Выражение в закрытой форме

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Выражение в закрытой форме»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

В математике выражение в замкнутой форме - это математическое выражение, выраженное с помощью конечного числа стандартных операций. Он может содержать константы , переменные , определенные «хорошо известные» операции (например, + - × ÷), и функции (например, п - го корня , экспоненты , логарифма , тригонометрических функций и обратных гиперболических функций ), но обычно не предел , дифференциация или интеграция. Набор операций и функций, допускаемых в выражении закрытой формы, может варьироваться в зависимости от автора и контекста.

Пример: корни многочленов [ править ]

Решения любого квадратного уравнения с комплексными коэффициентами могут быть выражены в замкнутой форме в терминах сложения , вычитания , умножения , деления и извлечения квадратного корня , каждое из которых является элементарной функцией . Например, квадратное уравнение

${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0,}$

поддается обработке, поскольку его решения могут быть выражены в виде выражения в замкнутой форме, то есть в терминах элементарных функций:

${\ displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}.}$

Аналогичным образом решения уравнений кубической и четвертой степени (третьей и четвертой степени) могут быть выражены с помощью арифметики, квадратных корней и кубических корней или, альтернативно, с использованием арифметических и тригонометрических функций. Однако существуют уравнения пятой степени без решений в замкнутой форме, использующие элементарные функции, такие как x ⁵  -  x  + 1 = 0.

Область математических исследований, в широком смысле называемая теорией Галуа, включает доказательство того, что в определенных контекстах не существует выражения в замкнутой форме, на основе центрального примера решений в замкнутой форме для многочленов.

Альтернативные определения [ править ]

Изменение определения «хорошо известный» для включения дополнительных функций может изменить систему уравнений с решениями в замкнутой форме. Многие кумулятивные функции распределения не могут быть выражены в замкнутой форме, если не считать хорошо известные специальные функции, такие как функция ошибок или гамма-функция . Уравнение пятой степени можно решить, если включить общие гипергеометрические функции , хотя решение слишком сложно с алгебраической точки зрения, чтобы быть полезным. Для многих практических компьютерных приложений вполне разумно предположить, что гамма-функция и другие специальные функции хорошо известны, поскольку численные реализации широко доступны.

Аналитическое выражение [ править ]

Аналитическое выражение (или выражение , в аналитической форме ) представляет собой математическое выражение построено с использованием хорошо известных операций , которые легко поддаются расчету. ^{[ расплывчато ] [ необходима цитата ]} Подобно выражениям в замкнутой форме, набор разрешенных хорошо известных функций может варьироваться в зависимости от контекста, но всегда включает в себя основные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление), возведение в степень до действительной экспоненты (который включает извлечение корня n- й степени ), логарифмы и тригонометрические функции.

Однако класс выражений, которые считаются аналитическими, обычно шире, чем для выражений в замкнутой форме. В частности, обычно разрешены специальные функции, такие как функции Бесселя и гамма-функция , а также бесконечные ряды и непрерывные дроби . С другой стороны, пределы в общем и интегралы в частности обычно исключаются. ^{[ необходима цитата ]}

Если аналитическое выражение включает в себя только алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень до рационального показателя степени) и рациональные константы, то оно более конкретно называется алгебраическим выражением .

Сравнение различных классов выражений [ править ]

Выражения в замкнутой форме являются важным подклассом аналитических выражений, которые содержат ограниченное ^{[ требуется цитата ]} или неограниченное количество приложений хорошо известных функций. В отличие от более широких аналитических выражений, выражения в замкнутой форме не включают бесконечные ряды или непрерывные дроби ; ни интегралы, ни пределы не включены . Действительно, согласно теореме Стоуна – Вейерштрасса , любую непрерывную функцию на единичном интервале можно выразить как предел многочленов, поэтому любой класс функций, содержащий многочлены и замкнутый относительно пределов, обязательно будет включать все непрерывные функции.

Аналогичным образом, уравнение или система уравнений считаются имеющими решение в замкнутой форме тогда и только тогда, когда по крайней мере одно решение может быть выражено в виде выражения в замкнутой форме; и считается, что оно имеет аналитическое решение тогда и только тогда, когда хотя бы одно решение может быть выражено как аналитическое выражение. Существует тонкое различие между « функцией в замкнутой форме » и « числом в замкнутой форме » при обсуждении «решения в замкнутой форме», обсуждаемом в ( Chow 1999 ) и ниже . Замкнутое или аналитическое решение иногда называют явным решением .

Этот шаблон, возможно, содержит синтез материала, который достоверно не упоминает или не имеет отношения к основной теме. Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . ( Июнь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Работа с выражениями незамкнутой формы [ править ]

Преобразование в выражения закрытой формы [ править ]

Выражение:

${\ Displaystyle е (х) = \ сумма _ {я = 0} ^ {\ infty} {х \ более 2 ^ {я}}}$

не в закрытом виде, потому что суммирование влечет за собой бесконечное количество элементарных операций. Однако, суммируя геометрический ряд, это выражение можно выразить в замкнутой форме: ^[1]

${\ displaystyle f (x) = 2x.}$

Дифференциальная теория Галуа [ править ]

Интеграл выражения в замкнутой форме может сам или не может быть выражен как выражение в замкнутой форме. Это исследование называется дифференциальной теорией Галуа по аналогии с алгебраической теорией Галуа.

Основная теорема дифференциальной теории Галуа принадлежит Джозефу Лиувиллю в 1830-х и 1840-х годах и поэтому называется теоремой Лиувилля .

Стандартный пример элементарной функции, первообразная которой не имеет выражения в замкнутой форме:

${\ displaystyle e ^ {- x ^ {2}},}$

одно первообразное которого является (с точностью до мультипликативной константы) функцией ошибок :

${\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0} ^ {x} e ^ {- t ^ {2}} \, dt .}$

Математическое моделирование и компьютерное моделирование [ править ]

Уравнения или системы, слишком сложные для замкнутых или аналитических решений, часто можно анализировать с помощью математического моделирования и компьютерного моделирования .

Номер закрытой формы [ править ]

Этот раздел может сбивать с толку или непонятно читателям . В частности, по мере написания раздела кажется, что числа Лиувилля и элементарные числа в точности совпадают. Помогите, пожалуйста, прояснить раздел . На странице обсуждения может быть обсуждение этого вопроса . ( Октябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Три подполя комплексных чисел C были предложены как кодирующие понятие «числа в замкнутой форме»; в порядке возрастания общности это числа Лиувилля (не путать с числами Лиувилля в смысле рационального приближения), числа EL и элементарные числа . В Liouvillian номера , обозначаемые L , образуют наименьшее алгебраически замкнутое подполе C замкнут относительно экспоненциации и логарифмом (формально, пересечение всех таких подполей) , то есть числа , которые включают явное возведение в степень и логарифмы, но позволяют явным и неявныммногочлены (корни многочленов); это определено в ( Ritt 1948 , стр. 60). Первоначально L называлось элементарными числами , но теперь этот термин используется более широко для обозначения чисел, определенных явно или неявно в терминах алгебраических операций, экспонент и логарифмов. Более узкое определение, предложенное в ( Chow 1999 , стр. 441–442), обозначенное E и называемое числами EL , представляет собой наименьшее подполе C, замкнутое относительно возведения в степень и логарифма - это не обязательно должно быть алгебраически замкнутым и соответствует явномуалгебраические, экспоненциальные и логарифмические операции. «EL» означает «экспоненциально-логарифмический» и аббревиатуру «элементарный».

Является ли число числом замкнутой формы, зависит от того, является ли число трансцендентным . Формально числа Лиувилля и элементарные числа содержат алгебраические числа , и они включают некоторые, но не все трансцендентные числа. Напротив, числа EL не содержат всех алгебраических чисел, но включают некоторые трансцендентные числа. Числа в замкнутой форме можно изучать с помощью трансцендентной теории чисел , в которой основным результатом является теорема Гельфонда – Шнайдера , а основным открытым вопросом является гипотеза Шануэля .

Численные вычисления [ править ]

Для численных вычислений, быть в закрытой форме, как правило, не обязательно, так как многие пределы и интегралы могут быть эффективно вычислены.

Преобразование из числовых форм [ править ]

Существует программное обеспечение, которое пытается найти выражения в замкнутой форме для числовых значений, включая RIES ^[2], идентификацию в Maple ^[3] и SymPy , ^[4] инвертор Плуфа ^[5] и калькулятор обратных символов . ^[6]

См. Также [ править ]

• Алгебраическое решение
• Финитарная операция
• Численное решение
• Компьютерное моделирование
• Символическая регрессия
• Срок (логика)
• Функция Лиувилля
• Элементарная функция

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Ритт, Дж. Ф. (1948), Интегрирование в конечных терминах
• Чоу, Тимоти Ю. (май 1999 г.), «Что такое число в закрытой форме?», American Mathematical Monthly , 106 (5): 440–448, arXiv : math / 9805045 , doi : 10.2307 / 2589148 , JSTOR  2589148
• Джонатан М. Борвейн и Ричард Э. Крэндалл (январь 2013 г.), «Закрытые формы: что они собой представляют и почему мы заботимся», Уведомления Американского математического общества , 60 (1): 50–65, doi : 10.1090 / noti936

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик У. «Закрытое решение» . MathWorld .