В пертурбативной квантовой теории поля теорема Вика используется для быстрого переписывания каждого упорядоченного слагаемого в ряду Дайсона в виде суммы нормально упорядоченных членов. В пределе асимптотически свободных входящих и исходящих состояний эти члены соответствуют диаграммам Фейнмана .
Определение сокращения
Для двух операторов а также мы определяем их сокращение как
В качестве альтернативы сокращения можно обозначить линией, соединяющей а также .
Мы подробно рассмотрим четыре частных случая, когда а также равны операторам создания и уничтожения. Для частицы мы обозначим операторы создания как а операторы уничтожения - . Они удовлетворяют обычным коммутационным соотношениям, где обозначает дельту Кронекера .
Тогда у нас есть
где .
Эти соотношения верны для бозонных операторов или фермионных операторов из-за способа определения нормального порядка.
Примеры
Мы можем использовать сокращения и нормальный порядок, чтобы выразить любой продукт операторов создания и уничтожения как сумму обычных упорядоченных членов. Это основа теоремы Вика. Прежде чем полностью сформулировать теорему, рассмотрим несколько примеров.
где , обозначает коммутатор , а - дельта Кронекера.
Мы можем использовать эти отношения и приведенное выше определение сжатия, чтобы выразить продукты а также другими способами.
Пример 1
Обратите внимание, что мы не изменили но просто переформулировал это в другой форме как
Пример 2
Пример 3
В последней строке мы использовали разное количество символы для обозначения различных сокращений. Как видите, при многократном применении коммутационных соотношений требуется много работы, чтобы выразитьв виде суммы обычно заказываемых товаров. Для более сложных продуктов это еще более длительный расчет.
К счастью, теорема Вика дает кратчайший путь.
Формулировка теоремы
Продукт операторов созидания и уничтожения можно выразить как
Другими словами, строка операторов создания и уничтожения может быть переписана как нормально упорядоченное произведение строки плюс нормально упорядоченное произведение после всех одиночных сокращений среди пар операторов, плюс все двойные сокращения и т. Д., Плюс все полные сокращения. .
Применение теоремы к приведенным выше примерам обеспечивает гораздо более быстрый способ получения окончательных выражений.
Предупреждение : в терминах с правой стороны, содержащих множественные сокращения, следует соблюдать осторожность, когда операторы являются фермионными. В этом случае соответствующий знак минус должен быть введен согласно следующему правилу: переставьте операторы (вводя знаки минус всякий раз, когда меняются местами порядок двух фермионных операторов), чтобы гарантировать, что сокращенные члены являются смежными в строке. Затем можно применить сжатие (см. «Правило C» в статье Вика).
Пример:
Если у нас есть два фермиона () с операторами создания и уничтожения а также () тогда
Обратите внимание, что член со сжатиями двух операторов рождения и двух операторов уничтожения не включен, потому что их сжатия равны нулю.
Доказательство теоремы Вика
Мы используем индукцию для доказательства теоремы для операторов бозонного рождения и уничтожения. В базовый случай тривиален, потому что есть только одно возможное сокращение:
В общем, единственные ненулевые сокращения происходят между оператором уничтожения слева и оператором создания справа. Предположим, что теорема Вика верна для операторы , и рассмотрим эффект добавления N- го оператора слева от формировать . По теореме Вика, примененной к операторов, у нас есть:
является либо оператором создания, либо оператором уничтожения. Если является оператором создания всех вышеперечисленных продуктов, таких как , уже в обычном порядке и не требуют дополнительных действий. Так как находится слева от всех операторов уничтожения в , любое сокращение, связанное с ним, будет равно нулю. Таким образом, мы можем добавить все сокращения, связанные сна суммы без изменения их стоимости. Следовательно, если является оператором созидания, теорема Вика верна для .
Теперь предположим, что является оператором уничтожения. Двигаться с левой стороны на правую часть всех товаров, мы постоянно меняем местами с оператором сразу справа от него (назовите его ), каждый раз применяя для учета некоммутативности. Как только мы это сделаем, все сроки будут в обычном порядке. Все термины добавляются к суммам нажатием через продукты соответствуют дополнительным сокращениям, связанным с . Следовательно, если является оператором уничтожения, теорема Вика верна для .
Мы доказали базовый случай и шаг индукции, поэтому теорема верна. Вводя соответствующие знаки минус, доказательство можно распространить на фермионные операторы рождения и уничтожения. Теорема, примененная к полям, доказывается по существу так же. [3]
Теорема Вика применительно к полям
Корреляционная функция, которая появляется в квантовой теории поля, может быть выражена сжатием полевых операторов:
где оператор количество, которое не аннигилирует вакуумное состояние . Что обозначает. Это значит, что сокращение над . Обратите внимание, что сокращение упорядоченной по времени строки из двух операторов поля является c-числом.
В итоге мы приходим к теореме Вика:
T-произведение упорядоченной по времени строки свободных полей можно выразить следующим образом:
Применяя эту теорему к элементам S-матрицы , мы обнаруживаем, что нормально упорядоченные члены, действующие на вакуумное состояние, дают нулевой вклад в сумму. Мы заключаем, что m четно и остаются только полностью сокращенные члены.
где p - количество полей взаимодействия (или, что то же самое, количество взаимодействующих частиц), а n - порядок развития (или количество вершин взаимодействия). Например, если
Обратите внимание, что это обсуждение проводится в терминах обычного определения нормального порядка, который подходит для значений математического ожидания (VEV) полей. (Теорема Вика предоставляет способ выражения VEV n полей через VEV двух полей. [4] ) Существуют любые другие возможные определения нормального порядка, и теорема Вика верна независимо от того. Однако теорема Вика упрощает вычисления только в том случае, если используемое определение нормального порядка изменяется, чтобы соответствовать типу желаемого математического ожидания. То есть мы всегда хотим, чтобы математическое ожидание обычного заказанного продукта было равно нулю. Например, в теории теплового поля другой тип математического ожидания, тепловой след по матрице плотности, требует другого определения нормального порядка . [5]
^Коулман, Сидней (2019). Квантовая теория поля: Лекции Сидни Коулмана . Мировое научное издательство. п. 158.
^ См., Например, также: Мринал Дасгупта: Введение в квантовую теорию поля , лекции, представленные в школе RAL по физике высоких энергий, Сомервилльский колледж, Оксфорд, сентябрь 2008 г., раздел 5.1 Теорема Вика (загружено 3 декабря 2012 г.)