Алгебраическое число

Квадратный корень из 2 является алгебраическим числом , равным длине гипотенузы в виде прямоугольного треугольника с ног длины 1.

Алгебраическое число является любым комплексным число ( в том числе действительных чисел ) , который является корнем из ненулевого многочлена (то есть, значение , которое вызывает полином равные 0) в одной переменных с рациональными коэффициентами (или , что эквивалентно, по клиринговым знаменателям , с целыми коэффициентами).

Все целые числа и рациональные числа являются алгебраическими, как и все корни целых чисел . Действительные и комплексные числа, не являющиеся алгебраическими, такие как $π$ и $e$ , называются трансцендентными числами .

Множество комплексных чисел несчетно , но множество алгебраических чисел счетно и имеет меру нуль в меру Лебега как подмножество комплексных чисел. В этом смысле почти все комплексные числа трансцендентны .

Примеры [ править ]

Все рациональные числа алгебраичны. Любое рациональное число, выраженное как частное целого числа $a$ и (ненулевого) натурального числа $b$ , удовлетворяет приведенному выше определению, поскольку $x = а / б$ является корнем ненулевого многочлена, а именно $bx - a$ . ^[1]
Квадратичные иррациональные числа квадратичного полинома $ax 2 + bx + c$ с целыми коэффициентами $a$ , $b$ и $c$ ) являются алгебраическими числами. Если квадратичный многочлен является моническим ( $a = 1$ ), корни далее квалифицируются как квадратичные целые числа .
Составное число может быть построено из заданной единицы длины с помощью линейки и циркуля. Он включает в себя все квадратичные иррациональные корни, все рациональные числа и все числа, которые могут быть образованы из них с помощью основных арифметических операций и извлечения квадратных корней. (Обозначая стороны света для 1, −1, $i$ и - $i$ , комплексные числа, например , считаются конструктивными.) $3+i{\sqrt {2}}$
Любое выражение, сформированное из алгебраических чисел с использованием любой комбинации основных арифметических операций и извлечения корней $n-$ й степени, дает другое алгебраическое число.
Полиномиальные корни, которые нельзя выразить в терминах основных арифметических операций и извлечения корней $n-$ й степени (например, корни $x 5 - x + 1$ ). Это происходит со многими, но не со всеми полиномами степени 5 или выше.
Целые числа по Гауссу , комплексные числа $a + bi,$ для которых $a$ и $b$ являются целыми числами, а также квадратичные целые числа.
Значения тригонометрических функций в рациональных кратных $П$ (кроме случаев , когда не определены): то есть, тригонометрические числа , таких как $соз π / 7$ , $cos 3 π / 7$ , $cos 5 π / 7$ удовлетворяет $8 x 3 - 4 x 2 - 4 x + 1 = 0$ . Многочлен неприводим по рациональным числам, поэтому три косинуса являются сопряженными алгебраическими числами. Точно так же $загар 3 π / 16$ , $загар 7 π / 16$ , $загар 11 π / 16$ , $загар 15 π / 16$ удовлетворяют неприводимому многочлену $x 4 - 4 x 3 - 6 x 2 + 4 x + 1 = 0$ , и поэтому являются сопряженными алгебраическими целыми числами .
Некоторые, но не все иррациональные числа являются алгебраическими:
- Числа и являются алгебраическими, поскольку они являются корнями многочленов $x$ $2$ $- 2$ и $8$ $x$ $3$ $- 3$ соответственно. ${\sqrt {2}}$ ${\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}$
- Золотое отношение $φ$ является алгебраическим , так как он является корнем многочлена $х 2 - х - 1$ .
- Числа $π$ и e не являются алгебраическими числами (см. Теорему Линдемана – Вейерштрасса ). ^[2]

Свойства [ править ]

Алгебраические числа на комплексной плоскости, раскрашенные по степени (красный = 1, зеленый = 2, синий = 3, желтый = 4)

Для данного алгебраического числа существует единственный монический многочлен (с рациональными коэффициентами) наименьшей степени , у которого число является корнем. Этот многочлен называется его минимальным многочленом . Если его минимальный многочлен имеет степень $n$ , то говорят, что алгебраическое число имеет степень $n$ . Например, все рациональные числа имеют степень 1, а алгебраическое число степени 2 является квадратичным иррациональным .
Действительные алгебраические числа плотны в вещественных числах , линейно упорядочены и не содержат первого или последнего элемента (и, следовательно , изоморфны по порядку множеству рациональных чисел).
Множество алгебраических чисел счетно (перечислимо), ^[3]^[4], и поэтому его мера Лебега как подмножества комплексных чисел равна 0 (по существу, алгебраические числа не занимают места в комплексных числах). Другими словами, «почти все» действительные и комплексные числа трансцендентны.
Все алгебраические числа вычислимы и, следовательно, определимы и арифметичны .
Для действительных чисел $a$ и $b$ комплексное число $a + bi$ является алгебраическим тогда и только тогда, когда и $a,$ и $b$ являются алгебраическими. ^[5]

Поле [ править ]

Алгебраические числа, раскрашенные по степени (синий = 4, голубой = 3, красный = 2, зеленый = 1). Единичный круг черный.

Сумма, разность, произведение и частное (если знаменатель отличен от нуля) двух алгебраических чисел снова являются алгебраическими, что можно продемонстрировать с помощью полученного результата , и алгебраические числа, таким образом, образуют поле $ℚ$ (иногда обозначаемое , но обычно обозначающее Адель кольцо ). Каждый корень полиномиального уравнения, коэффициенты которого являются алгебраическими числами , снова является алгебраическим. Это можно перефразировать, сказав, что поле алгебраических чисел алгебраически замкнуто . Фактически, это наименьшее алгебраически замкнутое поле, содержащее рациональные числа, поэтому оно называется алгебраическим замыканием рациональных чисел. $\mathbb {A}$

Сам набор вещественных алгебраических чисел образует поле. ^[6]

Связанные поля [ править ]

Числа, определяемые радикалами [ править ]

Все числа, которые могут быть получены из целых чисел с помощью конечного числа сложных сложений , вычитаний , умножений , делений и извлечения корней $n-$ й степени, где $n$ - положительное целое число ( радикальные выражения ), являются алгебраическими. Обратное, однако, неверно: существуют алгебраические числа, которые нельзя получить таким способом. Эти числа являются корнями многочленов степени 5 или выше, что является результатом теории Галуа (см. Уравнения Квинтика и теорему Абеля – Руффини ). Пример: $x 5 - x - 1.$ , где единственный действительный корень

{\begin{aligned}x&={\frac {1}{32}}\left(32\operatorname {_{4}F_{3}} \left(\left.{\begin{array}{ccc}-{\frac {1}{20}},{\frac {3}{20}},{\frac {7}{20}},{\frac {11}{20}}\\{\frac {1}{4}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}}\end{array}}\right|{\frac {3125}{256}}\right)+8\operatorname {_{4}F_{3}} \left(\left.{\begin{array}{ccc}{\frac {1}{5}},{\frac {2}{5}},{\frac {3}{5}},{\frac {4}{5}}\\{\frac {1}{2}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}}\end{array}}\right|{\frac {3125}{256}}\right)-5\operatorname {_{4}F_{3}} \left(\left.{\begin{array}{ccc}{\frac {9}{20}},{\frac {13}{20}},{\frac {17}{20}},{\frac {21}{20}}\\{\frac {3}{4}},{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}}\end{array}}\right|{\frac {3125}{256}}\right)+5\operatorname {_{4}F_{3}} \left(\left.{\begin{array}{ccc}{\frac {7}{10}},{\frac {9}{10}},{\frac {11}{10}},{\frac {13}{10}}\\{\frac {5}{4}},{\frac {3}{2}},{\frac {7}{4}}\end{array}}\right|{\frac {3125}{256}}\right)\right)\\[8pt]&=1.167303978261418684\ldots \end{aligned}}

куда

\operatorname {_{p}F_{q}} \left(\left.{\begin{array}{ccc}a_{1},a_{2},\ldots ,a_{p}\\b_{1},b_{2},\ldots ,b_{q}\end{array}}\right|z\right)

- обобщенная гипергеометрическая функция .

Номер закрытой формы [ править ]

Алгебраические числа - это все числа, которые могут быть определены явно или неявно в терминах многочленов, начиная с рациональных чисел. Это можно обобщить на «числа в замкнутой форме », которые можно определять по-разному. В самом широком смысле, все числа, которые могут быть определены явно или неявно в терминах многочленов, экспонент и логарифмов, называются « элементарными числами », и они включают алгебраические числа плюс некоторые трансцендентные числа. В самом узком смысле, можно рассматривать числа, явно определенные в терминах полиномов, экспонент и логарифмов - это не включает все алгебраические числа, но включает некоторые простые трансцендентные числа, такие как $e$ или ln 2 .

Алгебраические целые числа [ править ]

Алгебраические числа, окрашенные старшим коэффициентом (красный цвет означает 1 для алгебраического целого числа)

Алгебраическое число является алгебраическим числом , которое является корнем многочлена с целыми коэффициентами со старшим коэффициентом 1 (а унитарный многочлен ). Примеры алгебраических чисел и поэтому алгебраические целые образуют правильное надмножество из целых чисел , так как последние корни унитарных многочленов $х$ $-$ $к$ для всех $K$ $\in ℤ.$ В этом смысле алгебраические целые числа относятся к алгебраическим числам так же, как целые числа относятся к рациональным числам . $5+13{\sqrt {2}},$ $2-6i,$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+i{\sqrt {3}}).}$

Сумма, разность и произведение алгебраических целых чисел снова являются целыми алгебраическими числами, что означает, что алгебраические целые числа образуют кольцо . Название « алгебраическое целое число» происходит от того факта, что единственными рациональными числами, которые являются алгебраическими целыми числами, являются целые числа, и потому что алгебраические целые числа в любом числовом поле во многом аналогичны целым числам. Если $К$ является числовым полем, его кольцом целых чисел является подкольцом алгебраических чисел в $К$ , и часто обозначается как $O K$ . Это прототипы дедекиндовских доменов .

Специальные классы [ править ]

Алгебраическое решение
Целое гауссово
Целое число Эйзенштейна
Квадратичное иррациональное число
Фундаментальная единица
Корень единства
Гауссовский период
Число Писот – Виджаярагаван
Номер Салема

Примечания [ править ]

↑ Некоторые из следующих примеров взяты из книги Харди и Райта 1972: 159–160 и стр. 178–179.
^ Кроме того, теорема Лиувилля может быть использована для «создания сколь угодно большого количества примеров трансцендентных чисел», ср. Харди и Райт стр. 161ff
^ Харди и Райт 1972: 160/2008: 205
^ Нивен 1956, теорема 7.5.
^ Нивен 1956, следствие 7.3.
^ Нивен (1956) стр. 92.

Ссылки [ править ]

Артин, Майкл (1991), Алгебра , Прентис Холл , ISBN 0-13-004763-5, Руководство по ремонту 1129886
Харди, Г. Х. и Райт, Е. М. 1978, 2000 (с общим указателем) . Введение в теорию чисел: 5-е издание , Clarendon Press, Oxford UK, ISBN 0-19-853171-0
Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел , Тексты для выпускников по математике, 84 (второе издание), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4757-2103-4 , ISBN 0-387-97329-X, Руководство по ремонту 1070716
Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
Нивен, Иван, 1956. Иррациональные числа , Математическая монография Каруса, No. 11, Математическая ассоциация Америки .
Ore, Øystein 1948, 1988, теория чисел и ее история , Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)

[1] Некоторые из следующих примеров взяты из книги Харди и Райта 1972: 159–160 и стр. 178–179.

[2] Кроме того, теорема Лиувилля может быть использована для «создания сколь угодно большого количества примеров трансцендентных чисел», ср. Харди и Райт стр. 161ff

[3] Харди и Райт 1972: 160/2008: 205

[4] Нивен 1956, теорема 7.5.

[5] Нивен 1956, следствие 7.3.

[6] Нивен (1956) стр. 92.

[1]

vтеКоличество систем
Счетные множества	Натуральные числа ( ) $\mathbb {N}$ Целые числа ( ) $\mathbb {Z}$ Рациональные числа ( ) $\mathbb {Q}$ Конструируемые числа Алгебраические числа ( ) $\mathbb {A}$ Периоды Вычислимые числа Определимые действительные числа Арифметические числа Гауссовские целые числа
Композиционные алгебры	Алгебры с делением : действительные числа ( ) $\mathbb {R}$ Комплексные числа ( ) $\mathbb {C}$ Кватернионы ( ) $\mathbb {H}$ Октонионы ( ) $\mathbb {O}$
Сплит- типы	более : $\mathbb {R}$ Сплит-комплексные числа Сплит-кватернионы Сплит-октонионы над : $\mathbb {C}$ Бикомплексные числа Бикватернионы Биоктонионы
Другой гиперкомплекс	Двойные числа Двойные кватернионы Двойные комплексные числа Гиперболические кватернионы Седенионы ( ) $\mathbb {S}$ Сплит-бикватернионы Мультикомплексные номера Геометрическая алгебра Алгебра физического пространства Алгебра пространства-времени
Другие типы	Количественные числительные Расширенные натуральные числа Иррациональные числа Нечеткие числа Гиперреальные числа Поле Леви-Чивита Сюрреалистические числа Трансцендентные числа Порядковые номера p -адические числа( p -адические соленоиды) Сверхъестественные числа Сверхреальные числа
Классификация Список