Перейти к навигации Перейти к поиску
В функциональном анализе , то алгебра Калкина , названный в честь Джона Уильямса Калкина , [1] является фактор из B ( H ), то кольцо из ограниченных линейных операторов на сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве H , по идеалу К ( Н ) из компактные операторы . [2] Здесь сложение в B ( H ) - это сложение операторов и умножение в B ( H) - композиция операторов; легко проверить, что эти операции превращают B ( H ) в кольцо. Когда скалярное умножение также включено, B ( H ) фактически становится алгеброй над тем же полем, над которым H является гильбертовым пространством.
Свойства [ править ]
- Поскольку K ( H ) - максимальный замкнутый по норме идеал в B ( H ), алгебра Калкина проста . Фактически, K ( H ) - единственный замкнутый идеал в B ( H ).
- Как фактор C * -алгебры по двустороннему идеалу, алгебра Калкина сама является C * -алгеброй, и существует короткая точная последовательность
- что индуцирует шестичленную циклическую точную последовательность в K-теории . Те операторы в B ( H ), которые отображаются в обратимый элемент алгебры Калкина, называются операторами Фредгольма , и их индекс можно описать как с помощью K-теории, так и напрямую. Можно заключить, например, что совокупность унитарных операторов в Калкин алгебре состоит из гомотопических классов , индексированных целых числа Z . Это отличается от B ( H ), где унитарные операторы линейно связаны.
- Как C * -алгебра, алгебра Калкина не изоморфна алгебре операторов в сепарабельном гильбертовом пространстве. Из конструкции Гельфанда-Наймарка-Сигала следует, что алгебра Калкина изоморфна алгебре операторов в несепарабельном гильбертовом пространстве, но хотя для многих других C * -алгебр существуют явные описания таких гильбертовых пространств, алгебра Калкина не имеет явное представление. [ необходима цитата ]
- Существование внешнего автоморфизма алгебры Калкина, независимое от ZFC , показано работами Филлипса, Уивера и Фары. [3] [4]
Обобщения [ править ]
- Можно определить алгебру Калкина для любого бесконечномерного комплексного гильбертова пространства, а не только для сепарабельных.
- Аналогичная конструкция может быть выполнена путем замены H с банаховым пространством , которое также называется алгеброй Калкина. [5]
- Алгебра Калкина - это алгебра короны алгебры компактных операторов в гильбертовом пространстве.
Ссылки [ править ]
- ^ «Сообщество ученых, Институт перспективных исследований, преподаватели и члены 1930–1980» (PDF) . ias.edu .
- ^ Калкина, JW (1 октября 1941). «Двусторонние идеалы и сравнения в кольце ограниченных операторов в гильбертовом пространстве». Анналы математики . 42 (4): 839. DOI : 10,2307 / 1968771 .
- ^ Филлипс, Н. Кристофер; Уивер, Ник (1 июля 2007 г.). «Алгебра Калкина имеет внешние автоморфизмы». Математический журнал герцога . 139 (1): 185–202. arXiv : математика / 0606594 . DOI : 10.1215 / S0012-7094-07-13915-2 .
- ^ Фара, Ильяса (1 марта 2011). «Все автоморфизмы алгебры Калкина внутренние». Анналы математики . 173 (2): 619–661. arXiv : 0705.3085 . DOI : 10.4007 / annals.2011.173.2.1 .
- ^ Аппель, Юрген (2005). «Меры некомпактности, уплотняющие операторы и неподвижные точки: прикладной обзор». Теория неподвижной точки . 6 (2): 157–229.