Компактный оператор в гильбертовом пространстве

Эту статью, возможно, придется переписать, чтобы она соответствовала стандартам качества Википедии , поскольку она написана как учебник математики, а не как статья в энциклопедии. Вы можете помочь . Страница обсуждения может содержать предложения. ( Сентябрь 2017 г. )

В функциональном анализе понятие компактного оператора в гильбертовом пространстве является расширением концепции матрицы, действующей в конечномерном векторном пространстве; в гильбертовом пространстве компактные операторы - это в точности замыкание операторов конечного ранга (представимых конечномерными матрицами) в топологии, индуцированной операторной нормой . Таким образом, результаты теории матриц иногда можно распространить на компактные операторы, используя аналогичные аргументы. Напротив, изучение общих операторов в бесконечномерных пространствах часто требует совершенно иного подхода.

Например, спектральная теория компактных операторов в банаховых пространствах принимает форму, очень похожую на жорданову каноническую форму матриц. В контексте гильбертовых пространств квадратная матрица унитарно диагонализуема тогда и только тогда, когда она нормальна . Соответствующий результат верен для нормальных компактных операторов в гильбертовых пространствах. В более общем смысле от предположения о компактности можно отказаться. Как указано выше, методы, используемые для доказательства, например, спектральной теоремы , различны и включают операторнозначные меры на спектре .

Некоторые результаты для компактных операторов в гильбертовом пространстве будут обсуждаться, начиная с общих свойств до рассмотрения подклассов компактных операторов.

Определение [ править ]

Позвольте быть гильбертовым пространством и быть множеством ограниченных операторов на . Затем оператор называется быть компактным оператором , если образ каждого ограниченного множества при является относительно компактным .${\ displaystyle H}$${\ Displaystyle L (H)}$${\ displaystyle H}$${\ Displaystyle T \ in L (H)}$${\ displaystyle T}$

Некоторые общие свойства [ править ]

В этом разделе мы перечислим некоторые общие свойства компактных операторов.

Если X и Y являются гильбертовыми пространствами (на самом деле достаточно банаховых X и Y нормированных), то T  : X → Y компактно тогда и только тогда, когда оно непрерывно, если рассматривать его как отображение из X со слабой топологией в Y (с топология нормы). (См. ( Zhu 2007 , теорема 1.14, стр.11) и отметьте в этой ссылке, что равномерная ограниченность будет применяться в ситуации, когда F ⊆ X удовлетворяет (∀φ ∈ Hom ( X , K )) sup { x ** ( φ) = φ ( x ):x } <∞, где K - основное поле. Принцип равномерной ограниченности применяется, поскольку Hom ( X , K ) с топологией нормы будет банаховым пространством, а отображения x **  : Hom ( X , K ) → K являются непрерывными гомоморфизмами относительно этой топологии.)

Семейство компактных операторов является замкнутым по норме двусторонним * -идеалом в L ( H ). Следовательно, компактный оператор T не может иметь ограниченного обратного, если H бесконечномерен. Если ST = TS = I , то тождественный оператор был бы компактным; противоречие.

Если последовательности ограниченных операторов B _n → B , C _n → C в сильной операторной топологии и T компактно, то сходится к по норме. ^[1] Например, рассмотрим гильбертово пространство со стандартным базисом { e _n }. Пусть P _m - ортогональная проекция на линейную оболочку { e ₁ ... e _m }. Последовательность { P _m } сходится к тождественному оператору I сильно, но не равномерно. Определить T${\ displaystyle B_ {n} TC_ {n} ^ {*}}$${\ displaystyle BTC ^ {*}}$${\ Displaystyle л ^ {2} (\ mathbf {N}),}$по T компактно, и, как утверждается выше, P _m T → IT = T в равномерной операторной топологии: для всех x ,${\ displaystyle Te_ {n} = {\ tfrac {1} {n ^ {2}}} e_ {n}.}$

${\displaystyle \left\|P_{m}Tx-Tx\right\|\leq \left({\frac {1}{m+1}}\right)^{2}\|x\|.}$

Обратите внимание, что каждый P _m является оператором конечного ранга. Аналогичные рассуждения показывают, что если T компактно, то T - равномерный предел некоторой последовательности операторов конечного ранга.

В силу замкнутости по норме идеала компактных операторов верно и обратное.

Фактор-C * -алгебра L ( H ) по модулю компактных операторов называется алгеброй Калкина , в которой можно рассматривать свойства оператора с точностью до компактного возмущения.

Компактный самосопряженный оператор [ править ]

Ограниченный оператор T в гильбертовом пространстве H называется самосопряженным, если T = T * , или, что то же самое,

${\displaystyle \langle Tx,y\rangle =\langle x,Ty\rangle ,\quad x,y\in H.}$

Отсюда следует, что < Tx , x > вещественно для любого x ∈ H , поэтому собственные значения T , если они существуют, действительны. Когда замкнутое линейное подпространство L из H инвариантна относительно T , то сужение Т на L является самосопряженным оператором на L , а кроме того, ортогональное дополнение L ^⊥ из L также инвариантно относительно T . Например, пространство H можно разложить как ортогональную прямую сумму двух T-Инвариантные замкнутые линейные подпространства: ядро из Т , и ортогональное дополнение (кек Т ) ^⊥ ядра (которое равно закрытию диапазона Т , для любого ограниченного самосопряженного оператора). Эти основные факты играют важную роль в доказательстве следующей спектральной теоремы.

Результатом классификации эрмитовых матриц размера n × n является спектральная теорема : если M = M * , то M унитарно диагонализуемо, и диагонализация M имеет вещественные элементы. Пусть T компактный оператор самосопряжен в гильбертовом пространстве H . Мы докажем то же утверждение для T : оператор T может быть диагонализован ортонормированным набором собственных векторов, каждый из которых соответствует действительному собственному значению.

Спектральная теорема [ править ]

Теорема Для каждого компактного самосопряженного оператора Т на реальном или комплексном гильбертовом пространстве H , существует ортогональный базис из H , состоящий из собственных векторов Т . Более конкретно, ортогональное дополнение ядра T допускает либо конечный ортонормированный базис собственных векторов T , либо счетно бесконечный ортонормированный базис { e _n } собственных векторов T с соответствующими собственными значениями { λ _n } ⊂ R , такими, что λ _п → 0 .

Другими словами, компактный самосопряженный оператор можно унитарно диагонализовать. Это спектральная теорема.

Когда Н является разъемным , можно смешать базис { е _п } с счетным ортонормированным для ядра Т , и получить ортогональный базис { е _п } для H , состоящим из собственных векторов Т с вещественными собственными значениями { μ _п } такие , что μ _n → 0 .

Следствие Для каждого компактного самосопряженного оператора Т на действительный или комплексный сепарабельному бесконечномерным гильбертова пространства Н , существует счетный ортогональный базис { ф _п } из Н , состоящий из собственных векторов Т , с соответствующими собственных значениями { μ _п } ⊂ R , такие что μ _n → 0 .

Идея [ править ]

Обсудим сначала конечномерное доказательство. Это доказывает спектральную теорему для эрмитового п × п матрицы Т шарниров на показывающем существование одного собственного вектор х . Как только это сделано, эрмитовость означает , что как линейная оболочка и ортогональное дополнение х (размерности п -1) являются инвариантными подпространства Т . Затем желаемый результат получается индукцией по . ${\displaystyle T_{x^{\perp }}}$

Существование собственного вектора можно показать (по крайней мере) двумя альтернативными способами:

1. Можно рассуждать алгебраически: характеристический многочлен T имеет комплексный корень, следовательно, T имеет собственное значение с соответствующим собственным вектором.
2. Собственные значения можно охарактеризовать вариационно: наибольшее собственное значение - это максимум на замкнутой единичной сфере функции f : R ^{2 n} → R, определяемой формулой f ( x ) = x * Tx = < Tx , x >.

Примечание. В конечномерном случае часть первого подхода работает в гораздо большей степени; любая квадратная матрица, не обязательно эрмитова, имеет собственный вектор. Это просто неверно для общих операторов в гильбертовых пространствах. В бесконечных измерениях также непросто обобщить понятие характеристического многочлена.

Спектральная теорема для компактного самосопряженного случая может быть получена аналогично: найти собственный вектор, расширив второй конечномерный аргумент выше, а затем применить индукцию. Сначала мы обрисуем аргументы в пользу матриц.

Поскольку замкнутая единичная сфера S в R ^{2 n} компактна, а f непрерывна, f ( S ) компактна на вещественной прямой, поэтому f достигает максимума на S в некотором единичном векторе y . По теореме Лагранжа о множителях y удовлетворяет

${\displaystyle \nabla f=\nabla y^{*}Ty=\lambda \cdot \nabla y^{*}y}$

для некоторого λ. По эрмитовости Ty = λ y .

В качестве альтернативы, пусть z ∈ C ⁿ - любой вектор. Обратите внимание, что если единичный вектор y максимизирует < Tx , x > на единичной сфере (или на единичном шаре), он также максимизирует фактор Рэлея :

${\displaystyle g(x)={\frac {\langle Tx,x\rangle }{\|x\|^{2}}},\qquad 0\neq x\in \mathbf {C} ^{n}.}$

Рассмотрим функцию:

${\displaystyle {\begin{cases}h:\mathbf {R} \to \mathbf {R} \\h(t)=g(y+tz)\end{cases}}}$

По исчислению, ч '(0) = 0 , то есть ,

${\displaystyle {\begin{aligned}h'(0)&=\lim _{t\to 0}{\frac {h(t)-h(0)}{t-0}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {g(y+tz)-g(y)}{t}}\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left({\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle }{\|y+tz\|^{2}}}-{\frac {\langle Ty,y\rangle }{\|y\|^{2}}}\right)\\&=\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\left({\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle -\langle Ty,y\rangle }{\|y\|^{2}}}\right)\\&={\frac {1}{\|y\|^{2}}}\lim _{t\to 0}{\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle -\langle Ty,y\rangle }{t}}\\&={\frac {1}{\|y\|^{2}}}\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\langle T(y+tz),y+tz\rangle }{\langle y+tz,y+tz\rangle }}\right)(0)\\&=0.\end{aligned}}}$

Определять:

${\displaystyle m={\frac {\langle Ty,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}}$

После некоторой алгебры приведенное выше выражение становится ( Re обозначает действительную часть комплексного числа)

${\displaystyle \mathrm {Re} (\langle Ty-my,z\rangle )=0.}$

Но z произвольно, поэтому Ty - my = 0 . В этом суть доказательства спектральной теоремы в матричном случае.

Обратите внимание, что в то время как множители Лагранжа обобщаются на бесконечномерный случай, компактность единичной сферы теряется. Здесь полезно предположение о компактности оператора T.

Подробности [ править ]

Утверждение   Если T - компактный самосопряженный оператор в ненулевом гильбертовом пространстве H и

${\displaystyle m(T):=\sup {\bigl \{}|\langle Tx,x\rangle |:x\in H,\,\|x\|\leq 1{\bigr \}},}$

Затем м ( Т ) или - м ( Т ) является собственным значением Т .

Если m ( T ) = 0 , то по поляризационному тождеству T = 0 , и этот случай ясен. Рассмотрим функцию

${\displaystyle {\begin{cases}f:H\to \mathbf {R} \\f(x)=\langle Tx,x\rangle \end{cases}}}$

Заменяя при необходимости T на - T , можно считать, что верхняя грань функции f на замкнутом единичном шаре B ⊂ H равна m ( T )> 0 . Если f достигает своего максимума m ( T ) на B в некотором единичном векторе y , то по тому же аргументу, что и для матриц, y является собственным вектором T с соответствующим собственным значением λ = < λy , y > = < Ty , y > = f( у ) = т ( Т ) .

По теореме Банаха – Алаоглу и рефлексивности H замкнутый единичный шар B слабо компактен. Кроме того, компактность T означает (см. Выше), что T  : X со слабой топологией → X с топологией нормы непрерывно. Эти два факта означают , что F непрерывна на В , снабженной слабой топологией, и е достигает поэтому его максимум т на В при некотором у ∈ B . По максимальности, что, в свою очередь, означает, что y также максимизирует фактор Рэлея${\displaystyle \|y\|=1,}$g ( x ) (см. выше). Это показывает, что y является собственным вектором T , и завершает доказательство утверждения.

Примечание. Компактность T имеет решающее значение. В общем, е не должно быть непрерывным для слабой топологии на единичном шаре B . Например, пусть T - тождественный оператор, который не компактен, когда H бесконечномерно. Возьмем любую ортонормированную последовательность { y _n }. Тогда y _n сходится к 0 слабо, но lim f ( y _n ) = 1 ≠ 0 = f (0).

Пусть T компактный оператор в гильбертовом пространстве H . Конечная (возможно, пустая) или счетно бесконечная ортонормированная последовательность { e _n } собственных векторов оператора T с соответствующими ненулевыми собственными значениями строится по индукции следующим образом. Пусть H ₀ = H и T ₀ = T . Если m ( T ₀ ) = 0, то T = 0 и построение останавливается, не производя никакого собственного вектора e _n . Предположим, что ортонормированные собственные векторы e ₀ , ..., e _{n- 1} из Т были найдены. Тогда Е _п : = продолжительность ( е ₀ , ..., е _{п - 1} ) инвариантен относительно Т , и самосопряженностью, ортогонального дополнение Н _п из Е _п является инвариантным подпространством T . Обозначим через T _n ограничение T на H _n . Если m ( T _n ) = 0, то T _n = 0, и построение останавливается. В противном случае по искуприложенный к Т _п , существует норма один собственный вектор е _п из Т в Н _п , с соответствующим ненулевым собственным значением _п = ± м ( Т _н ) .

Пусть F = (span { e _n }) ^⊥ , где { e _n } - конечная или бесконечная последовательность, построенная индуктивным процессом; по самосопряженности, Р инвариантна относительно Т . Пусть S обозначит ограничение Т на F . Если процесс был остановлен после конечного числа шагов с последним вектором e _{m −1} , то по построению F = H _m и S = T _m = 0. В бесконечном случае компактность Tи из слабой сходимости e _n к 0 следует, что Te _n = λ _n e _n → 0 , следовательно, λ _n → 0 . Поскольку F содержится в H _n для любого n , то m ( S ) ≤ m ({ T _n }) = | λ _n | для любого n , следовательно, m ( S ) = 0. Отсюда снова следует, что S = 0 .

Тот факт , что S = 0 означает , что Р содержится в ядре Т . Наоборот, если x ∈ ker ( T ), то в силу самосопряженности x ортогонален любому собственному вектору { e _n } с ненулевым собственным значением. Отсюда следует , что Р = кег ( Т ) , а также, что { е _п } является ортонормированный базис ортогонального дополнения ядра Т . Можно завершить диагонализацию T , выбрав ортонормированный базис ядра. Это доказывает спектральную теорему.

Более короткое, но более абстрактное доказательство выглядит следующим образом: по лемме Цорна выберите U как максимальное подмножество H со следующими тремя свойствами: все элементы U являются собственными векторами T , они имеют норму, равную единице, и любые два различных элемента U ортогональны. Пусть F является ортогональным дополнением к линейной оболочке U . Если F ≠ {0}, то нетривиальным инвариантное подпространство Т , и первоначальным иском, должна существовать норма один собственный вектор у из Т в F . Но тогда U ∪ { y} Противоречит максимальности U . Отсюда следует , что Р = {0}, следовательно , продолжительность ( U ) плотно в H . Это показывает , что U является ортонормированный базис H , состоящий из собственных векторов Т .

Функциональное исчисление [ править ]

Если T компактен на бесконечномерном гильбертовом пространстве H , то T не обратим, поэтому σ ( T ), спектр T , всегда содержит 0. Спектральная теорема показывает, что σ ( T ) состоит из собственных значений { λ _n } T и 0 (если 0 еще не является собственным значением). Множество σ ( T ) является компактным подмножеством комплексных чисел, а собственные значения плотны в σ ( T ).

Любую спектральную теорему можно переформулировать в терминах функционального исчисления . В данном контексте мы имеем:

Теорема. Обозначим через C (σ ( T )) C * -алгебру непрерывных функций на σ ( T ). Существует единственный изометрический гомоморфизм Φ: C (σ ( T )) → L ( H ) такой, что Φ (1) = I и, если f - тождественная функция f (λ) = λ, то Φ ( f ) = T . Кроме того, σ ( f ( T )) = f (σ ( T )) .

Отображение функционального исчисления Φ определяется естественным образом: пусть { e _n } будет ортонормированным базисом собственных векторов для H с соответствующими собственными значениями { λ _n }; для f ∈ C (σ ( T )) оператор Φ ( f ), диагональный относительно ортонормированного базиса { e _n }, определяется положением

${\displaystyle \Phi (f)(e_{n})=f(\lambda _{n})e_{n}}$

для каждого n . Поскольку Φ ( f ) диагональна относительно ортонормированного базиса, ее норма равна супремуму модуля диагональных коэффициентов,

${\displaystyle \|\Phi (f)\|=\sup _{\lambda _{n}\in \sigma (T)}|f(\lambda _{n})|=\|f\|_{C(\sigma (T))}.}$

Остальные свойства Φ легко проверить. Наоборот, любой гомоморфизм Ψ, удовлетворяющий требованиям теоремы, должен совпадать с Φ, когда f - многочлен. По аппроксимационной теореме Вейерштрасса полиномиальные функции плотны в C (σ ( T )), и отсюда = Φ . Это показывает, что Φ единственно.

Более общее непрерывное функциональное исчисление может быть определено для любого самосопряженного (или даже нормального в комплексном случае) ограниченного линейного оператора в гильбертовом пространстве. Описанный здесь компактный случай является особенно простым примером этого функционального исчисления.

Одновременная диагонализация [ править ]

Рассмотрим гильбертово пространство H (например, конечномерное C ⁿ ) и коммутирующее множество самосопряженных операторов. Тогда при подходящих условиях его можно одновременно (унитарно) диагонализовать. А именно. существует ортонормированный базис Q, состоящий из общих собственных векторов операторов, т.е.${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Hom} (H,H)}$

${\displaystyle (\forall {q\in Q,T\in {\mathcal {F}}})(\exists {\sigma \in \mathbf {C} })(T-\sigma )q=0}$

Лемма. Предположим, что все операторы в компактны. Тогда каждое замкнутое ненулевое инвариантное подпространство S ⊆ H имеет общий собственный вектор для .${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Доказательство. Случай I: все операторы имеют ровно одно собственное значение. Тогда возьмите любую единичной длины. Это общий собственный вектор.${\displaystyle s\in S}$

Случай II: существует оператор, имеющий не менее двух собственных значений, и пусть . Поскольку T компактно, а α не равно нулю, у нас есть конечномерное (и, следовательно, замкнутое) ненулевое инвариантное подпространство (поскольку все операторы коммутируют с T , мы имеем для и , то ). В частности, мы определенно имеем Таким образом, мы могли бы в принципе рассуждать индукцией по размерности, получая, что имеет общий собственный вектор для .${\displaystyle T\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle 0\neq \alpha \in \sigma (T\upharpoonright S)}$${\displaystyle S':=\ker(T\upharpoonright S-\alpha )}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle T'\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x\in \ker(T\upharpoonright S-\alpha )}$${\displaystyle (T-\alpha )(T'x)=(T'(T~x)-\alpha T'x)=0}$${\displaystyle \dim S'<\dim S.}$${\displaystyle S'\subseteq S}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Теорема 1. Если все операторы в компактны, то операторы можно одновременно (унитарно) диагонализовать.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Доказательство. Следующий набор

${\displaystyle \mathbf {P} =\{A\subseteq H:A{\text{ is an orthonormal set of common eigenvectors for }}{\mathcal {F}}\},}$

частично упорядочивается включением. Это явно имеет свойство Zorn. Итак, взяв Q в качестве максимального члена, если Q является базисом для всего гильбертова пространства H , мы закончили. Если бы это было не так, то, допустим , легко увидеть, что это было бы -инвариантным нетривиальным замкнутым подпространством; и, таким образом, по лемме выше, в нем будет лежать общий собственный вектор для операторов (обязательно ортогональный Q ). Но тогда было бы правильное расширение Q внутри P ; противоречие с его максимальностью.${\displaystyle S=\langle Q\rangle ^{\bot }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Теорема 2. Если существует инъективный компактный оператор в ; тогда операторы можно одновременно (унитарно) диагонализовать.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Доказательство. Исправьте компактный инъективный. Тогда согласно спектральной теории компактных симметрических операторов в гильбертовых пространствах:${\displaystyle T_{0}\in {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle H={\overline {\bigoplus _{\lambda \in \sigma (T_{0})}\ker(T_{0}-\sigma )}},}$

где - дискретное счетное подмножество положительных действительных чисел, а все собственные подпространства конечномерны. Поскольку коммутирующее множество, у нас все собственные подпространства инвариантны. Поскольку все операторы, ограниченные собственными подпространствами (которые конечномерны), автоматически являются компактными, мы можем применить теорему 1 к каждому из них и найти ортонормированные базисы Q _σ для . Поскольку T ₀ симметрично, имеем${\displaystyle \sigma (T_{0})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \ker(T_{0}-\sigma )}$

${\displaystyle Q:=\bigcup _{\sigma \in \sigma (T_{0})}Q_{\sigma }}$

является (счетным) ортонормированным множеством. Кроме того, при разложении мы первым заявил, что основой для H .

Теорема 3. Если H - конечномерное гильбертово пространство и коммутативный набор операторов, каждый из которых диагонализуем; тогда операторы можно одновременно диагонализовать.${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \operatorname {Hom} (H,H)}$

Доказательство. Случай I: все операторы имеют ровно одно собственное значение. Тогда подойдет любая база для H.

Случай II: Зафиксируем оператор, по крайней мере, с двумя собственными значениями, и пусть это будет симметричный оператор. Пусть теперь α - собственное значение . Тогда легко увидеть, что оба:${\displaystyle T_{0}\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle P\in \operatorname {Hom} (H,H)^{\times }}$${\displaystyle P^{-1}T_{0}P}$${\displaystyle P^{-1}T_{0}P}$

${\displaystyle \ker \left(P^{-1}~T_{0}(P-\alpha )\right),\quad \ker \left(P^{-1}~T_{0}(P-\alpha )\right)^{\bot }}$

являются нетривиальными -инвариантными подпространствами. Индукцией по размерности мы получаем, что существуют линейно независимые базисы Q ₁ , Q ₂ для подпространств, которые демонстрируют, что операторы in могут быть одновременно диагонализуемы на подпространствах. Это ясно показывает, что операторы в могут быть одновременно диагонализованы.${\displaystyle P^{-1}{\mathcal {F}}P}$${\displaystyle P^{-1}{\mathcal {F}}P}$${\displaystyle P(Q_{1}\cup Q_{2})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Обратите внимание, что в этом доказательстве нам вообще не нужно было напрямую использовать механизм матриц. Есть и другие версии.

Мы можем усилить сказанное выше для случая, когда все операторы просто коммутируют со своим сопряженным; в этом случае мы убираем термин «ортогональный» из диагонализации. Есть более слабые результаты для операторов, вытекающих из представлений Вейля – Петера. Пусть G - фиксированная локально компактная группа Хаусдорфа и (пространство измеримых функций, суммируемых с квадратом относительно единственной масштабной меры Хаара на G ). Рассмотрим непрерывное переключение:${\displaystyle H=L^{2}(G)}$

${\displaystyle {\begin{cases}G\times H\to H\\(gf)(x)=f(g^{-1}x)\end{cases}}}$

Тогда, если G была компактна, то существует единственное разложение H в счетную прямую сумму конечномерных, неприводимых, инвариантных подпространств (это, по сути, диагонализация семейства операторов ). Если бы G не был компактным, но был абелевым, то диагонализация не была достигнута, но мы получили бы единственное непрерывное разложение H на одномерные инвариантные подпространства.${\displaystyle G\subseteq U(H)}$

Компактный нормальный оператор [ править ]

Семейство эрмитовых матриц - это собственное подмножество матриц, которые унитарно диагонализуемы. Матрица M унитарно диагонализуема тогда и только тогда, когда она нормальна, т. Е. M * M = MM * . Аналогичные утверждения верны для компактных нормальных операторов.

Пусть T компактно и T * T = TT * . Примените декартово разложение к T : определите

${\displaystyle R={\frac {T+T^{*}}{2}},\quad J={\frac {T-T^{*}}{2i}}.}$

Самосопряженные компактные операторы R и J называются действительной и мнимой частями T соответственно. Т компактно означает Т * , следовательно, R и J компактны. Кроме того, из нормальности T следует, что R и J коммутируют. Следовательно, их можно одновременно диагонализовать, из чего следует утверждение.

Компактный оператор гипонормальный (в частности, оператор субнормального ) является нормальным.

Унитарный оператор [ править ]

Спектр унитарного оператора U лежит на единичной окружности комплексной плоскости; это может быть весь единичный круг. Однако, если U тождественен плюс компактное возмущение, U имеет только счетный спектр, содержащий 1 и, возможно, конечный набор или последовательность, стремящуюся к 1 на единичной окружности. Точнее, предположим, что U = I + C, где C компактно. Уравнения UU * = U * U = I и C = U - I показывают, что C является нормальным. Спектр Cсодержит 0 и, возможно, конечное множество или последовательность, стремящуюся к 0. Поскольку U = I + C , спектр U получается сдвигом спектра C на 1.

Примеры [ править ]

• Пусть H = L 2 ([0, 1]) . Оператор умножения M, определенный формулой

${\displaystyle (Mf)(x)=xf(x),\quad f\in H,\,\,x\in [0,1]}$

является ограниченным самосопряженным оператором в H , не имеющим собственного вектора и, следовательно, по спектральной теореме не может быть компактным.

• Пусть K ( x , y ) интегрируем с квадратом на [0, 1] ^2, и определим T _K на H следующим образом:

${\displaystyle (T_{K}f)(x)=\int _{0}^{1}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y.}$

Тогда T _K компактно на H ; это оператор Гильберта – Шмидта .

• Предположим, что ядро K ( x , y ) удовлетворяет условию эрмитовости.

${\displaystyle K(y,x)={\overline {K(x,y)}},\quad x,y\in [0,1].}$

Тогда T _K компактно и самосопряжено на H ; если {φ _n } - ортонормированный базис собственных векторов с собственными значениями {λ _n }, можно доказать, что

${\displaystyle \sum \lambda _{n}^{2}<\infty ,\ \ K(x,y)\sim \sum \lambda _{n}\varphi _{n}(x){\overline {\varphi _{n}(y)}},}$

где сумма ряда функций понимается как L ^2- сходимость для меры Лебега на [0, 1] ² . Теорема Мерсера дает условия, при которых ряд сходится к K ( x , y ) поточечно и равномерно на [0, 1] ² .

См. Также [ править ]

• Калкина алгебра
• Компактный оператор
• Разложение спектра (функциональный анализ) . Если снять предположение о компактности, операторы, вообще говоря, не обязательно должны иметь счетный спектр.
• Сингулярное разложение # Ограниченные операторы в гильбертовых пространствах . Понятие сингулярных чисел можно распространить с матриц на компактные операторы.

Ссылки [ править ]

• Дж. Бланк, П. Экснер и М. Хавличек, Операторы гильбертова пространства в квантовой физике , Американский институт физики, 1994.
• М. Рид и Б. Саймон, Методы современной математической физики I: Функциональный анализ , Academic Press, 1972.
• Чжу, Кехе (2007), Теория операторов в функциональных пространствах , Математические обзоры и монографии, Vol. 138, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3965-2