Линдбладиан

В квантовой механике , то уравнение Горини-Kossakowski-Сударшана-Линдблад ( GKSL уравнение , названное в честь Витторио Горини , Анджей Kossakowski , Джордж Сударшана и Göran Линдблада ), мастер - уравнения в линдбладовской форме , квантовая Liouvillian или Lindbladian является наиболее общим типом марковского и однородное по времени основное уравнение, описывающее (в общем, неунитарное) эволюцию матрицы плотности ρ, которая сохраняет законы квантовой механики (т. е.сохраняющий след и полностью положительный для любого начального состояния). ^[1]

Уравнение Шредингера является частным случаем более общего уравнения Линдблада, которое привело к некоторым предположениям о том, что квантовая механика может быть продуктивно расширена и расширена за счет дальнейшего применения и анализа уравнения Линдблада. ^[2] Уравнение Шредингера имеет дело с векторами состояния , которые могут описывать только чистые квантовые состояния и, таким образом, являются менее общими, чем матрицы плотности , которые также могут описывать смешанные состояния .

Мотивация [ править ]

В канонической формулировке квантовой механики эволюция системы во времени управляется унитарной динамикой. Это означает, что нет распада и фазовая когерентность сохраняется на протяжении всего процесса, и является следствием того факта, что учитываются все участвующие степени свободы. Однако любая реальная физическая система не является абсолютно изолированной и будет взаимодействовать со своим окружением. Это взаимодействие со степенями свободы, внешними по отношению к системе, приводит к рассеиванию энергии в окружающую среду, вызывая распад и рандомизацию фазы. Эти эффекты являются причиной того, что квантовую механику трудно наблюдать в макроскопическом масштабе. Тем более,понимание взаимодействия квантовой системы с окружающей средой необходимо для понимания многих обычно наблюдаемых явлений, таких как спонтанное излучение света возбужденными атомами или работа многих квантовых технологических устройств, таких как лазер.

Некоторые математические методы были введены для изучения взаимодействия квантовой системы с окружающей средой. Одним из них является использование матрицы плотности и связанного с ней основного уравнения. Хотя в принципе этот подход к решению квантовой динамики эквивалентен картине Шредингера или картине Гейзенберга , он позволяет легче включать некогерентные процессы, которые представляют собой взаимодействия с окружающей средой. Оператор плотности обладает тем свойством, что он может представлять классическую смесь квантовых состояний и, таким образом, жизненно важен для точного описания динамики так называемых открытых квантовых систем.

Определение [ править ]

В более общем плане основное уравнение Линдблада для матрицы плотности ρ N -мерной системы может быть записано как ^[1] (для педагогического введения вы можете обратиться к ^[3] )

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{n,m=1}^{N^{2}-1}h_{nm}\left(A_{n}\rho A_{m}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{A_{m}^{\dagger }A_{n},\rho \right\}\right)}$

где Н представляет собой ( эрмитова ) гамильтонова часть, а произвольный ортонормированный базис из операторов Гильберта-Шмидт на системы гильбертова пространства с тем ограничением , что _{Н ²} пропорционален единичным оператором. Наше соглашение подразумевает, что другие A _{m не} имеют следов, и обратите внимание, что суммирование выполняется только до N ² - 1, что исключает единственную базисную матрицу с ненулевым следом. Матрица коэффициентов h вместе с гамильтонианом определяет динамику системы. Матрица h${\displaystyle \{A_{m}\}}$ должен быть положительно полуопределенным, чтобы уравнение сохраняло след и было полностью положительным. Антикоммутатор определяется как${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba.}$

Если все h _mn равны нулю, то это сводится к квантовому уравнению Лиувилля для замкнутой системы ,. Это также известно как уравнение фон Неймана и является квантовым аналогом классического уравнения Лиувилля .${\displaystyle {\dot {\rho }}=-(i/\hbar )[H,\rho ]}$

Поскольку матрица h положительно полуопределенная, ее можно диагонализовать с помощью унитарного преобразования u :

${\displaystyle u^{\dagger }hu={\begin{bmatrix}\gamma _{1}&0&\cdots &0\\0&\gamma _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\gamma _{N^{2}-1}\end{bmatrix}}}$

где собственные значения γ _i неотрицательны. Если мы определим другой ортонормированный операторный базис

${\displaystyle L_{i}=\sum _{j=1}^{N^{2}-1}u_{ji}A_{j}}$

мы можем переписать уравнение Линдблада в диагональной форме

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{i=1}^{N^{2}-1}\gamma _{i}\left(L_{i}\rho L_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},\rho \right\}\right).}$

Новые операторы L _i обычно называют операторами Линдблада или операторами перехода системы.

Квантовая динамическая полугруппа [ править ]

Отображения, сгенерированные линдбладианом за разное время, вместе называются квантовой динамической полугруппой - семейством квантовых динамических отображений в пространстве матриц плотности, индексированных одним временным параметром, которые подчиняются свойству полугруппы${\displaystyle \phi _{t}}$${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle \phi _{s}(\phi _{t}(\rho ))=\phi _{t+s}(\rho ),\qquad t,s\geq 0.}$

Уравнение Линдблада может быть получено следующим образом:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\rho )=\mathrm {lim} _{\Delta t\to 0}{\frac {\phi _{\Delta t}(\rho )-\phi _{0}(\rho )}{\Delta t}}}$

который в силу линейности является линейным супероператором. Полугруппа восстанавливается как${\displaystyle \phi _{t}}$

${\displaystyle \phi _{t+s}(\rho )=e^{{\mathcal {L}}s}\phi _{t}(\rho ).}$

Свойства инвариантности [ править ]

Уравнение Линдблада инвариантно относительно любого унитарного преобразования v операторов и констант Линдблада,

${\displaystyle {\sqrt {\gamma _{i}}}L_{i}\to {\sqrt {\gamma _{i}'}}L_{i}'=\sum _{j=1}^{N^{2}-1}v_{ij}{\sqrt {\gamma _{j}}}L_{j},}$

а также при неоднородном преобразовании

${\displaystyle L_{i}\to L_{i}'=L_{i}+a_{i}I,}$

${\displaystyle H\to H'=H+{\frac {1}{2i}}\sum _{j=1}^{N^{2}-1}\gamma _{j}\left(a_{j}^{*}L_{j}-a_{j}L_{j}^{\dagger }\right)+bI,}$

где a _i - комплексные числа, а b - действительное число. Однако первое преобразование разрушает ортонормированность операторов L _i (если все γ _i не равны), а второе преобразование уничтожает бесследовость. Следовательно, с точностью до вырождения среди γ _i , L _i диагональной формы уравнения Линдблада однозначно определяются динамикой, если мы требуем, чтобы они были ортонормированными и бесследными.

Фотография Гейзенберга [ править ]

Эволюция типа Линдблада матрицы плотности в картине Шредингера может быть эквивалентно описана в картине Гейзенберга, используя следующее (диагонализованное) уравнение движения ^{[ необходима цитата ]} для каждой квантовой наблюдаемой X :

${\displaystyle {\dot {X}}={\frac {i}{\hbar }}[H,X]+\sum _{i=1}^{N^{2}-1}\gamma _{i}\left(L_{i}^{\dagger }XL_{i}-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},X\right\}\right).}$

Подобное уравнение описывает временную эволюцию математических ожиданий наблюдаемых, заданных теоремой Эренфеста . В соответствии со свойством сохранения следа уравнения картины Шредингера Линдблада, уравнение картины Гейзенберга является унитальным , т. Е. Сохраняет тождественный оператор.

Физическое происхождение [ править ]

Основное уравнение Линдблада описывает эволюцию различных типов открытых квантовых систем, например, системы, слабо связанной с марковским резервуаром. ^[1] Обратите внимание, что H, фигурирующая в уравнении, не обязательно совпадает с гамильтонианом затравочной системы, но может также включать эффективную унитарную динамику, возникающую из взаимодействия системы и окружающей среды.

Эвристический вывод, например, в примечаниях Прескилла ^[4], начинается с более общей формы открытой квантовой системы и преобразует ее в форму Линдблада, делая марковское предположение и расширяясь за короткое время. Более физически мотивированное стандартное лечение ^{[5] [6]}охватывает три общих типа выводов линдбладиана, начиная с гамильтониана, действующего как на систему, так и на окружающую среду: предел слабой связи (подробно описанный ниже), приближение низкой плотности и предел сингулярной связи. Каждый из них основан на определенных физических предположениях, касающихся, например, корреляционных функций окружающей среды. Например, при выводе предела слабой связи обычно предполагается, что (а) корреляции системы с окружающей средой развиваются медленно, (б) возбуждения окружающей среды, вызванные распадом системы, и (в) члены, которые быстро осциллируют. по сравнению с интересующей системой шкалой времени можно пренебречь. Эти три приближения называются борновской, марковской и вращающейся волной соответственно. ^[7]

Вывод предела слабой связи предполагает квантовую систему с конечным числом степеней свободы, соединенную с термостатом, содержащим бесконечное число степеней свободы. Система и ванна обладают гамильтонианом, записанным в терминах операторов, действующих только на соответствующем подпространстве полного гильбертова пространства. Эти гамильтонианы управляют внутренней динамикой несвязанной системы и ванны. Существует третий гамильтониан, который содержит произведения операторов системы и ванны, таким образом связывая систему и ванну. Самая общая форма этого гамильтониана:

${\displaystyle H=H_{S}+H_{B}+H_{BS}\,}$

Динамика всей системы может быть описана уравнением Лиувилля движения, . Это уравнение, содержащее бесконечное число степеней свободы, невозможно решить аналитически, за исключением очень частных случаев. Более того, при определенных приближениях, ванна степени свободы не должны быть рассмотрены, а также эффективное управляющее уравнение может быть получены в терминах матрицы плотности системы, . Проблему легче проанализировать, если перейти к картине взаимодействия, определяемой унитарным преобразованием , где - произвольный оператор, и . Также обратите внимание, что это полный унитарный оператор всей системы. Несложно подтвердить, что уравнение Лиувилля принимает вид${\displaystyle {\dot {\chi }}=-i[H,\chi ]}$${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{B}\chi }$${\displaystyle {\tilde {M}}=U_{0}MU_{0}^{\dagger }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U_{0}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}}$${\displaystyle U(t,t_{0})}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\chi }}}=-i[{\tilde {H}}_{BS},{\tilde {\chi }}]\,}$

где гамильтониан явно зависит от времени. Также согласно картинке взаимодействия,, где . Это уравнение можно интегрировать напрямую, чтобы получить${\displaystyle {\tilde {H}}_{BS}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}H_{BS}e^{-i(H_{S}+H_{B})t}}$${\displaystyle {\tilde {\chi }}=U_{BS}(t,t_{0})\chi U_{BS}^{\dagger }(t,t_{0})}$${\displaystyle U_{BS}=U_{0}^{\dagger }U(t,t_{0})}$

${\displaystyle {\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\chi }}(0)-i\int _{0}^{t}dt'[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]}$

Это неявное уравнение для можно подставить обратно в уравнение Лиувилля, чтобы получить точное дифференциально-интегральное уравнение${\displaystyle {\tilde {\chi }}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\chi }}}=-i[{\tilde {H}}_{BS},{\tilde {\chi }}(0)]-\int _{0}^{t}dt'[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]]}$

Мы продолжаем вывод, предполагая, что взаимодействие инициируется в , и в это время нет корреляций между системой и ванной. Это означает, что начальное условие факторизуемо как , где - первоначальный оператор плотности ванны.${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \chi (0)=\rho (0)R_{0}}$${\displaystyle R_{0}}$

Прослеживание по степеням свободы термостата вышеупомянутого дифференциально-интегрального уравнения дает${\displaystyle \operatorname {tr} _{R}{\tilde {\chi }}={\tilde {\rho }}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]]\}}$

Это уравнение является точным для временной динамики матрицы плотности системы, но требует полного знания динамики степеней свободы ванны. Упрощающее предположение, называемое приближением Борна, основано на большом размере ванны и относительной слабости связи, то есть связь системы с ванной не должна существенно изменять собственные состояния ванны. В этом случае полная матрица плотности может быть разложена на все времена как . Основное уравнение становится${\displaystyle {\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\rho }}(t)R_{0}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\rho }}(t')R_{0}]]\}}$

Уравнение теперь явное в системе степеней свободы, но его очень трудно решить. Последним предположением является приближение Борна-Маркова, согласно которому производная матрицы плотности по времени зависит только от ее текущего состояния, а не от ее прошлого. Это предположение справедливо при быстрой динамике ванны, когда корреляции внутри ванны теряются очень быстро и сводятся к замене в правой части уравнения.${\displaystyle \rho (t')\rightarrow \rho (t)}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\rho }}(t)R_{0}]]\}}$

Если предположить, что гамильтониан взаимодействия имеет вид

${\displaystyle H_{BS}=\sum \alpha _{i}\Gamma _{i}}$

для системных операторов и операторов ванны главное уравнение принимает вид${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \Gamma _{i}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\sum \int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[\alpha _{i}(t)\Gamma _{i}(t),[\alpha _{j}(t')\Gamma _{j}(t'),{\tilde {\rho }}(t)R_{0}]]\}}$

который может быть расширен как

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\sum \int _{0}^{t}dt'\left(\alpha _{i}(t)\alpha _{j}(t')\rho -\alpha _{j}(t')\rho (t)\alpha _{i}(t)\right)\langle \Gamma _{i}(t)\Gamma _{j}(t')\rangle +\left(\rho (t)\alpha _{j}(t')\alpha _{i}(t)-\alpha _{i}(t)\rho (t)\alpha _{j}(t')\right)\langle \Gamma _{j}(t')\Gamma _{i}(t)\rangle }$

Ожидаемые значения относятся к степеням свободы ванны. Предполагая быстрое затухание этих корреляций (в идеале ), достигается описанная выше форма супероператора Lindblad L.${\displaystyle \langle \Gamma _{i}\Gamma _{j}\rangle =\operatorname {tr} \{\Gamma _{i}\Gamma _{j}R_{0}\}}$${\displaystyle \langle \Gamma _{i}(t)\Gamma _{j}(t')\rangle \propto \delta (t-t')}$

Примеры [ править ]

Для одного оператора скачка и отсутствия унитарной эволюции супероператор Линдблада , действующий на матрицу плотности , имеет вид${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\mathcal {D}}[F](\rho )={F\rho F^{\dagger }}-{\frac {1}{2}}\left(F^{\dagger }F\rho +\rho F^{\dagger }F\right)}$

Такой термин регулярно встречается в уравнении Линдблада, используемом в квантовой оптике , где он может выражать поглощение или испускание фотонов из резервуара. Если кто-то хочет иметь и поглощение, и излучение, ему понадобится оператор перехода для каждого из них. Это приводит к наиболее распространенному уравнению Линдблада, описывающему затухание квантового гармонического осциллятора (представляющего, например, резонатор Фабри – Перо ), соединенного с термостатом , с операторами скачка

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}&=a,&\gamma _{1}&={\tfrac {\gamma }{2}}\left({\overline {n}}+1\right),\\F_{2}&=a^{\dagger },&\gamma _{2}&={\tfrac {\gamma }{2}}{\overline {n}}.\end{aligned}}}$

Здесь - среднее число возбуждений в резервуаре, затухающих осциллятор, а γ - скорость затухания. Если мы также добавим дополнительную унитарную эволюцию, генерируемую гамильтонианом квантового гармонического осциллятора с частотой , мы получим${\displaystyle {\overline {n}}}$${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-i[\omega _{c}a^{\dagger }a,\rho ]+{\mathcal {D}}[F_{1}](\rho )+{\mathcal {D}}[F_{2}](\rho ).}$

Дополнительные операторы Линдблада могут быть включены для моделирования различных форм дефазировки и колебательной релаксации. Эти методы были включены в сеточные методы распространения матрицы плотности .

См. Также [ править ]

• Квантовое главное уравнение
• Уравнение Редфилда
• Открытая квантовая система
• Метод квантового скачка

Ссылки [ править ]

• Хрущинский, Дариуш; Паскацио, Саверио (2017). «Краткая история уравнения ГКЛС». Открытые системы и информационная динамика . 24 (3). arXiv : 1710.05993 . Bibcode : 2017OSID ... 2440001C . DOI : 10.1142 / S1230161217400017 . S2CID  90357 .
• Косаковский, А. (1972). «О квантовой статистической механике негамильтоновых систем». Rep. Math. Phys . 3 (4): 247. Bibcode : 1972RpMP .... 3..247K . DOI : 10.1016 / 0034-4877 (72) 90010-9 .
• Белавин, А.А.; Зельдович, Б. Я .; Переломов А.М.; Попов, В.С. (1969). «Релаксация квантовых систем с эквидистантными спектрами» . ЖЭТФ . 29 : 145. Полномочный код : 1969JETP ... 29..145B .
• Линдблад, Г. (1976). «О генераторах квантовых динамических полугрупп». Commun. Математика. Phys . 48 (2): 119. Bibcode : 1976CMaPh..48..119L . DOI : 10.1007 / BF01608499 . S2CID  55220796 .
• Горини, В .; Косаковский, А .; Сударшан, ЭКГ (1976). «Вполне положительные динамические полугруппы N-уровневых систем». J. Math. Phys . 17 (5): 821. Bibcode : 1976JMP .... 17..821G . DOI : 10.1063 / 1.522979 .
• Банки, т .; Сасскинд, Л .; Пескин, М.Е. (1984). «Трудности эволюции чистых состояний в смешанные». Ядерная физика Б . 244 (1): 125–134. Bibcode : 1984NuPhB.244..125B . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (84) 90184-6 . ОСТИ  1447054 .
• Аккарди, Луиджи; Лу, Юнь Ган; Волович, И.В. (2002). Квантовая теория и ее стохастический предел . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-3-5404-1928-0.
• Алики, Роберт (2002). «Приглашение в квантовые динамические полугруппы». Динамика рассеивания . Конспект лекций по физике. 597 : 239. arXiv : Quant-ph / 0205188 . Bibcode : 2002LNP ... 597..239A . DOI : 10.1007 / 3-540-46122-1_10 . ISBN 978-3-540-44111-3. S2CID  118089738 .
• Алики, Роберт; Ленди, Карл (1987). Квантовые динамические полугруппы и приложения . Берлин: Springer Verlag. ISBN 978-0-3871-8276-6.
• Атталь, Стефан; Джой, Ален; Пилле, Клод-Ален (2006). Открытые квантовые системы II: марковский подход . Springer. ISBN 978-3-5403-0992-5.
• Гардинер, CW; Золлер, Питер (2010). Квантовый шум . Серия Спрингера в синергетике (3-е изд.). Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-06094-6.
• Ингарден, Роман С .; Косаковский, А .; Охя, М. (1997). Информационная динамика и открытые системы: классический и квантовый подход . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-0-7923-4473-5.

• Тарасов, Василий Е. (2008). Квантовая механика негамильтоновых и диссипативных систем . Амстердам, Бостон, Лондон, Нью-Йорк: Elsevier Science. ISBN 978-0-0805-5971-1.
• Перл, П. (2012). «Простой вывод уравнения Линдблада». Европейский журнал физики , 33 (4), 805.

Внешние ссылки [ править ]

• Набор инструментов квантовой оптики для Matlab
• mcsolve Решатель квантового прыжка (Монте-Карло) от QuTiP.
• QuantumOptics.jl - набор инструментов квантовой оптики в Julia.
• Основное уравнение Линдблада