 | Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . ( февраль 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон ) |
В абстрактной алгебре , расширение поля L / K называется алгебраическим , если каждый элемент L является алгебраическим над К , то есть , если каждый элемент L является корнем некоторого ненулевого многочлена с коэффициентами в K . Расширения полей, не являющиеся алгебраическими, т.е. содержащие трансцендентные элементы , называются трансцендентными .
Например, расширение поля R / Q , то есть поле действительных чисел как расширение поля рациональных чисел , является трансцендентным, в то время как расширения поля C / R и Q ( √ 2 ) / Q являются алгебраическими, где C это поле комплексных чисел .
Все трансцендентные расширения имеют бесконечную степень . Это, в свою очередь, означает, что все конечные расширения алгебраичны. [1] Однако обратное неверно: существуют бесконечные алгебраические расширения. Например, поле всех алгебраических чисел является бесконечным алгебраическим расширением рациональных чисел.
Если алгебраический над К , то К [ ], множество всех многочленов с коэффициентами из K , это не только кольцо , но поле: алгебраическое расширение К , которое имеет конечную степень над K . Обратное также верно, если K [ ] является полем, то алгебраический над K . В частном случае, когда K = Q - поле рациональных чисел , Q [ a ] - пример поля алгебраических чисел .
Поле без собственных алгебраических расширений называется алгебраически замкнутым . Примером может служить поле комплексных чисел . Каждое поле имеет алгебраическое расширение, которое алгебраически замкнуто (называемое его алгебраическим замыканием ), но для доказательства этого в общем случае требуется некоторая форма выбранной аксиомы .
Расширение L / K является алгебраическим тогда и только тогда, когда каждая суб K -алгебра в L является полем .
Свойства [ править ]
Класс алгебраических расширений образует выделенный класс расширений полей , то есть выполняются следующие три свойства: [2]
- Если Е является алгебраическим расширением F и F является алгебраическим расширением К , то Е является алгебраическим расширением K .
- Если E и F являются алгебраическими расширениями K в общем надполе C , то композит EF является алгебраическим расширением K .
- Если Е является алгебраическим расширением F и E > K > F , то Е является алгебраическим расширением K .
Эти конечные результаты можно обобщить с помощью трансфинитной индукции:
- Объединение любой цепочки алгебраических расширений над базовым полем само является алгебраическим расширением над тем же базовым полем.
Этот факт вместе с леммой Цорна (примененной к соответствующим образом выбранному ч.у.) устанавливает существование алгебраических замыканий .
Обобщения [ править ]
Теория моделей обобщает понятие алгебраического расширения произвольных теорий: вложение из М в N называется алгебраическим расширением , если для каждого х в N существует формула р с параметрами в М , такие , что р ( х ) истинно и множество
конечно. Оказывается, применение этого определения к теории полей дает обычное определение алгебраического расширения. Группа Галуа из N через M снова может быть определена как группа из автоморфизмов , и оказывается, что большинство из теории групп Галуа может быть разработано для общего случая.
См. Также [ править ]
- Составной элемент
- Теорема Люрота
- Расширение Галуа
- Раздельное расширение
- Нормальное расширение
Заметки [ править ]
- ^ См. Также Hazewinkel et al. (2004), стр. 3.
- ^ Lang (2002) с.228
Ссылки [ править ]
- Hazewinkel, Michiel ; Губарени, Надия; Губарени Надежда Михайловна; Кириченко, Владимир В. (2004), Алгебры, кольца и модули , 1 , Springer, ISBN 1-4020-2690-0
- Лэнг, Серж (1993), "V.1: алгебраические расширения", алгебра (третье издание), чтение, Массачусетс: Addison-Wesley, стр. 223ff, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848,13001
- Маккарти, Пол Дж. (1991) [исправленная перепечатка 2-го издания, 1976], Алгебраические расширения полей , Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4, Zbl 0768,12001
- Роман, Стивен (1995), Теория поля , GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081
- Ротман, Джозеф Дж. (2002), Advanced Modern Algebra , Prentice Hall, ISBN 9780130878687
