 | Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . ( Март 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике , если L является расширение поля из К , то элемент из L называется алгебраическим элементом над К , или просто алгебраическим над K , если существует некоторый ненулевой многочлен г ( х ) с коэффициентами в К такой , что г ( а ) = 0 . Элементы L , не являющиеся алгебраическими над K , называются трансцендентными над K. .
Эти понятия обобщают алгебраические числа и трансцендентные числа (где расширение поля - это C / Q , где C - это поле комплексных чисел, а Q - поле рациональных чисел ).
Примеры [ править ]
- Корень квадратный из 2 алгебраический над Q , так как она является корнем многочлена г ( х ) = х 2 - 2 , коэффициенты которого являются рациональными.
- Pi трансцендентен над Q, но алгебраичен над полем действительных чисел R : это корень g ( x ) = x - π , чьи коэффициенты (1 и - π ) являются действительными, но не любого полинома с только рациональными коэффициентами . (В определении термина трансцендентное число используется C / Q , а не C / R. )
Свойства [ править ]
Следующие условия эквивалентны для элемента a из L :
- a алгебраичен над K ,
- расширение поля К ( ) / К имеет конечную степень, то есть измерение из K ( в ) в качестве K - векторное пространство , конечно (здесь К ( ) обозначает наименьшее подполе L , содержащего K и ),
- К [ ] = K ( ) , где К [ ] есть множество всех элементов L , которые могут быть записаны в виде г ( ) с полиномиальным г , коэффициенты которого лежит в K .
Эта характеристика может быть использована , чтобы показать , что сумма, разность, произведение и частное алгебраических элементов над K снова алгебраические над К . Множество всех элементов L , которые являются алгебраическими над K является полем , которое находится между L и K .
Если a алгебраический над K , то существует много ненулевых многочленов g ( x ) с коэффициентами в K таких, что g ( a ) = 0 . Однако, есть один один с наименьшей степенью и со старшим коэффициентом 1. Это минимальный многочлен из и кодирует многие важные свойства .
Поля, не допускающие над собой каких-либо алгебраических элементов (кроме собственных элементов), называются алгебраически замкнутыми . Поле комплексных чисел является примером.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0984.00001
