Обратные гиперболические функции

Луч, проходящий через единичную гиперболу в точке , где вдвое больше площади между лучом, гиперболой и осью.${\ Displaystyle \ scriptstyle х ^ {2} \ - \ y ^ {2} \ = \ 1}$${\ Displaystyle \ scriptstyle (\ сп \, а, \, \ зп \, а)}$${\ displaystyle \ scriptstyle a}$${\ displaystyle \ scriptstyle x}$

Обратные гиперболические функции

В математике , то обратные гиперболические функции являются обратными функциями этих гиперболических функций .

Для данного значения гиперболической функции соответствующая обратная гиперболическая функция обеспечивает соответствующий гиперболический угол . Размер гиперболического угла равен площади соответствующего гиперболического сектора гиперболы xy = 1 , или в два раза больше площади соответствующего сектора единичной гиперболы x ² - y ² = 1 , точно так же, как круговой угол в два раза больше. площадь кругового сектора на единичной окружности . Некоторые авторы назвали обратные гиперболические функции " функциями площади".«реализовать гиперболические углы. ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]]}

Гиперболические функции встречаются при вычислении углов и расстояний в гиперболической геометрии . Это также происходит в решениях многих линейных дифференциальных уравнений (таких как уравнение, определяющее цепную связь ), кубических уравнений и уравнения Лапласа в декартовых координатах . Уравнения Лапласа важны во многих областях физики , включая теорию электромагнетизма , теплопередачу , гидродинамику и специальную теорию относительности .

Обозначение [ править ]

Наиболее распространены сокращения, указанные в стандарте ISO 80000-2 . Они состоят из ар- и аббревиатуры соответствующей гиперболической функции (например, арсинх, аркош).

Тем не менее, дуговой следует соответствующей гиперболической функция (например, arcsinh, arccosh) также часто наблюдается, по аналогии с номенклатурой для обратных тригонометрических функций . ^[9] Это неправильное употребление, поскольку префикс arc - это сокращение от arcus , а префикс ar обозначает площадь ; гиперболические функции не имеют прямого отношения к дугам. ^{[10] [11] [12]}

Другие авторы предпочитают использовать обозначения arg sinh, argcosh, argtanh и т. Д., Где префикс arg является сокращением латинского argumentsum . ^[13] В информатике это часто сокращается до asinh .

Обозначения sinh ⁻¹ ( x ) , ch ⁻¹ ( x ) и т. Д. Также используются, ^{[14] [15] [16] [17],} несмотря на то, что необходимо соблюдать осторожность, чтобы избежать неправильной интерпретации верхнего индекса - 1 как степень, в отличие от сокращения для обозначения обратной функции (например, ch − ¹ ( x ) по сравнению с ch ( x ) ⁻¹ ).

Определения в терминах логарифмов [ править ]

Поскольку гиперболические функции являются рациональными функциями от e ^x , числитель и знаменатель которых имеют степень не выше двух, эти функции могут быть решены в терминах e ^x , используя формулу корней квадратного уравнения ; затем, взяв натуральный логарифм, получаем следующие выражения для обратных гиперболических функций.

Для сложных аргументов обратные гиперболические функции, квадратный корень и логарифм являются многозначными функциями , а равенства следующих подразделов можно рассматривать как равенства многозначных функций.

Для всех обратных гиперболических функций (за исключением обратного гиперболического котангенса и обратного гиперболического косеканса) область определения действительной функции является связной .

Обратный гиперболический синус [ править ]

Обратный гиперболический синус (он же гиперболический синус с площадью) (лат.: Area sinus hyperbolicus ): ^{[14] [15]}

${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}$

Домен - это целая реальная линия .

Обратный гиперболический косинус [ править ]

Обратный гиперболический косинус (также известный как гиперболический косинус площади ) (лат. Area cosinus hyperbolicus ): ^{[14] [15]}

${\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}$

Область - отрезок [1, + ∞) .

Обратный гиперболический тангенс [ править ]

Обратный гиперболический тангенс (он же реальный гиперболический тангенс ) (лат. Area tangens hyperbolicus ): ^[15]

${\displaystyle \operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}$

Область - это открытый интервал (−1, 1) .

Обратный гиперболический котангенс [ править ]

Обратный гиперболический котангенс (он же гиперболический котангенс площади ) (лат. Area cotangens hyperbolicus ):

${\displaystyle \operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)}$

Область представляет собой объединение открытых интервалов (−∞, −1) и (1, + ∞) .

Обратный гиперболический секанс [ править ]

Обратный гиперболический секанс (он же гиперболический секанс площади ) (лат. Area secans hyperbolicus ):

${\displaystyle \operatorname {arsech} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)}$

Область представляет собой полуоткрытый интервал (0, 1) .

Обратный гиперболический косеканс [ править ]

Обратный гиперболический косеканс (также известный как гиперболический косеканс площади ) (лат. Area cosecans hyperbolicus ):

${\displaystyle \operatorname {arcsch} x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)}$

Домен - это реальная линия с удаленным 0.

Формулы сложения [ править ]

${\displaystyle \operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}$

Другие личности [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ for }}x\geq 0\end{aligned}}}$

${\displaystyle \ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)}$

Состав гиперболических и обратных гиперболических функций [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}}$

Состав обратных гиперболических и тригонометрических функций [ править ]

${\displaystyle \operatorname {arsinh} \left(\tan \alpha \right)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha \right)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }}\right)}$

${\displaystyle \ln \left(\left|\tan \alpha \right|\right)=-\operatorname {artanh} \left(\cos 2\alpha \right)}$^[18]

Конверсии [ править ]

${\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)\right|}$

Производные [ править ]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ for all real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ for all real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ for all real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ for all real }}x{\text{, except }}0\\\end{aligned}}}$

Для примера дифференцирования: пусть θ = arsinh x , поэтому (где sinh ² θ = (sinh θ ) ² ):

${\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsinh} x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sinh \theta }}={\frac {1}{\cosh \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}$

Расширения серий [ править ]

Ряд расширения может быть получен для вышеуказанных функций:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}$

Асимптотическое разложение для arsinh x дается выражением

${\displaystyle \operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}$

Основные значения в комплексной плоскости [ править ]

Как функции комплексной переменной обратные гиперболические функции являются многозначными функциями, которые являются аналитическими , за исключением конечного числа точек. Для такой функции обычно определяют главное значение , которое представляет собой однозначную аналитическую функцию, которая совпадает с одной конкретной ветвью многозначной функции, в области, состоящей из комплексной плоскости, в которой конечное число дуг (обычно половина линии или сегменты ) были удалены. Эти дуги называются сечениями ветвей.. Для указания ветви, то есть определения того, какое значение многозначной функции рассматривается в каждой точке, обычно определяют ее в конкретной точке и выводят значение повсюду в области определения главного значения путем аналитического продолжения . По возможности лучше определять главное значение напрямую, не обращаясь к аналитическому продолжению.

Например, для квадратного корня главное значение определяется как квадратный корень с положительной действительной частью . Это определяет однозначную аналитическую функцию, которая определена везде, за исключением неположительных действительных значений переменных (где два квадратных корня имеют нулевую действительную часть). Это главное значение функции квадратного корня обозначается ниже. Точно так же главное значение логарифма, обозначаемое ниже, определяется как значение, для которого мнимая часть имеет наименьшее абсолютное значение. Он определен везде, кроме неположительных действительных значений переменной, для которых два разных значения логарифма достигают минимума.${\displaystyle {\sqrt {x}}}$${\displaystyle \operatorname {Log} }$

Для всех обратных гиперболических функций главное значение может быть определено в терминах главных значений квадратного корня и функции логарифма. Однако в некоторых случаях формулы из § Определения в терминах логарифмов не дают правильного главного значения, поскольку дают область определения, которая слишком мала и, в одном случае, не связана .

Главное значение обратного гиперболического синуса [ править ]

Главное значение обратного гиперболического синуса определяется выражением

${\displaystyle \operatorname {arsinh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,)\,.}$

Аргумент квадратного корня является неположительным действительным числом тогда и только тогда, когда z принадлежит одному из интервалов [ i , + i ∞) и (- i ∞, - i ] мнимой оси. Если аргумент логарифм действительный, тогда он положительный. Таким образом, эта формула определяет главное значение для arsinh с отрезками ветвей [ i , + i ∞) и (- i ∞, - i ] . Это оптимально, поскольку разрезы ветвей должны соединять особые точки i и - i на бесконечность.

Главное значение обратного гиперболического косинуса [ править ]

Формула для обратного гиперболического косинуса, приведенная в § Обратный гиперболический косинус, неудобна, поскольку, как и в случае с основными значениями логарифма и квадратного корня, главное значение arcosh не будет определено для мнимого z . Таким образом, квадратный корень необходимо разложить на множители, что приведет к

${\displaystyle \operatorname {arcosh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,)\,.}$

Оба главных значения квадратных корней определены, за исключением случая, когда z принадлежит действительному интервалу (−∞, 1] . Если аргумент логарифма действительный, то z действительный и имеет тот же знак. Таким образом, приведенная выше формула определяет главное значение arcosh вне действительного интервала (−∞, 1] , который, таким образом, является единственным разрезом ветви.

Основные значения обратного гиперболического тангенса и котангенса [ править ]

Формулы, приведенные в § Определения в терминах логарифмов, предлагают

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)\end{aligned}}}$

для определения главных значений обратного гиперболического тангенса и котангенса. В этих формулах аргумент логарифма действительный тогда и только тогда, когда z действительно. Для artanh этот аргумент находится в вещественном интервале (−∞, 0] , если z принадлежит либо (−∞, −1], либо [1, ∞) . Для arcoth аргумент логарифма находится в (−∞ , 0] , тогда и только тогда, когда z принадлежит вещественному интервалу [−1, 1] .

Следовательно, эти формулы определяют удобные главные значения, для которых сечения ветвей равны (−∞, −1] и [1, ∞) для обратного гиперболического тангенса и [−1, 1] для обратного гиперболического котангенса.

Ввиду лучшей численной оценки вблизи сечений ветвей некоторые авторы ^{[ необходима цитата ]} используют следующие определения главных значений, хотя второе вводит устранимую особенность при z = 0 . Два определения различаются для реальных значений с . Для реальных значений с различаются .${\displaystyle \operatorname {artanh} }$${\displaystyle z}$${\displaystyle z>1}$${\displaystyle \operatorname {arcoth} }$${\displaystyle z}$${\displaystyle z\in [0,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+z}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-z}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1+{\frac {1}{z}}}\right)-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({1-{\frac {1}{z}}}\right)\end{aligned}}}$

Главное значение обратного гиперболического косеканса [ править ]

Для обратного гиперболического косеканса главное значение определяется как

${\displaystyle \operatorname {arcsch} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right)}$.

Он определяется, когда аргументы логарифма и квадратного корня не являются неположительными действительными числами. Таким образом, главное значение квадратного корня определяется за пределами интервала [- i , i ] мнимой прямой. Если аргумент логарифма действительный, то z - ненулевое действительное число, и это означает, что аргумент логарифма положительный.

Таким образом, главное значение определяется по приведенной выше формуле вне отрезка ветви , состоящего из интервала [- i , i ] воображаемой прямой.

При z = 0 есть особая точка, которая входит в разрез ветви.

Главное значение обратного гиперболического секанса [ править ]

Здесь, как и в случае обратного гиперболического косинуса, мы должны факторизовать квадратный корень. Это дает главное значение

${\displaystyle \operatorname {arsech} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\right).}$

Если аргумент квадратного корня вещественный, то z вещественно, и отсюда следует, что определены оба главных значения квадратных корней, за исключением случая, когда z вещественно и принадлежит одному из интервалов (−∞, 0] и [1, + ∞) . Если аргумент логарифма действительный и отрицательный, то z также действительный и отрицательный. Отсюда следует, что главное значение arsech корректно определяется приведенной выше формулой вне двух разрезов ветвей , вещественных интервалов (−∞, 0] и [1, + ∞) .

При z = 0 имеется особая точка, входящая в одно из сечений ветвления.

Графическое представление [ править ]

В следующем графическом представлении главных значений обратных гиперболических функций сечения ветвей выглядят как разрывы цвета. Тот факт, что все сечения ветвей выглядят как разрывы, показывает, что эти главные значения не могут быть расширены до аналитических функций, определенных для более крупных областей. Другими словами, определенные выше сечения ветвей минимальны.

${\displaystyle \operatorname {arcosh} (z)}$

${\displaystyle \operatorname {artanh} (z)}$

${\displaystyle \operatorname {arcoth} (z)}$

${\displaystyle \operatorname {arsech} (z)}$

${\displaystyle \operatorname {arcsch} (z)}$

Обратные гиперболические функции в комплексной z-плоскости: цвет в каждой точке плоскости представляет комплексное значение соответствующей функции в этой точке.

См. Также [ править ]

• Комплексный логарифм
• Распределение гиперболического секанса
• ISO 80000-2
• Список интегралов обратных гиперболических функций

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

• Герберт Буземанн и Пол Дж. Келли (1953) Проективная геометрия и проективные метрики , стр. 207, Academic Press .

Внешние ссылки [ править ]

• "Обратные гиперболические функции" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]