Конструируемое число

Корень квадратный из 2 равна длине гипотенузы в виде прямоугольного треугольника с ног длиной 1 , и, следовательно , является построимо номер

В геометрии и алгебры , А действительное число является конструктивны тогда и только тогда, учитывая отрезок единичной длины, линия отрезок длины может быть построена с циркулем и линейкой в конечное число шагов. Эквивалентно, можно построить тогда и только тогда, когда существует выражение в замкнутой форме для использования только целых чисел 0 и 1 и операций для сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.${\ displaystyle r}$${\ displaystyle | r |}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$

Геометрическое определение конструируемых чисел мотивирует соответствующее определение конструируемых точек , которые снова можно описать либо геометрически, либо алгебраически. Точка является конструируемой, если она может быть создана (как конечная точка отрезка линии или точка пересечения двух линий или окружностей) как одна из точек компаса и построения прямой кромки, начиная с заданного сегмента единичной длины. Альтернативно и эквивалентно, принимая две конечные точки сегментов как точки (0,0) и (1,0) декартовой системы координат , точка является конструктивной тогда и только тогда, когда ее декартовы координаты являются конструктивными числами. ^[1] построимое числа и точку также называют циркуль и линейкой номером иточки линейки и компаса , чтобы отличать их от чисел и точек, которые могут быть построены с помощью других процессов. ^[2]

Набор конструктивных чисел образует поле : применение любой из четырех основных арифметических операций к членам этого набора дает другое конструктивное число. Это поле является расширением поля рациональных чисел и, в свою очередь, содержится в поле алгебраических чисел . Это евклидовой замыкание из рациональных чисел , наименьшее расширение поля рациональных чисел , который включает в квадратные корни всех его положительных чисел. ^[3]

Доказательство эквивалентности между алгебраическим и геометрическим определениями конструктивных чисел имеет эффект преобразования геометрических вопросов о конструкциях циркуля и линейки в алгебру . Это преобразование приводит к решению многих известных математических задач, которые не поддавались атакам столетиями.

Геометрические определения [ править ]

Геометрически построенные точки [ править ]

Пусть и - две заданные различные точки на евклидовой плоскости , и определим как набор точек, которые могут быть построены с помощью циркуля и линейки, начиная с и . Тогда точки называются конструктивными точками . и по определению являются элементами . Чтобы более точно описать остальные элементы , сделайте следующие два определения: ^[4]${\ displaystyle O}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

• сегмент линии, концы которого находятся внутри , называется построенным сегментом , и${\ displaystyle S}$
• окружность, центр которой находится внутри, и которая проходит через точку (или чей радиус - это расстояние между некоторой парой различных точек ), называется построенной окружностью .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$

Тогда точки , кроме и : ^{[4] [5]}${\ displaystyle S}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle A}$

• пересечение двух непараллельных построены сегментов, или линий через построенные сегменты,
• точки пересечения построенного круга и построенного сегмента, или линии, проходящей через построенный сегмент, или
• точки пересечения двух различных построенных окружностей.

Например, середина построенного отрезка является конструктивной точкой. Одна конструкция для этого состоит в том, чтобы построить две окружности с радиусом и линию, проходящую через две точки пересечения этих двух окружностей. Тогда середина отрезка - это точка, в которой этот отрезок пересекает построенная линия.${\ displaystyle OA}$${\ displaystyle OA}$${\ displaystyle OA}$

Геометрически конструктивные числа [ править ]

Эта геометрическая формулировка может использоваться для определения декартовой системы координат, в которой точка связана с началом координат, имеющим координаты, и в которой точка связана с координатами . Теперь точки можно использовать для связи геометрии и алгебры, определяя конструктивное число как координату конструктивной точки. ^[6]${\ displaystyle O}$${\ displaystyle (0,0)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (1,0)}$${\ displaystyle S}$

Эквивалентные определения таковы, что конструктивное число - это координата строящейся точки ^[5] или длина строимого линейного сегмента. ^[7] Если конструируемое число представлено как -координата конструируемой точки , то отрезок от до перпендикулярной проекции на линию является конструируемым отрезком прямой с длиной . И наоборот, если - длина строимого линейного сегмента, то пересечение прямой и окружности с центром и радиусом, равным длине этого сегмента, дает точку, первая декартова координата которой равна .${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle (х, 0)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle OA}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle OA}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle x}$

Учитывая любые два конструктивных числа и , можно построить точки и, как указано выше, как точки на расстоянии и от вдоль линии и ее перпендикулярной оси через . Тогда точка может быть построена как пересечение двух прямых, перпендикулярных осям, проходящим через и . Следовательно, конструктивные точки - это именно те точки, декартовы координаты которых являются конструктивными числами. ^[8]${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle P = (х, 0)}$${\ Displaystyle P = (0, y)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle OA}$${\ displaystyle O}$${\ Displaystyle (х, у)}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle Q}$

Алгебраические определения [ править ]

Алгебраически конструктивные числа [ править ]

Алгебраически конструируемые действительные числа можно определить как подмножество действительных чисел, которые могут быть определены формулой с использованием чисел 0 и 1 (или без какой-либо большей общности, но с более краткими формулами, произвольными целыми числами) и операциями сложения, вычитания умножение, обратное умножение и квадратные корни из положительных чисел. ^[9]

Аналогично, алгебраически построенные комплексные числа могут быть определены как подмножество комплексных чисел, построенных таким же образом, но с использованием главного квадратного корня из произвольных комплексных чисел вместо квадратного корня из положительных действительных чисел. В качестве альтернативы одна и та же система комплексных чисел может быть определена как комплексные числа, действительная и мнимая части которых являются конструктивными действительными числами. ^[10]

Эти два определения конструктивных комплексных чисел эквивалентны. В одном направлении, если это комплексное число, действительная и мнимая части которого являются конструируемыми действительными числами, то подстановка формул для и в формулу и замена на дает формулу для комплексного числа. С другой стороны, любая формула для алгебраически построенного комплексного числа может быть преобразована в формулы для его действительной и мнимой частей путем рекурсивного расширения каждой операции в формуле на операции над действительной и мнимой частями ее аргументов с использованием разложений${\ displaystyle q = x + iy}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x + iy}$${\ displaystyle {\ sqrt {-1}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle q}$

• ${\displaystyle (a+ib)\pm (c+id)=(a+c)\pm i(b+d)}$
• ${\displaystyle (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{a+ib}}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}+i{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}}$
• ${\displaystyle {\sqrt {a+ib}}={\frac {(a+r){\sqrt {r}}}{s}}+i{\frac {b{\sqrt {r}}}{s}}}$, где и .${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}{}_{\!}}}}$${\displaystyle s={\sqrt {(a+r)^{2}+b^{2}}}}$

Алгебраически конструктивные точки [ править ]

Алгебраически конструктивные точки могут быть определены как точки, две вещественные декартовы координаты которых являются алгебраически конструктивными действительными числами. В качестве альтернативы, они могут быть определены как точки на комплексной плоскости, заданные алгебраически конструктивными комплексными числами. По эквивалентности между двумя определениями алгебраически конструируемых комплексных чисел эти два определения алгебраически конструируемых точек также эквивалентны.

Эквивалентность алгебраических и геометрических определений [ править ]

Если и являются ненулевыми длинами построенных сегментов , то элементарный циркуль и линейка конструкция может быть использована для получения сконструированных сегментов длины , , , и . Последние два могут быть выполнены с помощью конструкции, основанной на теореме о перехвате . Чуть менее элементарное построение с использованием этих инструментов основано на теореме о среднем геометрическом и позволяет построить отрезок длины из построенного отрезка длины . ^[11]${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a+b}$${\displaystyle |a-b|}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle a/b}$${\displaystyle {\sqrt {a}}}$${\displaystyle a}$

Конструкции циркуля и линейки для построения чисел

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ на основе теоремы о перехвате

${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ на основе теоремы о среднем геометрическом

Из этих построений следует, что каждое алгебраически конструктивное число геометрически конструктивно.

В другом направлении набор геометрических объектов может быть задан алгебраически определяемыми действительными числами: координаты для точек, наклон и пересечение линий для линий, а также центр и радиус для окружностей. Можно (но утомительно) разработать формулы на основе этих значений, используя только арифметические операции и квадратные корни, для каждого дополнительного объекта, который может быть добавлен на одном этапе построения циркуля и линейки. Из этих формул следует, что каждое геометрически конструктивное число алгебраически конструктивно. ^[12]${\displaystyle y}$

Алгебраические свойства [ править ]

Определение алгебраически конструируемых чисел включает сумму, разность, произведение и мультипликативную обратную величину любого из этих чисел, те же операции, которые определяют поле в абстрактной алгебре . Таким образом, конструктивные числа (определенные любым из вышеперечисленных способов) образуют поле. Более конкретно, конструктивные действительные числа образуют евклидово поле , упорядоченное поле, содержащее квадратный корень из каждого из его положительных элементов. ^[13] Изучение свойств этого поля и его подполей приводит к необходимым условиям на число, которое может быть построено, что может быть использовано, чтобы показать, что конкретные числа, возникающие в классических геометрических задачах построения, не могут быть построены.

Вместо всего поля конструктивных чисел удобно рассматривать подполе, порожденное любым заданным конструктивным числом , и использовать алгебраическую конструкцию для разложения этого поля. Если это построимо действительное число, то значения , происходящие в формуле построения его можно использовать для получения конечной последовательности действительных чисел таким образом, что, для каждого , является продолжением по степени 2. ^[14] Используя несколько иную терминологию, A вещественное число построено тогда и только тогда, когда оно лежит в поле на вершине конечной башни вещественных квадратичных расширений ,${\displaystyle \mathbb {Q} (\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,a_{n}=\gamma }$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,a_{i})}$${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,a_{i-1})}$

${\displaystyle \mathbb {Q} =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \dots \subseteq K_{n},}$

начиная с рациональной областью , где находится в и для всех , . ^[15] Из этого разложения следует, что степень расширения поля равна , где подсчитывается количество шагов квадратичного расширения.${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle K_{n}}$${\displaystyle 0<j\leq n}$${\displaystyle [K_{j}:K_{j-1}]=2}$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]}$${\displaystyle 2^{r}}$${\displaystyle r}$

Аналогично вещественному случаю комплексное число построено тогда и только тогда, когда оно лежит в поле на вершине конечной башни комплексных квадратичных расширений. ^[16] Точнее, конструктивно тогда и только тогда, когда существует башня полей${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \mathbb {Q} =F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \dots \subseteq F_{n},}$

где находится в , и для всех , . Разница между этой характеристикой и характеристикой действительных квадратичных чисел состоит только в том, что поля в этой башне не ограничиваются действительностью. Следовательно, если комплексное число можно построить, то это степень двойки. Однако этого необходимого условия недостаточно: существуют расширения полей, степень которых равна степени двойки, которые нельзя разложить на последовательность квадратичных расширений. ^[17]${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle 0<j\leq n}$${\displaystyle [F_{j}:F_{j-1}]=2}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle [\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]}$

Поля, которые могут быть сгенерированы таким образом из башен квадратичных расширений поля , называются повторными квадратичными расширениями поля . Поля действительных и комплексных конструктивных чисел являются объединениями всех действительных или комплексных повторных квадратичных расширений . ^[18]${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Тригонометрические числа [ править ]

Тригонометрические числа - это иррациональные косинусы или синусы углов, рациональных кратных . Такое число можно построить тогда и только тогда, когда знаменатель полностью приведенного кратного является степенью 2 или произведением степени 2 на произведение одного или нескольких различных простых чисел Ферма . Таким образом, например, можно построить, потому что 15 является произведением двух простых чисел Ферма, 3 и 5.${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \cos(\pi /15)}$

Список тригонометрических чисел, выраженных квадратными корнями, см. В тригонометрических константах, выраженных в действительных радикалах .

Невозможные конструкции [ править ]

В древние греки думали , что определенные проблемы угольника и циркуль строительство они не могли решить , были просто упрямый, не неразрешимой. ^[19] Однако невозможность построения некоторых чисел доказывает, что их невозможно выполнить с логической точки зрения. (Однако сами проблемы можно решить, используя методы, которые выходят за рамки ограничения работы только с линейкой и циркулем, и греки знали, как их решать таким образом.)

В следующей таблице каждая таблица представляет конкретную проблему древнего строительства. В левом столбце указано название проблемы. Во втором столбце дается эквивалентная алгебраическая формулировка проблемы. Другими словами, решение проблемы положительно тогда и только тогда, когда каждое число в данном наборе чисел можно построить. Наконец, последний столбец дает простой контрпример . Другими словами, число в последнем столбце является элементом набора в той же строке, но не может быть построено.

Строительная проблема	Связанный набор чисел	Контрпример
Удвоение куба	${\displaystyle \left\{{\sqrt[{3}]{x}}:x{\text{ is constructible}}\right\}}$	${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$(длина ребра удвоенного единичного куба ) не может быть построена, потому что его минимальный многочлен имеет степень 3 над Q [20]
Трисекция угла	${\displaystyle \left\{\cos \left({\frac {\arccos x}{3}}\right):x{\text{ is constructible}}\right\}}$	${\displaystyle \cos \left({\frac {\arccos(1/2)}{3}}\right)=\cos 20^{o}}$(одна из координат отрезка единичной длины, пересекающего равносторонний треугольник, выровненный по оси ) не может быть построена, потому что имеет минимальный многочлен степени 3 над Q [20]${\displaystyle \cos 20^{o}}$
Квадрат круга	${\displaystyle \left\{r{\sqrt {\pi }}:r{\text{ is constructible}}\right\}}$	${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$(длина стороны квадрата с той же площадью, что и у единичного круга ) не может быть построена, потому что она не является алгебраической над Q [20]
Построение правильных многоугольников	${\displaystyle \left\{\cos 2\pi /n:n\in \mathbb {N} ,n\geq 3\right\}}$	${\displaystyle \cos 2\pi /7}$( координата x вершины правильного семиугольника, выровненного по оси ) не может быть построена, потому что 7 не является простым числом Ферма , а 7 не является произведением одного или нескольких различных простых чисел Ферма [21]${\displaystyle 2^{k}}$

История [ править ]

Рождение концепции конструктивных чисел неразрывно связано с историей трех невозможных конструкций циркуля и линейки: дублирования куба, деления угла на три части и квадрата круга. Ограничение использования только циркуля и линейки в геометрических конструкциях часто приписывают Платону из-за отрывка из Плутарха . Согласно Плутарху, Платон дал дублирование проблемы кубы (Делосский) к Евдоксу и Архиту и Менехмам , который решил проблему с помощью механических средств, получив упрек от Платона для не решает проблему с помощью чистой геометрии (Plut., Quaestiones convivales VIII .ii, 718ef). Тем не менее, это приписывание оспаривается, ^[22] из - за, в частности, о существовании другой версии истории (приписываемой Эратосфена по Евтокий ) , который говорит , что все три были найдены решения , но они были слишком абстрактны , чтобы иметь практическое значение . ^[23] Поскольку Энопиду (около 450 г. до н.э.) приписывают две конструкции с линейкой и компасом, Прокл - цитируя Евдема (около 370–300 гг. До н.э.) - когда ему были доступны другие методы, заставило некоторых авторов предположить, что Энопид возник из ограничение.

Ограничение компаса и линейки существенно для того, чтобы сделать эти конструкции невозможными. Например, трисекцию угла можно выполнить разными способами, некоторые из которых были известны древним грекам. Quadratrix из Гиппий из Элиды , то коники из Менехм, или отмеченные стрэйтэдж ( neusis строительство) Архимеда все были использованы, так как имеет более современный подход с помощью складывания бумаги .

Хотя это не одна из трех классических задач построения, проблема построения правильных многоугольников с помощью линейки и циркуля обычно рассматривается вместе с ними. Греки знали, как построить правильные n -угольники с n = 2 ^h , 3, 5 (для любого целого h ≥ 2 ) или произведение любых двух или трех из этих чисел, но другие правильные n -угольники ускользнули от них. Затем, в 1796 году, восемнадцатилетний студент по имени Карл Фридрих Гаусс объявил в газете, что он построил правильный 17-угольник с линейкой и циркулем. ^[24]Трактовка Гаусса была скорее алгебраической, чем геометрической; на самом деле он не построил многоугольник, а скорее показал, что косинус центрального угла является конструктивным числом. Аргумент был обобщен в его книге 1801 Disquisitiones Arithmeticae давая достаточное условие для построения регулярной п - угольника. Гаусс утверждал, но не доказал, что это условие также было необходимым, и несколько авторов, в частности Феликс Кляйн , ^[25] приписали ему и эту часть доказательства. ^[26]

Пьер Ванцель  ( 1837 ) алгебраически доказал, что проблемы удвоения куба и деления угла на три части невозможно решить, если использовать только циркуль и линейку. В той же статье он также решил проблему определения того, какие правильные многоугольники можно построить: правильный многоугольник можно построить тогда и только тогда, когда количество его сторон является произведением степени двойки и любого числа различных простых чисел Ферма (т. Е. также необходимы достаточные условия, данные Гауссом)

Попытка доказательства невозможности возведения круга в квадрат была дана Джеймсом Грегори в работе Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (Истинное возведение круга и гиперболы) в 1667 году. Хотя его доказательство было ошибочным, это была первая статья, в которой была предпринята попытка решить задачу, используя алгебраические свойства π . Только в 1882 году Фердинанд фон Линдеманн строго доказал его невозможность, расширив работу Чарльза Эрмита и доказав, что π является трансцендентным числом .

Изучение конструктивных чисел как таковых было начато Рене Декартом в La Géométrie , приложении к его книге « Рассуждения о методе», опубликованной в 1637 году. Декарт связал числа с геометрическими отрезками прямых, чтобы продемонстрировать силу своего философского метода путем решения древняя задача построения линейки и компаса, поставленная Паппом . ^[27]

См. Также [ править ]

• Вычислимое число
• Определимое действительное число

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии , Дувр, ISBN 978-0-486-43832-0
• Фрали, Джон Б. (1994), Первый курс абстрактной алгебры (5-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-201-53467-2
• Херштейн, И. Н. (1986), Абстрактная алгебра , Macmillan, ISBN 0-02-353820-1
• Казаринов, Николас Д. (2003) [1970], Линейка и круг: классические проблемы в геометрических конструкциях , Дувр, ISBN 0-486-42515-0
• Клейн, Феликс (1956) [1930], Известные проблемы элементарной геометрии , Дувр
• Knorr, Wilbur Richard (1986), Древняя традиция геометрических задач , Dover Книги по математике, Courier Dover Publications, ISBN 9780486675329
• Мартин, Джордж Э. (1998), Геометрические конструкции , Тексты для студентов по математике, Springer-Verlag, Нью-Йорк, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0629-3 , ISBN 0-387-98276-0, MR  1483895
• Мойз, Эдвин Э. (1974), Элементарная геометрия с продвинутой точки зрения (2-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 0-201-04793-4
• Роман, Стивен (1995), теория поля , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94408-1
• Ротман, Джозеф Дж. (2006), Первый курс абстрактной алгебры с приложениями (3-е изд.), Прентис Холл, ISBN 978-0-13-186267-8
• Стюарт, Ян (1989), Теория Галуа (2-е изд.), Чепмен и Холл, ISBN 978-0-412-34550-0
• Wantzel, PL (1837), "Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 1 (2): 366–372

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с конструктивными числами .

• Крис Купер: Теория Галуа . Примечания к лекциям, Университет Маккуори, §6 Конструируемость линейки и компаса, стр. 55-63
• Вайсштейн, Эрик В. , «Конструируемое число» , MathWorld
• Конструируемые числа в разорванном узле