Норма Шаттена

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Норма Шаттена»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( ноябрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , особенно в функциональном анализе , норма Шаттена (или норма Шаттена – фон-Неймана ) возникает как обобщение p -интегрируемости, аналогичной норме класса следов и норме Гильберта – Шмидта .

Определение [ править ]

Пусть , - гильбертовы пространства и (линейный) ограниченный оператор из в . Для , определим p-норму Шаттена как${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$${\ Displaystyle р \ в [1, \ infty)}$${\ displaystyle T}$

${\displaystyle \|T\|_{p}=\mathrm {Tr} (|T|^{p})^{\frac {1}{p}}.}$

Если компактно и отделимо, то${\displaystyle T}$${\displaystyle H_{1},\,H_{2}}$

${\displaystyle \|T\|_{p}:={\bigg (}\sum _{n\geq 1}s_{n}^{p}(T){\bigg )}^{1/p}}$

для тех особых значений в , то есть собственные значения эрмитова оператора .${\displaystyle s_{1}(T)\geq s_{2}(T)\geq \cdots s_{n}(T)\geq \cdots \geq 0}$${\displaystyle T}$${\displaystyle |T|:={\sqrt {(T^{*}T)}}}$

Свойства [ править ]

Далее мы формально расширяем диапазон от до с условием, что это норма оператора. Тогда двойным индексом будет .${\displaystyle p}$${\displaystyle [1,\infty ]}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$${\displaystyle p=\infty }$${\displaystyle q=1}$

• Нормы Шаттена унитарно инвариантны: для унитарных операторов и и ,${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$

${\displaystyle \|UTV\|_{p}=\|T\|_{p}.}$

• Они удовлетворяют неравенству Гельдера : для всех и таких, что и операторы, определенные между гильбертовыми пространствами и соответственно,${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$${\displaystyle S\in {\mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),T\in {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})}$${\displaystyle H_{1},H_{2},}$${\displaystyle H_{3}}$

${\displaystyle \|ST\|_{1}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}.}$

(Для матриц это может быть обобщена для . ^[1] )${\displaystyle \|ST\|_{r}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{q}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{r}}={\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}}$

• Субмультипликативность: для всех операторов и, определенных между гильбертовыми пространствами и соответственно,${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$${\displaystyle S\in {\mathcal {L}}(H_{2},H_{3}),T\in {\mathcal {L}}(H_{1},H_{2})}$${\displaystyle H_{1},H_{2},}$${\displaystyle H_{3}}$

${\displaystyle \|ST\|_{p}\leq \|S\|_{p}\|T\|_{p}.}$

• Монотонность: Для ,${\displaystyle 1\leq p\leq p'\leq \infty }$

${\displaystyle \|T\|_{1}\geq \|T\|_{p}\geq \|T\|_{p'}\geq \|T\|_{\infty }.}$

• Двойственность: пусть будут конечномерные гильбертовы пространства и такие, что тогда${\displaystyle H_{1},H_{2}}$${\displaystyle p\in [1,\infty ]}$${\displaystyle q}$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$

${\displaystyle \|S\|_{p}=\sup \lbrace |\langle S,T\rangle |\mid \|T\|_{q}=1\rbrace ,}$

где обозначает скалярное произведение Гильберта – Шмидта .${\displaystyle \langle S,T\rangle =\mathrm {tr} (S^{*}T)}$

Замечания [ править ]

Обратите внимание, что это норма Гильберта – Шмидта (см. Оператор Гильберта – Шмидта ), это норма класса следов (см. Класс следов ) и норма оператора (см. Операторная норма ).${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$

Ибо функция является примером квазинормы .${\displaystyle p\in (0,1)}$${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$

Оператор, имеющий конечную норму Шаттена, называется оператором класса Шаттена, а пространство таких операторов обозначается через . С этой нормой - банахово пространство и гильбертово пространство при p  = 2.${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})}$${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})}$

Отметим , что алгебра компактных операторов . Это следует из того факта, что если сумма конечна, спектр будет конечным или счетным с началом координат в качестве предельной точки и, следовательно, компактным оператором (см. Компактный оператор в гильбертовом пространстве ).${\displaystyle S_{p}(H_{1},H_{2})\subseteq {\mathcal {K}}(H_{1},H_{2})}$

Случай p = 1 часто называют ядерной нормой (также известной как норма следа или n-норма Ky Fan ^[2] ).

См. Также [ править ]

Матричные нормы

Ссылки [ править ]

• Раджендра Бхатия, Матричный анализ, Vol. 169. Springer Science & Business Media, 1997.
• Джон Уотроус , Теория квантовой информации, 2.3 Нормы операторов , конспект лекций, Университет Ватерлоо, 2011.
• Иоахим Вайдманн, Линейные операторы в гильбертовых пространствах, Vol. 20. Спрингер, Нью-Йорк, 1980.