В математике , оператор K-теория является некоммутативен аналогом топологической K-теории для банаховых алгебр с большинством приложений , используемых для C * -алгебр .
Обзор
Операторная K-теория больше похожа на топологическую K-теорию, чем на алгебраическую K-теорию . В частности, верна теорема Ботта о периодичности . Итак, есть только две K-группы, а именно K 0 , которая равна алгебраической K 0 , и K 1 . Как следствие теоремы периодичности, он удовлетворяет вырезанию . Это означает , что оно ассоциируется с расширением из C * -алгебры в виде длинной точной последовательности , которая, по периодичности Ботта, сводится к точной циклической 6-TERM-последовательности.
Операторная K-теория является обобщением топологической K-теории , определенной с помощью векторных расслоений на локально компактных хаусдорфовых пространствах . Здесь векторное расслоение над топологическим пространством X связано с проекцией в алгебре C * матричнозначной, т. Е.-значная-непрерывные функции над X . Также известно, что изоморфизм векторных расслоений переводится в эквивалентность Мюррея-фон Неймана ассоциированного проектора в K ⊗ C ( X ), где K - компактные операторы в сепарабельном гильбертовом пространстве.
Следовательно, группа K 0 (не обязательно коммутативной) C * -алгебры A определяется как группа Гротендика, порожденная классами эквивалентности Мюррея-фон Неймана проекторов в K ⊗ C ( X ). K 0 - функтор из категории C * -алгебр и * -гомоморфизмов в категорию абелевых групп и групповых гомоморфизмов. Высшие K-функторы определяются через С * -версия суспензии: К п ( ) = K 0 ( S п ( )), где SA = С 0 (0,1) ⊗ .
Однако из-за периодичности Ботта оказывается, что K n +2 ( A ) и K n ( A ) изоморфны для каждого n , и, таким образом, единственные группы, производимые этой конструкцией, - это K 0 и K 1 .
Ключевой причиной введения K-теоретических методов в изучение C * -алгебр был индекс Фредгольма : учитывая ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве, имеющий конечномерное ядро и коядро, ему можно сопоставить целое число, что, как выясняется, отражает «дефект» оператора, то есть степень его необратимости. Отображение индекса Фредгольма появляется в 6-членной точной последовательности, заданной алгеброй Калкина . При анализе многообразий этот индекс и его обобщения сыграли решающую роль в теории индексов Атьи и Зингера, где топологический индекс многообразия может быть выражен через индекс эллиптических операторов на нем. Позже Браун , Дуглас и Филлмор заметили, что индекс Фредгольма был недостающим компонентом при классификации по существу нормальных операторов с точностью до определенной естественной эквивалентности. Эти идеи вместе с классификацией AF C * -алгебр Эллиоттом с помощью K-теории вызвали большой интерес к адаптации таких методов, как K-теория из алгебраической топологии, к изучению операторных алгебр.
Это, в свою очередь, привело к K-гомологии , Каспарова «бивариантный s KK-теории , и, совсем недавно, Конна и Хигсона » s E-теории .
Рекомендации
- Rordam, M .; Ларсен, Финн; Лаустсен, Н. (2000), Введение в K- теорию для C ∗ -алгебр , Тексты студентов Лондонского математического общества, 49 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-78334-7