Контактная сеть

Цепь висит от точек образует цепную линию.

Свободно свисающие воздушные линии электропередач также образуют контактную сеть (наиболее заметно на высоковольтных линиях и с некоторыми дефектами рядом с изоляторами ).

Шелк на паутине образует несколько эластичных цепей.

В физике и геометрии , в контактной сети ( США : / к æ т ən ɛr я / , Великобритания : / к ə т я п ər я / ) является кривой , что идеализированный висит цепь или трос принимает под своим собственным весом , когда поддерживается только на его концах.

Линия цепи имеет U-образную форму, внешне похожа на параболическую арку , но не является параболой .

Кривая появляется в конструкции некоторых типов арок и как поперечное сечение катеноида - формы, которую принимает мыльная пленка, ограниченная двумя параллельными круговыми кольцами.

Контактная сеть также называют alysoid , chainette , ^[1] , или, в частности , в материалах наук, фуникулер . ^[2] Канатная статика описывает контактные сети в классической задаче статики, связанной с подвешенным канатом. ^[3]

Математически цепная кривая - это график функции гиперболического косинуса . Поверхность вращения цепной линии кривой, то катеноид , является минимальной поверхностью , конкретно минимальная поверхность вращения . Подвешенная цепь примет форму с наименьшей потенциальной энергией, которая является контактной цепью. ^[4] Математические свойства контактной кривой были впервые изучены Робертом Гуком в 1670-х годах, а ее уравнение было выведено Лейбницем , Гюйгенсом и Иоганном Бернулли в 1691 году.

Контактные линии и связанные кривые используются в архитектуре и технике (например, при проектировании мостов и арок, чтобы силы не приводили к изгибающим моментам). В морской нефтегазовой отрасли термин «цепная цепь» относится к стальному стояку цепной линии , трубопроводу, подвешенному между производственной платформой и морским дном, который принимает приблизительную форму цепной линии. В железнодорожной отрасли это относится к воздушной проводке, по которой мощность передается на поезда. (Это часто поддерживает более легкий контактный провод, и в этом случае он не следует истинной кривой цепи.)

В оптике и электромагнетизме функции гиперболического косинуса и синуса являются основными решениями уравнений Максвелла. ^[5] Симметричные моды, состоящие из двух затухающих волн , образуют цепную форму. ^{[6] [7] [8]}

История [ править ]

Слово «цепочка» происходит от латинского слова catēna , что означает « цепь ». Английское слово «кривая» обычно приписывается Томасу Джефферсону , ^{[9] [10]} , который написал в письме Томаса Пейна о строительстве арки для моста:

Недавно я получил из Италии трактат аббата Маскерони о равновесии арок. Похоже, это очень научная работа. Я еще не успел этим заняться; но я считаю, что выводы его демонстраций таковы, что каждая часть цепочки находится в идеальном равновесии. ^[11]

Часто говорят ^[12], что Галилей считал кривую подвешенной цепи параболической. В своих « Двух новых науках» (1638) Галилей говорит, что висячий шнур является приблизительной параболой, и он правильно отмечает, что это приближение улучшается по мере уменьшения кривизны и становится почти точным, когда угол места меньше 45 °. ^[13] То, что кривая, за которой следует цепь, не является параболой, было доказано Иоахимом Юнгиусом (1587–1657); этот результат был опубликован посмертно в 1669 году ^[12].

Применение цепной линии в строительстве арок приписывается Роберту Гуку , чья «истинная математическая и механическая форма» в контексте восстановления собора Святого Павла намекала на цепную линию. ^[14] Некоторые гораздо более старые арки являются приблизительными цепями, примером которых является Арка Таки Кисра в Ктесифоне . ^[15]

В 1671 году Гук объявил Королевскому обществу, что он решил проблему оптимальной формы арки, и в 1675 году опубликовал зашифрованное решение в виде латинской анаграммы ^[16] в приложении к своему описанию гелиоскопов, ^[17] где он писал, что нашел «истинную математическую и механическую форму всевозможных арок для строительства». Он не публиковал решение этой анаграммы ^[18] при своей жизни, но в 1705 году его исполнитель представил его как ut pendet continum flexile, sic stabit contiguum strictum inversum , что означает: «Как висит гибкий кабель, так и перевернутые, выдерживайте соприкасающиеся части. арки ".

В 1691 году Готфрид Лейбниц , Христиан Гюйгенс и Иоганн Бернулли вывели уравнение в ответ на вызов Якоба Бернулли ; ^[12] их решения были опубликованы в Acta Eruditorum за июнь 1691 года. ^{[19] [20]} Дэвид Грегори написал трактат о цепной линии в 1697 году ^{[12] [21],} в котором он предоставил неправильный вывод правильного дифференциального уравнения. ^[20]

Эйлер доказал в 1744 году, что цепная линия - это кривая, которая при повороте вокруг оси x дает поверхность с минимальной площадью поверхности ( катеноид ) для данных ограничивающих кругов. ^[1] Николас Фасс дал уравнения, описывающие равновесие цепи под действием любой силы в 1796 году. ^[22]

Перевернутая цепная арка [ править ]

Линейные арки часто используются при строительстве печей . Чтобы создать желаемую кривую, форма подвесной цепи желаемых размеров преобразуется в форму, которая затем используется в качестве ориентира для укладки кирпичей или другого строительного материала. ^{[23] [24]}

Gateway Arch в Сент - Луисе, штат Миссури , США иногда говорят , чтобы быть (перевернутый) контактной сети, но это неверно. ^[25] Она близка к более общей кривой, называемой плоской цепной линией, с уравнением y = A  ch ( Bx ) , которая является цепной линией, если AB = 1 . В то время как цепная цепь является идеальной формой для отдельно стоящей арки постоянной толщины, арка Gateway Arch более узкая в верхней части. Согласно номинации « Национальный исторический памятник США », арка представляет собой « взвешенную цепную связь»."вместо этого. Его форма соответствует форме утяжеленной цепи, имеющей более легкие звенья посередине. ^{[26] [27]}

• Цепной ^[28] арки под крышей Гауди «s Каса Мила , Барселона , Испания.

• Sheffield Зимний сад окружен серией катенарных арок . ^[29]

• Gateway Arch (глядя на востоке) представляет собой сплющенную контактную сеть.

• Обжиговая печь с цепной аркой строится поверх временной формы

• Поперечный разрез крыши железнодорожного вокзала Келети (Будапешт, Венгрия)

• Поперечное сечение крыши железнодорожного вокзала Келети образует контактную сеть.

Контактные мосты [ править ]

В свободно висящих цепях прилагаемая сила одинакова по длине цепи, поэтому цепь следует по кривой цепи. ^[30] То же самое и с простым подвесным мостом или «цепным мостом», где проезжая часть следует за тросом. ^{[31] [32]}

Подчеркнута лента мост является более сложной структурой с одной и той же формой провеса. ^{[33] [34]}

Однако в подвесном мосту с подвесной проезжей частью цепи или тросы выдерживают вес моста и поэтому не свешиваются свободно. В большинстве случаев проезжая часть является плоской, поэтому, когда вес кабеля незначителен по сравнению с поддерживаемым весом, прилагаемая сила одинакова по отношению к горизонтальному расстоянию, и в результате получается парабола , как обсуждается ниже (хотя термин " catenary "все еще часто используется в неформальном смысле"). Если кабель тяжелый, то результирующая кривая находится между цепной линией и параболой. ^{[35] [36]}

Якорная стоянка морских объектов [ править ]

Контактная цепь, создаваемая силой тяжести, дает преимущество тяжелым анкерным стержням . Якорный стержень (или якорный трос) обычно состоит из цепи, троса или того и другого. Якорные стержни используются судами, нефтяными вышками, доками, плавучими ветряными турбинами и другим морским оборудованием, которое должно быть закреплено на морском дне.

Когда канат провисает, изгиб цепной линии представляет меньший угол натяжения якоря или швартовного устройства, чем было бы в случае, если бы он был почти прямым. Это улучшает характеристики якоря и повышает уровень силы, которой он будет сопротивляться перед перетаскиванием. Чтобы поддерживать форму цепной линии при наличии ветра, необходима тяжелая цепь, так что только более крупные корабли на более глубокой воде могут полагаться на этот эффект. Лодки меньшего размера также полагаются на контактную сеть для поддержания максимальной удерживающей способности. ^[37]

Математическое описание [ править ]

Уравнение [ править ]

Уравнение контактной сети в декартовых координатах имеет вид ^[35]

${\ displaystyle y = a \ cosh \ left ({\ frac {x} {a}} \ right) = {\ frac {a} {2}} \ left (e ^ {\ frac {x} {a}} + e ^ {- {\ frac {x} {a}}} \ right)}$

где ch - функция гиперболического косинуса , а x отсчитывается от самой низкой точки. ^[38] Все цепные линии похожи друг на друга; изменение параметра a эквивалентно равномерному масштабированию кривой. ^[39]

Уравнение Уэвелла для цепной связи имеет вид ^[35]

${\ displaystyle \ tan \ varphi = {\ frac {s} {a}} \ ,.}$

Дифференциация дает

${\ displaystyle {\ frac {d \ varphi} {ds}} = {\ frac {\ cos ^ {2} \ varphi} {a}}}$

а исключение φ дает уравнение Чезаро ^[40]

${\ displaystyle \ kappa = {\ frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}} \ ,.}$

Радиус кривизны затем

${\ Displaystyle \ Rho = а \ сек ^ {2} \ varphi}$

которая представляет собой длину линии, перпендикулярной кривой между ней и осью x . ^[41]

Связь с другими кривыми [ править ]

Когда парабола катится по прямой, кривая рулетки, очерченная ее фокусом, является цепной линией . ^[42] конверт из директрисы параболы также контактная сеть. ^[43] эвольвентный от вершины, то есть в рулетке формируется прослежена точкой , начиная с вершиной , когда линия прокатывают на контактной сети, является трактрисой . ^[42]

Еще одна рулетка, образованная катанием линии по цепочке, представляет собой другую линию. Это означает, что квадратные колеса могут идеально плавно катиться по дороге, состоящей из серии неровностей в форме перевернутой цепной линии. Колеса могут быть любым правильным многоугольником, кроме треугольника, но параметры цепи должны соответствовать форме и размерам колес. ^[44]

Геометрические свойства [ править ]

На любом интервале по горизонтали отношение площади под контактной цепью к ее длине равно a , независимо от выбранного интервала. Контактная линия - это единственная плоская кривая, кроме горизонтальной линии с этим свойством. Кроме того, геометрический центр тяжести области под отрезком цепной линии - это середина перпендикулярного сегмента, соединяющего центр тяжести самой кривой и ось x . ^[45]

Наука [ править ]

Движущийся заряд в однородном электрическом поле движется по цепной цепи (которая стремится к параболе, если скорость заряда намного меньше скорости света c ). ^[46]

Поверхность вращения с фиксированными радиусами на обоих концах , который имеет минимальную площадь поверхности является контактной вращались о й Оу. ^[42]

Анализ [ править ]

Модель цепей и арок [ править ]

В математической модели цепь (или шнур, трос, веревка, веревка и т. Д.) Идеализируется, предполагая, что она настолько тонкая, что ее можно рассматривать как кривую, и что она настолько гибка, что любая сила натяжения, прилагаемая цепью. параллельно цепи. ^[47] Анализ кривой для оптимальной дуги аналогичен, за исключением того, что силы растяжения становятся силами сжатия, и все инвертируется. ^[48] Основополагающий принцип состоит в том, что цепь может считаться твердым телом, когда она достигла равновесия. ^[49]Уравнения, которые определяют форму кривой и натяжение цепи в каждой точке, могут быть получены путем тщательной проверки различных сил, действующих на сегмент, с учетом того факта, что эти силы должны быть уравновешены, если цепь находится в статическом равновесии .

Пусть путь, по которому следует цепочка, задается параметрически как r = ( x , y ) = ( x ( s ), y ( s )), где s представляет длину дуги, а r - вектор положения . Это естественная параметризация, обладающая тем свойством, что

${\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {r}} {ds}} = \ mathbf {u}}$

где u - единичный касательный вектор .

Дифференциальное уравнение для кривой может быть получена следующим образом . ^[50] Пусть c будет самой низкой точкой цепи, называемой вершиной цепочки. ^[51] Наклонdy/dxкривой равна нулю в точке C, поскольку это точка минимума. Предположим, что r находится справа от c, поскольку другой случай подразумевается симметрией. Силы, действующие на участок цепи от c до r, представляют собой натяжение цепи в точке c , натяжение цепи в точке r и вес цепи. Натяжение в точке c касается кривой в точке c и, следовательно, является горизонтальным без какой-либо вертикальной составляющей, и оно смещает секцию влево, так что можно записать ( -T ₀ , 0), где T ₀ - величина силы. Напряжение при rпараллельна кривой в точке r и тянет секцию вправо. Натяжение в точке r можно разделить на две составляющие, так что можно записать T u = ( T cos φ , T sin φ ) , где T - величина силы, а φ - угол между кривой в r и x - ось (см. тангенциальный угол ). Наконец, вес цепи представлен как (0, - λgs ), где λ - масса на единицу длины, г- ускорение свободного падения, а s - длина отрезка цепи между c и r .

Цепь находится в равновесии, поэтому сумма трех сил равна 0 , поэтому

${\ Displaystyle Т \ соз \ varphi = Т_ {0}}$

и

${\ displaystyle T \ sin \ varphi = \ lambda gs \ ,,}$

и деление этих дает

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ tan \ varphi = {\ frac {\ lambda gs} {T_ {0}}} \ ,.}$

Удобно писать

${\ displaystyle a = {\ frac {T_ {0}} {\ lambda g}}}$

которая представляет собой длину цепи, вес которой на Земле равен по величине натяжению в точке c . ^[52] Тогда

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {s} {a}}}$

- уравнение, определяющее кривую.

Горизонтальная составляющая натяжения T cos φ = T ₀ постоянна, а вертикальная составляющая натяжения T sin φ = λgs пропорциональна длине цепи между r и вершиной. ^[53]

Вывод уравнений для кривой [ править ]

Приведенное выше дифференциальное уравнение можно решить, чтобы получить уравнения для кривой. ^[54]

Из

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {s} {a}} \ ,,}$

формула для длины дуги дает

${\displaystyle {\frac {ds}{dx}}={\sqrt {1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {a^{2}+s^{2}}}{a}}\,.}$

потом

${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{\frac {ds}{dx}}}={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}}$

и

${\displaystyle {\frac {dy}{ds}}={\frac {\frac {dy}{dx}}{\frac {ds}{dx}}}={\frac {s}{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}\,.}$

Второе из этих уравнений можно проинтегрировать, чтобы получить

${\displaystyle y={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}+\beta }$

и сдвигая положение оси x , можно принять β равным 0. Тогда

${\displaystyle y={\sqrt {a^{2}+s^{2}}}\,,\quad y^{2}=a^{2}+s^{2}\,.}$

Х -Axis , таким образом , выбирают называются директрисой контактной сети.

Отсюда следует, что величина натяжения в точке ( x , y ) равна T = λgy , что пропорционально расстоянию между точкой и направляющей. ^[53]

Интеграл выражения для dx/dsможно найти, используя стандартные методы , давая ^[55]

${\displaystyle x=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {s}{a}}\right)+\alpha \,.}$

и, опять же, сдвигая положение оси y , α можно принять равным 0. Тогда

${\displaystyle x=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {s}{a}}\right)\,,\quad s=a\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}$

У -Axis , таким образом , выбирают проходит через вершину и называется осью цепной линии.

Эти результаты могут быть использованы для устранения s даяния

${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}$

Альтернативное происхождение [ править ]

Дифференциальное уравнение можно решить, используя другой подход. ^[56] От

${\displaystyle s=a\tan \varphi }$

следует, что

${\displaystyle {\frac {dx}{d\varphi }}={\frac {dx}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\cos \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\sec \varphi }$

и

${\displaystyle {\frac {dy}{d\varphi }}={\frac {dy}{ds}}{\frac {ds}{d\varphi }}=\sin \varphi \cdot a\sec ^{2}\varphi =a\tan \varphi \sec \varphi \,.}$

Интеграция дает,

${\displaystyle x=a\ln(\sec \varphi +\tan \varphi )+\alpha }$

и

${\displaystyle y=a\sec \varphi +\beta \,.}$

Как и раньше, оси x и y можно сдвинуть, так что α и β можно принять равными 0. Тогда

${\displaystyle \sec \varphi +\tan \varphi =e^{\frac {x}{a}}\,,}$

и принимая взаимность обеих сторон

${\displaystyle \sec \varphi -\tan \varphi =e^{-{\frac {x}{a}}}\,.}$

Сложение и вычитание последних двух уравнений дает решение

${\displaystyle y=a\sec \varphi =a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)\,,}$

и

${\displaystyle s=a\tan \varphi =a\sinh \left({\frac {x}{a}}\right)\,.}$

Определение параметров [ править ]

Обычно параметр a - это положение оси. Уравнение в этом случае можно определить следующим образом: ^[57]

При необходимости измените метку так, чтобы точка P ₁ находилась слева от точки P _2, и пусть H будет горизонтальным, а v - вертикальным расстоянием от точки P ₁ до точки P ₂ . Переместите оси так, чтобы вершина контактной сети лежала на оси y, а ее высота a была настроена так, чтобы контактная линия удовлетворяла стандартному уравнению кривой

${\displaystyle y=a\cosh \left({\frac {x}{a}}\right)}$

и пусть координаты P ₁ и P ₂ равны ( x ₁ , y ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ ) соответственно. Кривая проходит через эти точки, поэтому разница в высоте составляет

${\displaystyle v=a\cosh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\cosh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}$

а длина кривой от P ₁ до P ₂ равна

${\displaystyle s=a\sinh \left({\frac {x_{2}}{a}}\right)-a\sinh \left({\frac {x_{1}}{a}}\right)\,.}$

Когда s ² - v ² раскрывается с использованием этих выражений, результат

${\displaystyle s^{2}-v^{2}=2a^{2}\left(\cosh \left({\frac {x_{2}-x_{1}}{a}}\right)-1\right)=4a^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {H}{2a}}\right)\,,}$

так

${\displaystyle {\sqrt {s^{2}-v^{2}}}=2a\sinh \left({\frac {H}{2a}}\right)\,.}$

Это трансцендентное уравнение в a, и его необходимо решать численно . С помощью методов исчисления ^[58] можно показать, что существует не более одного решения с a > 0 и, следовательно, существует не более одного положения равновесия.

Однако, если оба конца кривой ( P ₁ и P ₂ ) находятся на одном уровне ( y ₁ = y ₂ ), можно показать, что ^[59]

${\displaystyle a={\frac {{\frac {1}{4}}L^{2}-h^{2}}{2h}}\,}$

где L - общая длина кривой между P ₁ и P _2, а h - прогиб (расстояние по вертикали между P ₁ , P ₂ и вершиной кривой).

Также можно показать, что

${\displaystyle L=2a\sinh {\frac {H}{2a}}\,}$

и

${\displaystyle H=2a\operatorname {arcosh} {\frac {h+a}{a}}\,}$

где H - горизонтальное расстояние между точками P ₁ и P _2, которые расположены на одном уровне ( H = x ₂ - x ₁ ).

Горизонтальная тяговая сила в точках P ₁ и P ₂ равна T _H = aw , где w - масса на единицу длины цепи или кабеля.

Обобщения с вертикальной силой [ править ]

Неоднородные цепи [ править ]

Если плотность цепи переменная, то приведенный выше анализ можно адаптировать для получения уравнений для кривой с учетом плотности или с учетом кривой для определения плотности. ^[60]

Пусть w обозначает вес единицы длины цепи, тогда вес цепи имеет величину

${\displaystyle \int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}$

где пределы интегрирования - c и r . Уравновешивающие силы, как в единой цепи, создают

${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}}$

и

${\displaystyle T\sin \varphi =\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,,}$

и поэтому

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {1}{T_{0}}}\int _{\mathbf {c} }^{\mathbf {r} }w\,ds\,.}$

Тогда дифференциация дает

${\displaystyle w=T_{0}{\frac {d}{ds}}{\frac {dy}{dx}}={\frac {T_{0}{\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}}{\sqrt {1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}}}}\,.}$

С точки зрения φ и радиуса кривизны ρ это становится

${\displaystyle w={\frac {T_{0}}{\rho \cos ^{2}\varphi }}\,.}$

Кривая подвесного моста [ править ]

Аналогичный анализ можно провести, чтобы найти изгиб, за которым следует кабель, поддерживающий подвесной мост с горизонтальной проезжей частью. ^[61] Если вес проезжей части на единицу длины равен w, а вес кабеля и троса, поддерживающего мост, по сравнению с ним пренебрежимо мал, то вес троса (см. Рисунок в Catenary # Модель цепей и арок ) от c до r - это wx, где x - горизонтальное расстояние между c и r . Действуя, как прежде, получаем дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {w}{T_{0}}}x\,.}$

Это решается простой интеграцией, чтобы получить

${\displaystyle y={\frac {w}{2T_{0}}}x^{2}+\beta }$

и поэтому кабель следует параболе. Если весом кабеля и поддерживающих проводов нельзя пренебречь, анализ будет более сложным. ^[62]

Цепная цепь равной силы [ править ]

В цепной линии равной прочности кабель усиливается в соответствии с величиной натяжения в каждой точке, поэтому его сопротивление разрыву остается постоянным по всей длине. Предполагая, что прочность кабеля пропорциональна его плотности на единицу длины, вес w на единицу длины цепи можно записать в видеТ/c, где c - постоянная величина, и можно применить анализ для неоднородных цепей. ^[63]

В этом случае уравнения для натяжения имеют вид

${\displaystyle {\begin{aligned}T\cos \varphi &=T_{0}\,,\\T\sin \varphi &={\frac {1}{c}}\int T\,ds\,.\end{aligned}}}$

Комбинирование дает

${\displaystyle c\tan \varphi =\int \sec \varphi \,ds}$

и путем дифференциации

${\displaystyle c=\rho \cos \varphi }$

где ρ - радиус кривизны.

Решение этого -

${\displaystyle y=c\ln \left(\sec \left({\frac {x}{c}}\right)\right)\,.}$

В этом случае кривая имеет вертикальные асимптоты, и это ограничивает диапазон до π c . Другие отношения

${\displaystyle x=c\varphi \,,\quad s=\ln \left(\tan \left({\frac {\pi +2\varphi }{4}}\right)\right)\,.}$

Кривая была изучена в 1826 году Дэвисом Гилбертом и, по-видимому, независимо, Гаспаром-Гюставом Кориолисом в 1836 году.

Недавно было показано, что этот тип цепной линии может действовать как строительный блок электромагнитной метаповерхности и был известен как «цепная линия равного фазового градиента». ^[64]

Эластичная цепная цепь [ править ]

В упругой контактной цепи цепь заменена пружиной, которая может растягиваться в ответ на натяжение. Предполагается, что пружина растягивается в соответствии с законом Гука . В частности, если p - естественная длина секции пружины, то длина пружины с приложенным натяжением T имеет длину

${\displaystyle s=\left(1+{\frac {T}{E}}\right)p\,,}$

где E - постоянная, равная kp , где k - жесткость пружины. ^[65] В цепочке значение T является переменным, но соотношение остается действительным на локальном уровне, поэтому ^[66]

${\displaystyle {\frac {ds}{dp}}=1+{\frac {T}{E}}\,.}$

Кривая, за которой следует упругая пружина, теперь может быть получена аналогичным методом, что и для неупругой пружины. ^[67]

Уравнения для натяжения пружины:

${\displaystyle T\cos \varphi =T_{0}\,,}$

и

${\displaystyle T\sin \varphi =\lambda _{0}gp\,,}$

откуда

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {\lambda _{0}gp}{T_{0}}}\,,\quad T={\sqrt {T_{0}^{2}+\lambda _{0}^{2}g^{2}p^{2}}}\,,}$

где р является естественной длиной отрезки от С к р и Х ₀ масса на единицу длину пружины, без напряжения и г является ускорение силы тяжести. Написать

${\displaystyle a={\frac {T_{0}}{\lambda _{0}g}}}$

так

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=\tan \varphi ={\frac {p}{a}}\quad {\text{and}}\quad T={\frac {T_{0}}{a}}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}\,.}$

потом

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{ds}}&=\cos \varphi ={\frac {T_{0}}{T}}\\[6pt]{\frac {dy}{ds}}&=\sin \varphi ={\frac {\lambda _{0}gp}{T}}\,,\end{aligned}}}$

откуда

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dp}}&={\frac {T_{0}}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&=T_{0}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}}{E}}\\[6pt]{\frac {dy}{dp}}&={\frac {\lambda _{0}gp}{T}}{\frac {ds}{dp}}&&={\frac {T_{0}p}{a}}\left({\frac {1}{T}}+{\frac {1}{E}}\right)&&={\frac {p}{\sqrt {a^{2}+p^{2}}}}+{\frac {T_{0}p}{Ea}}\,.\end{aligned}}}$

Интегрирование дает параметрические уравнения

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p+\alpha \,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}+\beta \,.\end{aligned}}}$

Опять же, оси x и y можно сдвинуть, так что α и β можно принять равными 0. Итак.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\operatorname {arsinh} \left({\frac {p}{a}}\right)+{\frac {T_{0}}{E}}p\,,\\[6pt]y&={\sqrt {a^{2}+p^{2}}}+{\frac {T_{0}}{2Ea}}p^{2}\end{aligned}}}$

являются параметрическими уравнениями для кривой. В жестком пределе, когда E велико, форма кривой сводится к форме неупругой цепи.

Другие обобщения [ править ]

Цепь под общей силой [ править ]

Без каких-либо предположений относительно силы G, действующей на цепь, можно сделать следующий анализ. ^[68]

Во-первых, пусть T = T ( s ) - сила натяжения как функция s . Цепь гибкая, поэтому она может прилагать только параллельную себе силу. Поскольку натяжение определяется как сила, которую цепь оказывает на себя, Т должно быть параллельно цепи. Другими словами,

${\displaystyle \mathbf {T} =T\mathbf {u} \,,}$

где T - величина T, а u - единичный касательный вектор.

Во-вторых, пусть G = G ( s ) - внешняя сила на единицу длины, действующая на небольшой сегмент цепи, как функция s . Силы, действующие на сегмент цепи между s и s + Δ s, представляют собой силу натяжения T ( s + Δ s ) на одном конце сегмента, почти противоположную силу - T ( s ) на другом конце и внешняя сила, действующая на сегмент, приблизительно равна G Δ s . Эти силы должны уравновешиваться так

${\displaystyle \mathbf {T} (s+\Delta s)-\mathbf {T} (s)+\mathbf {G} \Delta s\approx \mathbf {0} \,.}$

Разделим на Δ s и возьмем предел при Δ s → 0, чтобы получить

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {T} }{ds}}+\mathbf {G} =\mathbf {0} \,.}$

Эти уравнения можно использовать в качестве отправной точки при анализе гибкой цепи, действующей под действием любой внешней силы. В случае стандартной контактной сети G = (0, - λg ), где цепь имеет массу λ на единицу длины, а g - ускорение свободного падения.

См. Также [ править ]

• Контактная арка
• Цепной фонтан или самосифонирующие бусины
• Воздушная контактная сеть - линии электропередач, подвешенные над рельсовым или трамвайным транспортом.
• Рулетка (кривая) - эллиптическая / гиперболическая цепь
• Troposkein - форма скрученной веревки
• Взвешенная контактная сеть

Заметки [ править ]

Библиография [ править ]

• Локвуд, EH (1961). «Глава 13: Трактрикс и цепная связь» . Книга кривых . Кембридж.
• Лосось, Джордж (1879). Кривые на высших плоскостях . Ходжес, Фостер и Фиггис. стр.  287 -289.
• Раус, Эдвард Джон (1891). «Глава X: О струнах» . Трактат по аналитической статике . University Press.
• Маурер, Эдвард Роуз (1914). «Ст. 26 Контактный кабель» . Техническая механика . J. Wiley & Sons.
• Лэмб, сэр Гораций (1897). «Статья 134 Трансцендентальные кривые; цепная связь, трактрикс» . Элементарный курс исчисления бесконечно малых . University Press.
• Тодхантер, Исаак (1858). "Гибкие струны XI. Неразъемные, XII гибкие струны. Расширяемые" . Трактат по аналитической статике . Макмиллан.
• Уэвелл, Уильям (1833). «Глава V: Равновесие гибкого тела» . Аналитическая статика . Дж. И Дж. Дж. Дейтон. п. 65.
• Вайстейн, Эрик В. "Контактная связь" . MathWorld .

Дальнейшее чтение [ править ]

• Свец, Франк (1995). Учитесь у Мастеров . MAA. С. 128–9. ISBN 978-0-88385-703-8.
• Вентуроли, Джузеппе (1822). «Глава XXIII: О цепной линии» . Элементы теории механики . Пер. Дэниел Крессвелл. Дж. Николсон и сын.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме " Контактная сеть" .

В Wikiquote есть цитаты, связанные с: Catenary

В Wikisource есть текст статьи Catenary из Британской энциклопедии 1911 года .

• О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. , "Catenary" , архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс.
• Catenary в PlanetMath .
• Калькулятор кривой контактной сети
• Контактная сеть в Центре геометрии
• "Catenary" в Визуальном словаре специальных плоских кривых
• Контактная сеть - цепи, арки и мыльные пленки.
• Калькулятор погрешности провисания кабеля - вычисляет отклонение от прямой линии цепной кривой и обеспечивает вывод калькулятора и справочных данных.
• Получены динамические, а также статические уравнения цетенарной кривой - выведены уравнения, определяющие форму (статический случай), а также динамику (динамический случай) столетней годовщины. Решение обсуждаемых уравнений.
• Прямая линия, цепная связь, брахистохрона, круг и Ферма. Единый подход к некоторым геодезическим.
• Ира Фриман "Общий вид контактной сети подвесного моста" Бюллетень AMS