Основные определения
Мы рассматриваем теорию многих тел с полевым оператором (оператор уничтожения, записанный в позиционном базисе) .
Операторы Гейзенберга могут быть записаны в терминах операторов Шредингера как
и оператор создания , где - великий канонический гамильтониан.
Аналогично для операторов мнимого времени
[Обратите внимание, что оператор создания мнимого времени не является эрмитово сопряженным оператором уничтожения.]
В реальном времени -точечная функция Грина определяется
где мы использовали сокращенные обозначения, в которых означает а также означает . Операторобозначает порядок времени и указывает, что следующие за ним операторы поля должны быть упорядочены так, чтобы их аргументы времени увеличивались справа налево.
В мнимом времени соответствующее определение имеет вид
где означает . (Переменные мнимого времени ограничены диапазоном от к обратной температуре .)
Примечание относительно знаков и нормализации, используемых в этих определениях: знаки функций Грина были выбраны так, чтобы преобразование Фурье двухточечной () тепловая функция Грина для свободной частицы равна
а запаздывающая функция Грина равна
где
это частота Мацубара .
Через, является для бозонов идля фермионов иобозначает коммутатор или антикоммутатор в зависимости от ситуации.
(Подробнее см. Ниже .)
Двухточечные функции
Функция Грина с одной парой аргументов () называется двухточечной функцией или пропагатором . При наличии как пространственной, так и временной трансляционной симметрии она зависит только от различия ее аргументов. Преобразование Фурье по пространству и времени дает
где сумма по соответствующим частотам Мацубары (а интеграл включает неявный множитель, по-прежнему).
В реальном времени мы будем явно указывать упорядоченную по времени функцию с надстрочным индексом T:
Двухточечная функция Грина в реальном времени может быть записана в терминах «запаздывающих» и «продвинутых» функций Грина, которые, как оказывается, обладают более простыми свойствами аналитичности. Запаздывающие и расширенные функции Грина определяются
а также
соответственно.
Они связаны с упорядоченной по времени функцией Грина соотношением
где
- функция распределения Бозе – Эйнштейна или Ферми – Дирака .
Упорядочение в мнимом времени и β- периодичность
Тепловые функции Грина определяются только тогда, когда оба аргумента мнимого времени находятся в пределах диапазона к . Двухточечная функция Грина обладает следующими свойствами. (Аргументы позиции или импульса в этом разделе опущены.)
Во-первых, это зависит только от разницы мнимых времен:
Аргумент разрешено бежать из к .
Во-вторых, является (анти) периодическим относительно сдвигов . Из-за небольшого размера области, в которой определяется функция, это означает, что
для . Упорядочение по времени имеет решающее значение для этого свойства, что можно напрямую доказать, используя цикличность операции трассировки.
Эти два свойства допускают представление преобразования Фурье и его обратное,
Наконец, обратите внимание, что имеет разрыв в ; это согласуется с поведением на большом расстоянии.
Спектральное представление
В пропагаторах в реальном и мнимое время оба могут быть связаны со спектральной плотностью (или спектральным веса), заданной
где | & alpha ; ⟩ относится к (многим телам) собственное состоянию гранда-канонической гамильтоновой H - мкНо , с собственным значением Е & alpha ; .
Тогда пропагатор мнимого времени определяется выражением
а замедленный пропагатор -
где предел как подразумевается.
Расширенный пропагатор задается тем же выражением, но с в знаменателе.
Упорядоченная по времени функция может быть найдена в терминах а также . Как утверждалось выше, а также обладают простыми свойствами аналитичности: первая (последняя) имеет все полюса и разрывы в нижней (верхней) полуплоскости.
Тепловой пропагатор имеет все полюса и разрывы на воображаемом ось.
Спектральную плотность можно очень просто найти из , используя теорему Сохацкого – Вейерштрасса
где P обозначает главную часть Коши . Это дает
Кроме того, это означает, что подчиняется следующему соотношению между его реальной и мнимой частями:
где обозначает главное значение интеграла.
Спектральная плотность подчиняется правилу сумм,
который дает
в виде .
Преобразование Гильберта
Сходство спектральных представлений мнимых функций Грина и функций Грина реального времени позволяет определить функцию
что связано с а также от
а также
Аналогичное выражение, очевидно, справедливо для .
Связь между а также называется преобразованием Гильберта .
Доказательство спектрального представления
Мы демонстрируем доказательство спектрального представления пропагатора в случае тепловой функции Грина, определяемой как
Из-за трансляционной симметрии необходимо учитывать только для , данный
Вставка полного набора собственных состояний дает
С а также являются собственными состояниями , операторы Гейзенберга можно переписать в терминах операторов Шредингера, давая
Затем выполнение преобразования Фурье дает
Сохранение моментума позволяет записать последний член в виде (с точностью до возможных коэффициентов объема)
что подтверждает выражения для функций Грина в спектральном представлении.
Правило сумм можно доказать, рассматривая математическое ожидание коммутатора,
а затем вставляем полный набор собственных состояний в оба члена коммутатора:
Замена меток в первом термине дает
что и есть результат интегрирования ρ .
Случай невзаимодействия
В невзаимодействующем случае является собственным состоянием с (большой канонической) энергией , где - одночастичное дисперсионное соотношение, измеренное по химическому потенциалу. Таким образом, спектральная плотность становится
Из коммутационных соотношений
с возможными факторами объема снова. Сумма, которая включает в себя термическое среднее числового оператора, тогда дает просто, уход
Таким образом, пропагатор мнимого времени
а запаздывающий пропагатор
Предел нулевой температуры
При β → ∞ спектральная плотность принимает вид
где α = 0 соответствует основному состоянию. Обратите внимание, что только первый (второй) член дает вклад, когда ω положительно (отрицательно).
Основные определения
Мы можем использовать «операторы поля», как указано выше, или операторы рождения и уничтожения, связанные с другими одночастичными состояниями, возможно, собственными состояниями (невзаимодействующей) кинетической энергии. Затем мы используем
где - оператор уничтожения одночастичного состояния а также является волновой функцией этого состояния в позиционном базисе. Это дает
с аналогичным выражением для .
Двухточечные функции
Они зависят только от разницы их временных аргументов, так что
а также
Мы снова можем очевидным образом определять отсталые и продвинутые функции; они связаны с упорядоченной по времени функцией так же, как указано выше.
Те же свойства периодичности, что описаны выше, применимы к . Конкретно,
а также
для .
Спектральное представление
В таком случае,
где а также состояния многих тел.
Выражения для функций Грина видоизменяются очевидным образом:
а также
Их свойства аналитичности идентичны. Доказательство проводится точно так же, за исключением того, что два матричных элемента больше не являются комплексно сопряженными.
Невзаимодействующий случай
Если выбранные конкретные одночастичные состояния являются "собственными состояниями одночастичной энергии", т. Е.
тогда для собственное состояние:
так это :
и так :
Поэтому у нас есть
Затем мы переписываем
следовательно
использовать
и тот факт, что термическое среднее числового оператора дает функцию распределения Бозе – Эйнштейна или Ферми – Дирака.
Наконец, спектральная плотность упрощается и дает
так что тепловая функция Грина
а запаздывающая функция Грина равна
Обратите внимание, что невзаимодействующая функция Грина диагональна, но во взаимодействующем случае это не так.