Оператор Гильберта – Шмидта

В математике оператор Гильберта – Шмидта , названный в честь Дэвида Гильберта и Эрхарда Шмидта , является ограниченным оператором A в гильбертовом пространстве H с конечной нормой Гильберта – Шмидта.

${\ displaystyle \ | A \ | _ {\ operatorname {HS}} ^ {2} = \ sum _ {i \ in I} \ | Ae_ {i} \ | ^ {2},}$

где есть норма Н , в ортонормированном из H . ^{[1] [2]} Обратите внимание, что набор индексов не обязательно должен быть счетным; тем не менее, самое большее число членов будет отличным от нуля. ^[3] Эти определения не зависят от выбора основы. В конечномерном евклидовом пространстве норма Гильберта – Шмидта идентична норме Фробениуса . ${\ Displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle \ {e_ {i}: я \ in I \}}$${\ Displaystyle \ | \ cdot \ | _ {\ текст {HS}}}$

Определение [ править ]

Предположим, что это гильбертово пространство . Если это ортонормированный базис из H , то для любого линейного оператора А на H определит:${\ Displaystyle \ влево (Н, \ | \ CDOT \ | \ вправо)}$${\ displaystyle \ {e_ {i}: я \ in I \}}$

${\displaystyle \left\|A\right\|_{\operatorname {HS} }^{2}\equiv \sum _{i\in I}\left\|Ae_{i}\right\|^{2}}$

где эта сумма может быть конечной или бесконечной. Обратите внимание , что это значение фактически не зависит от ортонормированного базиса из H , который выбран. Более того, если норма Гильберта – Шмидта конечна, то сходимость суммы требует, чтобы не более чем счетное число членов было ненулевым (даже если I несчетно). Если A - линейный ограниченный оператор, то имеем . ^[4]${\displaystyle \{e_{i}:i\in I\}}$${\displaystyle \left\|Ae_{i}\right\|^{2}}$${\displaystyle \left\|A\right\|\leq \left\|A\right\|_{\operatorname {HS} }}$

Ограниченный оператор на гильбертовом пространстве является оператором Гильберта-Шмидта , если конечна. Эквивалентно, A является оператором Гильберта – Шмидта, если след неотрицательного самосопряженного оператора конечен, и в этом случае . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \left(H,\|\cdot \|\right)}$${\displaystyle \left\|A\right\|_{\operatorname {HS} }^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {Tr} }$${\displaystyle A^{*}A}$${\displaystyle \|A\|_{\text{HS}}^{2}=\operatorname {Tr} (A^{*}A)}$

Если A - оператор Гильберта – Шмидта на H, то

${\displaystyle \|A\|_{\text{HS}}^{2}=\sum _{i,j}|A_{i,j}|^{2}=\|A\|_{2}^{2}}$

где это ортонормированный базис из Н , и является Шаттен нормой из для р = 2 . В евклидовом пространстве , также называется нормой Фробениуса .${\displaystyle \{e_{i}:i\in I\}}$${\displaystyle A_{i,j}:=\langle e_{i},Ae_{j}\rangle }$${\displaystyle \|A\|_{2}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\text{HS}}}$

Примеры [ править ]

Важный класс примеров представляют интегральные операторы Гильберта – Шмидта . Каждый ограниченный оператор с конечномерным образом (они называются операторами конечного ранга) является оператором Гильберта – Шмидта. Тождественный оператор в гильбертовом пространстве является оператором Гильберта-Шмидта , если и только если гильбертово пространство конечномерно. Для любых и in определим посредством , который является непрерывным линейным оператором ранга 1 и, следовательно, оператором Гильберта – Шмидта; более того, для любого ограниченного линейного оператора на (и в ) . ^[5]${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle H}$${\displaystyle x\otimes y:H\to H}$${\displaystyle (x\otimes y)(z)=\langle z,y\rangle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle \operatorname {Tr} \left(A\left(x\otimes y\right)\right)=\left\langle Ax,y\right\rangle }$

Если - ограниченный компактный оператор с собственными значениями , где каждое собственное значение повторяется так часто, как его кратность, то является оператором Гильберта – Шмидта тогда и только тогда , когда и в этом случае норма Гильберта – Шмидта равна . ^[4]${\displaystyle T:H\to H}$${\displaystyle l_{1},l_{2},\dots }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }l_{i}^{2}<\infty }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }={\sqrt {\sum _{i=1}^{\infty }l_{i}^{2}}}}$

Если , где - пространство с мерой, то интегральный оператор с ядром является оператором Гильберта – Шмидта и . ^[4]${\displaystyle k\in L^{2}\left(\mu \times \mu \right)}$${\displaystyle \left(X,\Omega ,\mu \right)}$${\displaystyle K:L^{2}\left(\mu \right)\to L^{2}\left(\mu \right)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \left\|K\right\|_{\operatorname {HS} }=\left\|k\right\|_{2}}$

Пространство операторов Гильберта – Шмидта [ править ]

Произведение двух операторов Гильберта – Шмидта имеет конечную норму следового класса ; следовательно, если A и B - два оператора Гильберта – Шмидта, скалярное произведение Гильберта – Шмидта можно определить как

${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\text{HS}}=\operatorname {Tr} (A^{*}B)=\sum _{i}\langle Ae_{i},Be_{i}\rangle .}$

Операторы Гильберта-Шмидта образуют двусторонний * -идеал в банаховой алгебре ограниченных операторов на H . Они также образуют гильбертово пространство, обозначаемое B _HS ( H ) или B ₂ ( H ), которое, как можно показать, естественно изометрически изоморфно тензорному произведению гильбертовых пространств

${\displaystyle H^{*}\otimes H,}$

где H ^* является сопряженным из H . Норма, индуцированная этим скалярным произведением, является нормой Гильберта – Шмидта, при которой пространство операторов Гильберта – Шмидта является полным (тем самым превращая его в гильбертово пространство). ^[5] Пространство всех ограниченных линейных операторов конечного ранга (т. Е. Имеющих конечномерный диапазон значений) является плотным подмножеством пространства операторов Гильберта – Шмидта (с нормой Гильберта – Шмидта). ^[5]

Множество операторов Гильберта – Шмидта замкнуто в топологии нормы тогда и только тогда, когда H конечномерно.

Свойства [ править ]

• Каждый оператор Гильберта – Шмидта T  : H → H является компактным оператором . ^[4]
• Ограниченный линейный оператор T  : H → H называется Гильбертом – Шмидтом тогда и только тогда, когда то же самое верно для оператора , и в этом случае нормы Гильберта – Шмидта оператора T и | Т | равны. ^[4]${\displaystyle \left|T\right|:={\sqrt {T^{*}T}}}$
• Операторы Гильберта – Шмидта являются ядерными операторами порядка 2 и поэтому являются компактными операторами . ^[4]
• Если и - операторы Гильберта – Шмидта между гильбертовыми пространствами, то композиция является ядерным оператором . ^[3]${\displaystyle S:H_{1}\to H_{2}}$${\displaystyle T:H_{2}\to H_{3}}$${\displaystyle T\circ S:H_{1}\to H_{3}}$
• Если T  : H → H - линейный ограниченный оператор, то имеем . ^[4]${\displaystyle \left\|T\right\|\leq \left\|T\right\|_{\operatorname {HS} }}$
• Если Т  : Н → Н линейный ограниченный оператор на H и S  : Н → Н является оператором Гильберта-Шмидта на H , то , и . ^[4] В частности, композиция двух операторов Гильберта – Шмидта снова является оператором Гильберта – Шмидта (и даже оператором класса следа ). ^[4]${\displaystyle \left\|S^{*}\right\|_{\operatorname {HS} }=\left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }}$${\displaystyle \left\|TS\right\|_{\operatorname {HS} }\leq \left\|T\right\|\left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }}$${\displaystyle \left\|ST\right\|_{\operatorname {HS} }\leq \left\|S\right\|_{\operatorname {HS} }\left\|T\right\|}$
• Пространство операторов Гильберта – Шмидта на H является идеалом пространства ограниченных операторов , содержащего операторы конечного ранга. ^[4]${\displaystyle B\left(H\right)}$

См. Также [ править ]

• Внутренний продукт Фробениуса
• Класс трассировки

Ссылки [ править ]

• Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC  21195908 .
• Шефер, Хельмут Х. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 3 . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .CS1 maint: ref=harv (link)