любой вычисление для любого физического процесса с участием фотонов и заряженных частиц. Однако дальнейшие исследования Феликса Блохас Арнольдом Нордсиком , ^[4] и Виктор Вайскопф , ^[5] в 1937 и 1939 годах, показали , что такие расчеты были достоверными только в первом порядке теории возмущений , проблема уже указывал Роберт Оппенгеймер . ^[6] На более высоких порядках в рядах возникали бесконечности, делающие такие вычисления бессмысленными и вызывающие серьезные сомнения во внутренней непротиворечивости самой теории. Поскольку в то время не было известно решения этой проблемы, казалось, что существует фундаментальная несовместимость между специальной теорией относительности и квантовой механикой .

Трудности с теорией увеличились до конца 1940-х годов. Улучшения в микроволновой технологии сделали возможным принимать более точные измерения сдвига уровней атома водорода , ^[7] В настоящее время известно как сдвиг Lamb и магнитного момента электрона. ^[8] Эти эксперименты выявили расхождения, которые теория не могла объяснить.

Первое указание на возможный выход было дано Гансом Бете в 1947 году ^[9] после посещения конференции острова Шелтер . ^[10] Когда он ехал на поезде от конференции до Скенектади, он сделал первое нерелятивистское вычисление сдвига линий атома водорода, измеренного Лэмбом и Ретерфордом . ^[9] Несмотря на ограничения вычислений, согласие было отличным. Идея заключалась в том, чтобы просто привязать бесконечности к поправкам на массу и заряд.которые фактически были зафиксированы экспериментами до конечного значения. Таким образом, бесконечности поглощаются этими константами и дают конечный результат, хорошо согласующийся с экспериментом. Эта процедура получила название перенормировки .

Основываясь на интуиции Бете и фундаментальных работах по этому вопросу Шинитиро Томонага , ^[11] Джулиана Швингера , ^{[12] [13]} Ричарда Фейнмана ^{[14] [15] [16]} и Фримена Дайсона , ^{[17] [18]} он наконец стало возможным получить полностью ковариантные формулировки, конечные в любом порядке в ряду возмущений квантовой электродинамики. Синъитиро Томонага, Джулиан Швингер и Ричард Фейнман были совместно удостоены Нобелевской премии 1965 года по физике за свои работы в этой области. ^[19] Их вклад и вклад Фримена Дайсона., были о ковариантных и калибровочно-инвариантных формулировках квантовой электродинамики, которые позволяют вычислять наблюдаемые в любом порядке теории возмущений . Математическая техника Фейнмана, основанная на его диаграммах , первоначально казалась очень отличной от теоретико-полевого, основанного на операторах подхода Швингера и Томонаги, но Фримен Дайсон позже показал, что эти два подхода эквивалентны. ^[17] Перенормировка , необходимость придать физический смысл некоторым расхождениям, появляющимся в теории через интегралы , впоследствии стала одним из фундаментальных аспектов квантовой теории поля.и стал рассматриваться как критерий общей приемлемости теории. Несмотря на то, что на практике перенормировка работает очень хорошо, Фейнман никогда не чувствовал себя полностью уверенным в ее математической достоверности, даже говоря о перенормировке как о «игре в оболочку» и «фокус-покусе». ^{[1] : 128}

КЭД послужила моделью и шаблоном для всех последующих квантовых теорий поля. Одной из таких последующих теорий является квантовая хромодинамика , которая зародилась в начале 1960-х и приобрела свою нынешнюю форму в 1970-х годах в работах Х. Дэвида Политцера , Сидни Коулмана , Дэвида Гросса и Фрэнка Вильчека . Основываясь на новаторских работах Швингера , Джеральда Гуральника , Дика Хагена и Тома Киббла , ^{[20] [21]} Питера Хиггса , Джеффри Голдстоуна и других, Шелдона Ли Глэшоу , Стивена Вайнберга иАбдус Салам независимо показал, как слабое ядерное взаимодействие и квантовая электродинамика могут быть объединены в одну электрослабую силу .

Взгляд Фейнмана на квантовую электродинамику [ править ]

Введение [ править ]

Ближе к концу своей жизни Ричард Фейнман прочитал серию лекций по QED, предназначенных для широкой публики. Эти лекции были расшифрованы и опубликованы в качестве Фейнман (1985), КЭДА: Strange Теории света и материи , ^[1] классическое нематематическое изложение КЭДА с точки зрения шарнирного ниже.

Ключевыми компонентами представления КЭД Фейнманом являются три основных действия. ^{[1] : 85}

Фотон переходит из одного места и времени в другое место и время.

Электрон переходит с одного места и времени в другое место и время.

Электрон излучает или поглощает фотон в определенном месте и в определенное время.

Эти действия представлены в форме визуального сокращения тремя основными элементами диаграмм Фейнмана : волнистой линией для фотона, прямой для электрона и стыка двух прямых линий и волнистой линией для вершины, представляющей излучение или поглощение. фотона электроном. Все это можно увидеть на диаграмме рядом.

Помимо визуального обозначения действий, Фейнман вводит еще один вид сокращения числовых величин, называемых амплитудами вероятности . Вероятность - это квадрат абсолютного значения полной амплитуды вероятности . Если фотон перемещается из одного места и времени в другое место и время , соответствующая величина записывается в сокращении Фейнмана как . Похожа количество для электрона , движущегося от к записывается . Величина, которая говорит нам об амплитуде вероятности излучения или поглощения фотона, он называет j . Это связано с измеренным зарядом электрона e , но не то же самое . ^{[1] :}${\ Displaystyle {\ текст {вероятность}} = | е ({\ текст {амплитуда}}) | ^ {2}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle P (A {\ text {to}} B)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle E(C{\text{ to }}D)}$ ⁹¹

КЭД основана на предположении, что сложные взаимодействия множества электронов и фотонов могут быть представлены путем подбора подходящего набора из трех вышеуказанных строительных блоков и последующего использования амплитуд вероятности для вычисления вероятности любого такого сложного взаимодействия. Оказывается, что основная идея КЭД может быть передана, если предположить, что квадрат суммы амплитуд вероятности, упомянутых выше ( P (от A до B ), E (от C до D ) и j ), действует так же, как наша повседневная вероятность(упрощение, сделанное в книге Фейнмана). Позже, вслед за Фейнманом, это будет исправлено, чтобы включить в него математику квантового стиля.

Основные правила амплитуд вероятности, которые будут использоваться, следующие: ^{[1] : 93}

Основные конструкции [ править ]

Предположим, мы начинаем с одного электрона в определенном месте и в определенное время (этому месту и времени присвоена произвольная метка А ) и фотона в другом месте и времени (с меткой В ). Типичный вопрос с физической точки зрения: «Какова вероятность найти электрон в C (другое место и более позднее время) и фотон в D (еще одно место и время)?». Самый простой процесс для достижения этой цели - это перемещение электрона из точки А в точку С (элементарное действие), а также перемещение фотона из точки В в точку D (еще одно элементарное действие). Зная амплитуды вероятностей каждого из этих подпроцессов - E( От A до C ) и P (от B до D ) - мы ожидаем вычислить амплитуду вероятности того, что оба события произойдут вместе, умножив их, используя правило b) выше. Это дает простую оценочную общую амплитуду вероятности, которая возводится в квадрат для получения оценочной вероятности. ^{[ необходима цитата ]}

Но есть и другие способы достижения конечного результата. Электрон может переместиться в место и время E , где он поглотит фотон; затем двигайтесь дальше, прежде чем испустить еще один фотон в точке F ; затем перейти к С , где оно было обнаружено, в то время как новый фотон движется к D . Вероятность этого сложного процесса снова можно рассчитать, зная амплитуды вероятности каждого из отдельных действий: трех воздействий электронов, двух воздействий фотонов и двух вершин - одного излучения и одного поглощения. Мы ожидаем найти полную амплитуду вероятности, умножив амплитуды вероятности каждого из действий для любых выбранных позиций E и F.. Затем, используя правила а) выше, должны сложить все эти амплитуды вероятности для всех альтернатив для E и F . (На практике это не элементарно и требует интегрирования .) Но есть и другая возможность: электрон сначала движется в G , где он испускает фотон, который переходит в D , а электрон движется в H , где он поглощает первый фотон, прежде чем перейти к C . Опять же, мы можем вычислить амплитуду вероятности этих возможностей (для всех точек G и H). Затем мы получаем лучшую оценку общей амплитуды вероятности, добавляя амплитуды вероятностей этих двух возможностей к нашей первоначальной простой оценке. Между прочим, этот процесс взаимодействия фотона с электроном назван комптоновским рассеянием . ^{[ необходима цитата ]}

Существует бесконечное количество других промежуточных процессов, в которых все больше и больше фотонов поглощается и / или испускается. Для каждой из этих возможностей есть диаграмма Фейнмана, описывающая ее. Это подразумевает сложное вычисление результирующих амплитуд вероятности, но при условии, что чем сложнее диаграмма, тем меньше она влияет на результат, это всего лишь вопрос времени и усилий, чтобы найти такой точный ответ, который нужен. к исходному вопросу. Это основной подход QED. Чтобы рассчитать вероятность любогоИнтерактивный процесс между электронами и фотонами, с диаграммами Фейнмана нужно сначала отметить все возможные способы, которыми процесс может быть построен из трех основных элементов. Каждая диаграмма включает в себя некоторые вычисления с использованием определенных правил для определения соответствующей амплитуды вероятности.

Этот базовый каркас остается при переходе к квантовому описанию, но требуются некоторые концептуальные изменения. Во- первых, в то время как мы могли бы ожидать в нашей повседневной жизни , что будут какие - то ограничения на точки , в которой частица может двигаться, это не верно в полной мере квантовой электродинамики. Существует вероятность того, что электрон в точке A или фотон в точке B переместится в качестве основного действия в любое другое место и время во Вселенной . Это включает в себя места, которые можно было достичь только со скоростью большей, чем скорость света, а также в более ранние времена . (Электрон, движущийся назад во времени, можно рассматривать как позитрон, движущийся вперед во времени.) ^{[1] : 89, 98–99}

Амплитуды вероятности [ править ]

Квантовая механика вносит важное изменение в способ вычисления вероятностей. Вероятности по-прежнему представлены обычными действительными числами, которые мы используем для вероятностей в нашем повседневном мире, но вероятности вычисляются как квадратный модуль амплитуд вероятностей , которые являются комплексными числами .

Фейнман избегает знакомить читателя с математикой комплексных чисел, используя простое, но точное представление их в виде стрелок на листе бумаги или экране. (Их не следует путать со стрелками диаграмм Фейнмана, которые представляют собой упрощенные представления в двух измерениях отношений между точками в трех измерениях пространства и одном временном.) Стрелки амплитуды имеют фундаментальное значение для описания мира, задаваемого квантовым теория. Они связаны с нашими повседневными представлениями о вероятности тем простым правилом, что вероятность события равна квадрату длины соответствующей стрелки амплитуды. Итак, для данного процесса, если задействованы две амплитуды вероятности, v и w , вероятность процесса будет определяться либо

${\displaystyle P=|\mathbf {v} +\mathbf {w} |^{2}}$

или же

${\displaystyle P=|\mathbf {v} \,\mathbf {w} |^{2}.}$

Однако правила сложения и умножения такие же, как и выше. Но там, где вы ожидаете сложить или умножить вероятности, вместо этого вы складываете или умножаете амплитуды вероятностей, которые теперь являются комплексными числами.

Сложение и умножение - обычные операции в теории комплексных чисел, которые показаны на рисунках. Сумма находится следующим образом. Пусть начало второй стрелки будет в конце первой. Сумма представляет собой третью стрелку, идущую прямо от начала первой до конца второй. Произведение двух стрелок - это стрелка, длина которой равна произведению двух длин. Направление продукта определяется путем добавления углов, что каждый из этих двух были повернут на относительно опорное направление: что дает угол, что устройство включено относительно опорного направления.

Это изменение от вероятностей к амплитудам вероятностей усложняет математику без изменения основного подхода. Но этого изменения все еще недостаточно, потому что при этом не учитывается тот факт, что и фотоны, и электроны могут быть поляризованы, то есть их ориентацию в пространстве и времени необходимо учитывать. Следовательно, P (от A до B ) состоит из 16 комплексных чисел или стрелок амплитуды вероятности. ^{[1] : 120–121} Есть также некоторые незначительные изменения, связанные с величиной j , которую, возможно, придется повернуть на кратное 90 ° для некоторых поляризаций, что представляет интерес только для подробного учета.

С тем, что электрон может быть поляризован, связана еще одна небольшая необходимая деталь, связанная с тем, что электрон является фермионом и подчиняется статистике Ферми – Дирака . Основное правило состоит в том, что если у нас есть амплитуда вероятности для данного сложного процесса с участием более чем одного электрона, то, когда мы включаем (как мы всегда должны) дополнительную диаграмму Фейнмана, в которой мы обмениваемся двумя электронными событиями, результирующая амплитуда обратная - отрицательный - первого. Простейший случай будет два электрона , начиная с A и B заканчивая C и D . Амплитуда будет рассчитана как «разница» E ( Aв D ) × E (от B до C ) - E (от A до C ) × E (от B до D ) , где мы ожидаем, исходя из нашего повседневного представления о вероятностях, что это будет сумма. ^{[1] : 112–113}

Пропагаторы [ править ]

Наконец, необходимо вычислить P (от A до B ) и E (от C до D ), соответствующие амплитудам вероятности для фотона и электрона соответственно. По сути, это решения уравнения Дирака , которые описывают поведение амплитуды вероятности электрона, и уравнений Максвелла , описывающих поведение амплитуды вероятности фотона. Их называют пропагаторами Фейнмана . Перевод в систему обозначений, обычно используемых в стандартной литературе, выглядит следующим образом:

${\displaystyle P(A{\text{ to }}B)\to D_{F}(x_{B}-x_{A}),\quad E(C{\text{ to }}D)\to S_{F}(x_{D}-x_{C}),}$

где символ стенография , такие как стенды для четырех действительных чисел , которые дают время и положение в трех измерениях точки меченой .${\displaystyle x_{A}}$

Перенормировка массы [ править ]

Исторически возникла проблема, которая задерживала прогресс на двадцать лет: хотя мы начинаем с предположения о трех основных «простых» действиях, правила игры гласят, что если мы хотим вычислить амплитуду вероятности перехода электрона из точки A в точку B. , мы должны учитывать все возможные способы: все возможные диаграммы Фейнмана с этими конечными точками. Таким образом , будет способ , в котором электрон проходит к C , испускает фотон там , а затем поглощает его снова в D , прежде чем перейти к B . Или он может делать такие вещи дважды или больше. Короче фрактал-подобная ситуация, в которой, если мы внимательно посмотрим на строку, она разбивается на набор «простых» строк, каждая из которых при внимательном рассмотрении, в свою очередь, состоит из «простых» строк, и так далее до бесконечности . Это сложная ситуация. Если бы добавление этой детали лишь немного изменило ситуацию, это было бы неплохо, но случилась катастрофа, когда было обнаружено, что упомянутая выше простая поправка привела к бесконечным амплитудам вероятности. Со временем эта проблема была «исправлена» методом перенормировки . Однако сам Фейнман остался недоволен этим, назвав это «дурацким процессом». ^{[1] : 128}

Выводы [ править ]

В рамках вышеупомянутой схемы физики смогли вычислить с высокой степенью точности некоторые свойства электронов, такие как аномальный магнитный дипольный момент . Однако, как указывает Фейнман, он не может объяснить, почему частицы, такие как электрон, обладают такой массой. «Не существует теории, которая адекватно объясняет эти числа. Мы используем числа во всех наших теориях, но мы не понимаем их - что они такое и откуда они взялись. Я считаю, что с фундаментальной точки зрения это очень интересная и серьезная проблема ». ^{[1] : 152}

Математическая формулировка [ править ]

Математически КЭД - это абелева калибровочная теория с группой симметрии U (1) . Калибровочное поле , который опосредует взаимодействие между заряженными спин-1/2 полей , является электромагнитное поле . Лагранжиан КЭД для поля со спином 1/2 , взаимодействующего с внешним электромагнитным полем , дается в натуральных единицах действительной частью ^{[22] : 78}${\displaystyle \psi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

куда

${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$- матрицы Дирака ;

${\displaystyle \psi }$биспинор поле из спин-1/2 частиц (например , электрон - позитронных поле);

${\displaystyle {\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$, называемый «пси-бар», иногда упоминается как сопряженный дираков ;

${\displaystyle D_{\mu }\equiv \partial _{\mu }+ieA_{\mu }+ieB_{\mu }\,\!}$- калибровочная ковариантная производная ;

е - константа связи , равная электрическому заряду биспинорного поля;

m - масса электрона или позитрона;

${\displaystyle A_{\mu }}$- ковариантный четырехпотенциал электромагнитного поля, создаваемого самим электроном, и

${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }\,\!}$- связанный с ним тензор электромагнитного поля ;

${\displaystyle B_{\mu }}$ - внешнее поле, создаваемое внешним источником;

Подставив определение D в лагранжиан и переставив, его можно разложить на несколько элементов с определенными значениями:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=(i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -m{\bar {\psi }}\psi )+(-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }A_{\mu }\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu })-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }B_{\mu }\psi .}$

где члены, заключенные в первые круглые скобки, соответствуют лагранжиану Дирака для частицы со спином 1/2, члены во вторых скобках соответствуют электромагнитному лагранжиану электронного поля, а последний член соответствует внешнему полю.

Уравнения движения [ править ]

Подставляя определение D в лагранжиан, получаем

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(A_{\mu }+B_{\mu })\psi -m{\bar {\psi }}\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.}$

Из этого лагранжиана можно получить уравнения движения для полей ψ и A.

• Используя теоретико - полевое уравнение Эйлера – Лагранжа для ψ ,

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=0.}$

( 2 )

Производные лагранжевых относительно ф являются

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\psi )}}\right)=\partial _{\mu }\left(i{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\right),}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \psi }}=-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(A_{\mu }+B_{\mu })-m{\bar {\psi }}.}$

Вставка их в ( 2 ) приводит к

${\displaystyle i\partial _{\mu }{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }+e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }(A_{\mu }+B_{\mu })+m{\bar {\psi }}=0,}$

с эрмитово сопряженным

${\displaystyle i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -e\gamma ^{\mu }(A_{\mu }+B_{\mu })\psi -m\psi =0.}$

Перемещение среднего члена в правую часть дает

Левая часть похожа на исходное уравнение Дирака , а правая часть - это взаимодействие с электромагнитным полем.

• Используя уравнение Эйлера – Лагранжа для поля A ,

${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=0,}$

( 3 )

на этот раз производные

${\displaystyle \partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }A_{\mu })}}\right)=\partial _{\nu }\left(\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }\right),}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\mu }}}=-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi .}$

Подстановка обратно в ( 3 ) приводит к

Теперь, если наложить калибровочное условие Лоренца

${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0,}$

уравнения сводятся к

${\displaystyle \Box A^{\mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi ,}$

которое является волновым уравнением для четырехпотенциала, КЭД-версии классических уравнений Максвелла в калибровке Лоренца . (Квадрат представляет собой оператор Даламбера , .)${\displaystyle \Box =\partial _{\alpha }\partial ^{\alpha }}$

Картинка взаимодействия [ править ]

Эту теорию можно напрямую квантовать, рассматривая бозонный и фермионный секторы ^{[ требуется пояснение ]} как свободные. Это позволяет нам построить набор асимптотических состояний, которые можно использовать для начала вычисления амплитуд вероятностей для различных процессов. Для этого мы должны вычислить оператор эволюции , который для данного начального состояния даст конечное состояние таким образом, чтобы иметь ^{[22] : 5}${\displaystyle |i\rangle }$${\displaystyle \langle f|}$

${\displaystyle M_{fi}=\langle f|U|i\rangle .}$

Этот метод также известен как S-матрица . Оператор эволюции получается в картине взаимодействия , где эволюция во времени задается гамильтонианом взаимодействия, который представляет собой интеграл по пространству от второго члена в плотности лагранжиана, приведенного выше: ^{[22] : 123}

${\displaystyle V=e\int d^{3}x\,{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },}$

Итак, имеем ^{[22] : 86}

${\displaystyle U=T\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t}dt'\,V(t')\right],}$

где T - оператор временного порядка . Этот оператор эволюции имеет значение только как ряд, и здесь мы получаем ряд возмущений с постоянной тонкой структуры в качестве параметра развития. Эта серия называется серией Дайсона .

Диаграммы Фейнмана [ править ]

Несмотря на концептуальную ясность этого подхода Фейнмана к КЭД, почти ни в одном из ранних учебников не последовало его изложение. При выполнении вычислений, гораздо проще работать с преобразованиями Фурье этих пропагандистов . Экспериментальные проверки квантовой электродинамики обычно представляют собой эксперименты по рассеянию. В теории рассеяния рассматриваются импульсы частиц, а не их положение, и удобно думать о частицах как о создаваемых или аннигилирующих при их взаимодействии. Диаграммы Фейнмана тогда посмотритето же самое, но строки имеют разное толкование. Электронная линия представляет собой электрон с заданной энергией и импульсом, с аналогичной интерпретацией фотонной линии. Вершинная диаграмма представляет собой аннигиляцию одного электрона и создание другого вместе с поглощением или созданием фотона, каждый из которых имеет определенные энергии и импульсы.

Используя теорему Вика о членах ряда Дайсона, все члены S-матрицы для квантовой электродинамики могут быть вычислены с помощью техники диаграмм Фейнмана . В этом случае правила рисования следующие ^{[22] : 801–802}

К этим правилам мы должны добавить еще одно для замкнутых контуров, которое подразумевает интегрирование по импульсам , поскольку эти внутренние («виртуальные») частицы не ограничены какой-либо определенной энергией-импульсом, даже той, которая обычно требуется специальной теорией относительности ( подробности см. В Propagator. ).${\displaystyle \int d^{4}p/(2\pi )^{4}}$

На их основе прямо даются вычисления амплитуд вероятностей . Примером может служить комптоновское рассеяние , когда электрон и фотон подвергаются упругому рассеянию . В данном случае диаграммы Фейнмана ^{[22] : 158–159}

и поэтому мы можем получить соответствующую амплитуду в первом порядке ряда возмущений для S-матрицы :

${\displaystyle M_{fi}=(ie)^{2}{\overline {u}}({\vec {p}}',s')\epsilon \!\!\!/\,'({\vec {k}}',\lambda ')^{*}{\frac {p\!\!\!/+k\!\!\!/+m_{e}}{(p+k)^{2}-m_{e}^{2}}}\epsilon \!\!\!/({\vec {k}},\lambda )u({\vec {p}},s)+(ie)^{2}{\overline {u}}({\vec {p}}',s')\epsilon \!\!\!/({\vec {k}},\lambda ){\frac {p\!\!\!/-k\!\!\!/'+m_{e}}{(p-k')^{2}-m_{e}^{2}}}\epsilon \!\!\!/\,'({\vec {k}}',\lambda ')^{*}u({\vec {p}},s),}$

из которого мы можем вычислить сечение этого рассеяния.

Непертурбативные явления [ править ]

Прогнозирующий успех квантовой электродинамики во многом основан на использовании теории возмущений, выраженной в диаграммах Фейнмана. Однако квантовая электродинамика также приводит к предсказаниям, выходящим за рамки теории возмущений. В присутствии очень сильных электрических полей он предсказывает, что электроны и позитроны будут спонтанно образовываться, вызывая распад поля. Этот процесс, называемый эффектом Швингера , ^[23] не может быть понят в терминах какого-либо конечного числа диаграмм Фейнмана и, следовательно, описывается как непертурбативный . Математически это может быть получено с помощью полуклассического приближения к интегралу по путям квантовой электродинамики.

Перенормируемость [ править ]

Члены более высокого порядка могут быть напрямую вычислены для оператора эволюции, но эти члены отображают диаграммы, содержащие следующие более простые ^{[22] : ch 10}

• Однопетлевой вклад в функцию поляризации вакуума${\displaystyle \Pi }$

• Однопетлевой вклад в функцию собственной энергии электрона${\displaystyle \Sigma }$

• Однопетлевой вклад в вершинную функцию ${\displaystyle \Gamma }$

что, будучи замкнутыми контурами, подразумевает наличие расходящихся интегралов , не имеющих математического значения. Чтобы преодолеть эту трудность, была разработана техника, называемая перенормировкой , дающая конечные результаты, очень хорошо согласующиеся с экспериментами. Критерием осмысленности теории после перенормировки является конечное число расходящихся диаграмм. В этом случае теория называется «перенормируемой». Причина этого в том, что для перенормировки наблюдаемых требуется конечное число констант, чтобы сохранить предсказательную ценность теории неизменной. Это как раз тот случай, когда квантовая электродинамика отображает всего три расходящиеся диаграммы. Эта процедура дает наблюдаемые в очень хорошем соответствии с экспериментом, например, для электронов.гиромагнитное отношение .

Перенормируемость стала важным критерием для признания квантовой теории поля жизнеспособной. Все теории, описывающие фундаментальные взаимодействия , за исключением гравитации , квантовый аналог которой является только предположительным и в настоящее время очень активно исследуется, являются перенормируемыми теориями.

Несходимость серий [ править ]

Аргумент Фримена Дайсона показывает, что радиус сходимости ряда возмущений в КЭД равен нулю. ^[24] Основной аргумент состоит в следующем: если бы константа связи была отрицательной, это было бы эквивалентно отрицательной константе кулоновской силы . Это «обратный» электромагнитное взаимодействие , так что , как заряды бы привлечь и в отличии от обвинений будет отталкивать. Это сделало бы вакуум нестабильным по отношению к распаду на скопление электронов на одной стороне вселенной и скопление позитронов на другой стороне вселенной. Поскольку теория "больна" при любом отрицательном значении константы связи, ряды не сходятся, но в лучшем случае являются асимптотическими рядами .

С современной точки зрения мы говорим, что КЭД не может быть определена как квантовая теория поля для произвольно высоких энергий. ^[25] Константа связи стремится к бесконечности при конечной энергии, сигнализируя о полюсе Ландау . Проблема в том, что QED, похоже, страдает проблемами квантовой тривиальности . Это одна из причин встраивания КЭД в Теорию Великого Объединения .

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Книги [ править ]

• Де Бройль, Луи (1925). Recherches sur la Theorie des Quanta [Исследования по квантовой теории] . Франция: Wiley-Interscience.
• Фейнман, Ричард Филлипс (1998). Квантовая электродинамика (Новое изд.). Westview Press. ISBN 978-0-201-36075-2.
• Jauch, JM; Рорлих, Ф. (1980). Теория фотонов и электронов . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-07295-1.
• Грейнер, Уолтер; Бромли, Д.А.; Мюллер, Берндт (2000). Калибровочная теория слабых взаимодействий . Springer. ISBN 978-3-540-67672-0.
• Кейн, Гордон, Л. (1993). Современная физика элементарных частиц . Westview Press. ISBN 978-0-201-62460-1.
• Миллер, Артур I. (1995). Ранняя квантовая электродинамика: Справочник . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-56891-3.
• Милонни, Питер В. (1994). Квантовый вакуум: введение в квантовую электродинамику . Бостон: Academic Press. ISBN 0124980805. LCCN  93029780 . OCLC  422797902 .
• Швебер, Сильван С. (1994). QED и люди, которые это сделали . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-03327-3.
• Швингер, Джулиан (1958). Избранные статьи по квантовой электродинамике . Dover Publications. ISBN 978-0-486-60444-2.
• Таннуджи-Коэн, Клод ; Дюпон-Рок, Жак; Гринберг, Гилберт (1997). Фотоны и атомы: Введение в квантовую электродинамику . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-18433-1.

Журналы [ править ]

• Дадли, JM; Кван, AM (1996). «Популярные лекции Ричарда Фейнмана по квантовой электродинамике: Лекции Робба 1979 года в Оклендском университете». Американский журнал физики . 64 (6): 694–98. Bibcode : 1996AmJPh..64..694D . DOI : 10.1119 / 1.18234 .

Внешние ссылки [ править ]

• Лекция Фейнмана о вручении Нобелевской премии с описанием эволюции QED и его роли в ней
• Лекции Фейнмана в Новой Зеландии по КЭД для нефизиков
• http://qed.wikina.org/ - Анимации, демонстрирующие QED