Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Не путать с минимально рациональной поверхностью .
Геликоида минимальная поверхность образована мыльной пленки на спиральной раме

В математике , минимальная поверхность является поверхностью , которая локально минимизирует его площадь. Это эквивалентно нулевой средней кривизне (см. Определения ниже).

Термин «минимальная поверхность» используется потому, что эти поверхности изначально возникли как поверхности, которые минимизировали общую площадь поверхности с некоторыми ограничениями. Физические модели минимальных поверхностей с минимальной площадью можно создать, окунув проволочный каркас в мыльный раствор, образуя мыльную пленку , которая представляет собой минимальную поверхность, граница которой - проволочный каркас. Однако этот термин используется для более общих поверхностей, которые могут самопересекаться или не иметь ограничений. Для данного ограничения также может существовать несколько минимальных поверхностей с разными площадями (например, см. Минимальную поверхность вращения ): стандартные определения относятся только к локальному оптимуму , а не к глобальному оптимуму .

Определения [ править ]

Седловая башня минимальная поверхность. Хотя любое небольшое изменение поверхности увеличивает ее площадь, существуют другие поверхности с такой же границей и меньшей общей площадью.

Минимальные поверхности могут быть определены в R 3 несколькими эквивалентными способами . Тот факт, что они эквивалентны, служит демонстрацией того, как минимальная теория поверхностей лежит на перекрестке нескольких математических дисциплин, особенно дифференциальной геометрии , вариационного исчисления , теории потенциала , комплексного анализа и математической физики . [1]

Локальное определение наименьшей площади : поверхность M ⊂ R 3 минимальна тогда и только тогда, когда каждая точка p ∈ M имеет окрестность , ограниченную простой замкнутой кривой, которая имеет наименьшую площадь среди всех поверхностей с одинаковой границей.

Это свойство является локальным: на минимальной поверхности могут существовать области вместе с другими поверхностями меньшей площади, имеющими ту же границу. Это свойство устанавливает связь с мыльными пленками; мыльная пленка, деформированная, чтобы иметь проволочный каркас в качестве границы, уменьшит площадь.

Вариационное определение : поверхность M ⊂ R 3 минимальна тогда и только тогда, когда она является критической точкой функционала площади для всех вариаций с компактным носителем .

Это определение делает минимальные поверхности двумерным аналогом геодезических , которые аналогично определяются как критические точки функционала длины.

Плоскости минимальной кривизны поверхности. На минимальной поверхности кривизна по главным плоскостям кривизны одинакова и противоположна в каждой точке. Это делает среднюю кривизну равной нулю.
Определение средней кривизны : поверхность M ⊂ R 3 минимальна тогда и только тогда, когда ее средняя кривизна равна нулю во всех точках.

Прямое следствие этого определения состоит в том, что каждая точка на поверхности является седловой точкой с равной и противоположной главными кривизнами . Кроме того, это превращает минимальные поверхности в статические решения потока средней кривизны . Согласно уравнению Юнга – Лапласа , средняя кривизна мыльной пленки пропорциональна разнице давления между сторонами. Если мыльная пленка не закроет область, то ее средняя кривизна будет равна нулю. Напротив, сферический мыльный пузырь окружает область, давление которой отличается от давления во внешней области, и поэтому не имеет нулевой средней кривизны.

Определение дифференциального уравнения : поверхность M ⊂ R 3 минимальна тогда и только тогда, когда ее можно локально выразить как график решения

Парциальное дифференциальное уравнение в этом определении первоначально был найден в 1762 году Лагранжа , [2] и Жан Батист Менье обнаружил в 1776 , что подразумевает исчезающую среднюю кривизну. [3]

Определение энергии : конформное погружение X : M → R 3 является минимальным тогда и только тогда, когда оно является критической точкой энергии Дирихле для всех вариаций с компактным носителем, или, что то же самое, если любая точка p ∈ M имеет окрестность с наименьшей энергией относительно ее граница.

Это определение связывает минимальные поверхности с гармоническими функциями и теорией потенциала .

Гармоническое определение : если Х = ( х 1 , х 2 , х 3 ): М → R 3 представляет собой изометрическое погружение из римановой поверхности в 3-пространство, то Х называются минимальным , когда х я являюсь гармонической функцией на М для каждого i .

Прямым следствием этого определения и принципа максимума для гармонических функций является отсутствие компактных полных минимальных поверхностей в R 3 .

Определение отображения Гаусса : поверхность M ⊂ R 3 минимальна тогда и только тогда, когда ее стереографически спроецированное отображение Гаусса g : M → C ∪ {∞} мероморфно по отношению к основной структуре римановой поверхности , и M не является частью сферы. .

Это определение использует , что средняя кривизна равна половина следа от оператора формы , которая связана с производным отображением Гаусса. Если проецируемое отображение Гаусса подчиняется уравнениям Коши – Римана, то либо след обращается в нуль, либо каждая точка M является омбилической , в этом случае это кусок сферы.

Локальная наименьшая площадь и вариационные определения позволяют распространить минимальные поверхности на другие римановы многообразия, кроме R 3 .

История [ править ]

Теория минимальных поверхностей берет свое начало от Лагранжа, который в 1762 году рассмотрел вариационную задачу нахождения поверхности z = z ( x , y ) наименьшей площади, протянутой по заданному замкнутому контуру. Он вывел уравнение Эйлера – Лагранжа для решения

Ему не удалось найти никакого решения за пределами самолета. В 1776 году Жан Батист Мари Мюзнье обнаружил, что геликоид и катеноид удовлетворяют уравнению и что дифференциальное выражение соответствует удвоенной средней кривизне поверхности, заключив, что поверхности с нулевой средней кривизной минимизируют площадь.

Разложив уравнение Лагранжа до

Гаспар Монж и Лежандр в 1795 году вывели формулы представления поверхностей решений. Хотя они были успешно использованы Генрихом Шерком в 1830 году для создания своих поверхностей , они, как правило, считались практически непригодными для использования. Каталан доказал в 1842/43 году, что геликоид - единственная линейчатая минимальная поверхность.

Прогресс был довольно медленным до середины века, когда проблема Бьёрлинга была решена сложными методами. Начался «первый золотой век» минимальных поверхностей. Шварц нашел решение проблемы Плато для правильного четырехугольника в 1865 году и для общего четырехугольника в 1867 году (что позволило построить его периодические семейства поверхностей ), используя сложные методы. Вейерштрасс и Эннепер разработали более полезные формулы представления , прочно связав минимальные поверхности с комплексным анализом и гармоническими функциями.. Другой важный вклад внесли Бельтрами, Бонне, Дарбу, Ли, Риман, Серре и Вайнгартен.

Между 1925 и 1950 годами возродилась теория минимальных поверхностей, которая теперь в основном нацелена на непараметрические минимальные поверхности. Полное решение проблемы Плато Джесси Дугласом и Тибором Радо стало важной вехой. Проблема Бернштейна и работы Роберта Оссермана о полных минимальных поверхностях конечной полной кривизны также были важны.

Другое возрождение началось в 1980-х годах. Одной из причин было открытие в 1982 г. Селсо Коста поверхности , опровергающей гипотезу о том, что плоскость, катеноид и геликоид являются единственными полностью вложенными минимальными поверхностями конечного топологического типа в R 3 . Это не только стимулировало новую работу по использованию старых параметрических методов, но и продемонстрировало важность компьютерной графики для визуализации исследуемых поверхностей и численных методов для решения «проблемы периода» (при использовании метода сопряженных поверхностей для определения участков поверхности, которые могут быть собранные в большую симметричную поверхность, некоторые параметры должны быть численно согласованы для создания встроенной поверхности). Другой причиной была проверка Х. Керхером, чтоТрижды периодические минимальные поверхности, первоначально описанные эмпирически Аланом Шоном в 1970 г., действительно существуют. Это привело к появлению богатого набора семейств поверхностей и методов получения новых поверхностей из старых, например, путем добавления ручек или их искажения.

В настоящее время в теории минимальных поверхностей разнообразил до минимальных одмногообразий других внешних геометрий, становится отношение к математической физике (например, положительная масса гипотезы , то гипотеза Пенроуза ) и три-многообразие геометрии (например, гипотеза Смит , то гипотеза Пуанкаре , то Тёрстон Геометризация Гипотеза ).

Примеры [ править ]

Минимальная поверхность Косты

Классические примеры минимальных поверхностей включают:

  • плоскость , которая является тривиальным случаем
  • катеноиды : минимальные поверхности, образованные одним вращением цепи вокруг ее направляющей.
  • геликоиды : поверхность, охватываемая линией, вращающейся с постоянной скоростью вокруг оси, перпендикулярной линии, и одновременно движущейся вдоль оси с постоянной скоростью.

Поверхности золотого века XIX века включают:

  • Минимальные поверхности Шварца : трипериодические поверхности , заполняющие R 3
  • Минимальная поверхность Римана : посмертно описанная периодическая поверхность
  • поверхность Эннепера
  • поверхность Henneberg : первая неориентируемая минимальная поверхность
  • Минимальная поверхность Бура

Современные поверхности включают:

  • Gyroid : Одна из поверхностей 1970 Шоен, в трехкратно периодическая поверхность , представляет особый интерес для жидкокристаллической структуры
  • Седло башни семья: обобщения второй поверхности Шерки в
  • Минимальная поверхность Косты : опровержение знаменитой гипотезы. Описан в 1982 году Селсо Коста, а затем визуализирован Джимом Хоффманом . Затем Джим Хоффман, Дэвид Хоффман и Уильям Микс III расширили это определение, чтобы создать семейство поверхностей с различными симметриями вращения.
  • семейство поверхностей Чена – Гакстаттера , добавляющее ручки к поверхности Эннепера.

Обобщения и ссылки на другие поля [ править ]

Минимальные поверхности могут быть определены в других многообразиях, помимо R 3 , таких как гиперболическое пространство , многомерные пространства или римановы многообразия .

Определение минимальных поверхностей может быть обобщены / продлено до постоянной средней кривизны поверхности : поверхности с постоянной средней кривизной, которые не нуждаются в равном нуле.

В дискретной дифференциальной геометрии изучаются дискретные минимальные поверхности: симплициальные комплексы треугольников, минимизирующие свою площадь при малых возмущениях положения вершин. [4] Такие дискретизации часто используются для аппроксимации минимальных поверхностей численно, даже если выражения в замкнутой форме неизвестны.

Броуновское движение на минимальной поверхности приводит к вероятностным доказательствам нескольких теорем о минимальных поверхностях. [5]

Минимальные поверхности стали областью интенсивных научных исследований, особенно в областях молекулярной инженерии и материаловедения , в связи с их ожидаемым применением в самосборке сложных материалов. [ необходима цитата ] Предполагается, что эндоплазматический ретикулум , важная структура в клеточной биологии, находится под эволюционным давлением, чтобы соответствовать нетривиальной минимальной поверхности. [6]

В области общей теории относительности и лоренцевой геометрии важное значение имеют некоторые расширения и модификации понятия минимальной поверхности, известные как видимые горизонты . [7] В отличие от горизонта событий , они представляют подход на основе кривизны к пониманию границ черных дыр .

Цирковой шатер имеет минимальную площадь .

Конструкции с минимальной площадью можно использовать как палатки.

Минимальные поверхности являются частью инструментария генеративного дизайна, используемого современными дизайнерами. В архитектуре большой интерес вызывают натяжные конструкции , которые тесно связаны с минимальными поверхностями. Известный пример является Olympiapark в Münich от Фрея Отто , вдохновленный мыльных поверхностей.

В мире искусства минимальные поверхности широко исследовались в скульптурах Роберта Энгмана (1927–), Роберта Лонгхерста (1949–) и Чарльза О. Перри (1929–2011), среди других.

См. Также [ править ]

  • Проблема Бернштейна
  • Билинейная интерполяция
  • Брайант поверхность
  • Кривизна
  • Параметризация Эннепера – Вейерштрасса
  • Гармоническая карта
  • Гармонический морфизм
  • Проблема плато
  • Минимальная поверхность Шварца
  • Мыльный пузырь
  • Поверхность Evolver
  • Метод растянутой сетки
  • Растяжимая структура
  • Трижды периодическая минимальная поверхность
  • Структура Вира – Фелана

Ссылки [ править ]

  1. ^ Микс, Уильям Х., III; Перес, Хоакин (2011). «Классическая теория минимальных поверхностей» . Бык. Амер. Математика. Soc. 48 (3): 325–407. DOI : 10,1090 / s0273-0979-2011-01334-9 . Руководство по ремонту  2801776 .
  2. ^ JL Лагранж. Новый метод для определения максимальных и минимальных неопределенных формул. Miscellanea Taurinensia 2, 325 (1): 173 {199, 1760.
  3. ^ JB Meusnier. Mémoire sur la Courbure des поверхностей. Mém. Mathém. Phys. Акад. Sci. Париж, pres. par div. Savans, 10: 477–510, 1785. Представлен в 1776 году.
  4. ^ Pinkall, Ульрих; Полтье, Конрад (1993). «Вычисление дискретных минимальных поверхностей и их сопряженных» . Экспериментальная математика . 2 (1): 15–36. DOI : 10.1080 / 10586458.1993.10504266 . Руководство по ремонту 1246481 . 
  5. ^ Нил, Роберт (2009). «Мартингальный подход к минимальным поверхностям». Журнал функционального анализа . 256 (8): 2440–2472. arXiv : 0805.0556 . DOI : 10.1016 / j.jfa.2008.06.033 . Руководство по ремонту 2502522 . 
  6. ^ Терасаки, Марк; Шемеш, Том; Кастури, Нараянан; Klemm, Robin W .; Шалек, Ричард; Хейворт, Кеннет Дж .; Рука, Артур Р .; Янкова, Майя; Хубер, Грег (2013-07-18). «Сложенные друг с другом листы эндоплазматической сети соединены спиралевидными мембранными мотивами» . Cell . 154 (2): 285–296. DOI : 10.1016 / j.cell.2013.06.031 . ISSN 0092-8674 . PMC 3767119 . PMID 23870120 .   
  7. ^ Ивонн Шоке-Брюа. Общая теория относительности и уравнения Эйнштейна. Оксфордские математические монографии. Oxford University Press, Oxford, 2009. xxvi + 785 стр. ISBN 978-0-19-923072-3 (стр. 417) 

Дальнейшее чтение [ править ]

Учебники

  • Тобиас Холк Колдинг и Уильям П. Миникоцци, II. Курс по минимальным поверхностям. Аспирантура по математике, 121. Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 2011. xii + 313 стр. ISBN 978-0-8218-5323-8 
  • Р. Курант. Принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности. Приложение М. Шиффера. Interscience Publishers, Inc., Нью-Йорк, 1950. xiii + 330 с.
  • Ульрих Диркес, Стефан Хильдебрандт и Фридрих Совиньи. Минимальные поверхности. Издание второе переработанное и дополненное. При содействии и вкладах А. Кюстера и Р. Якоба. Grundlehren Wissenschaften уравнениях математической, 339. Springer, Heidelberg, 2010. 688 + XVI стр. ISBN 978-3-642-11697-1 , DOI : 10.1007 / 978-3-642-11698-8 , MR 2566897 
  • Х. Блейн Лоусон мл. Лекции о минимальных подмногообразиях. Vol. I. Издание второе. Серия лекций по математике, 9. Publish or Perish, Inc., Wilmington, Del., 1980. iv + 178 стр. ISBN 0-914098-18-7 
  • Йоханнес CC Nitsche. Лекции на минимальных поверхностях. Vol. 1. Введение, основы, геометрия и основные краевые задачи. Перевод с немецкого Джерри М. Файнберг. С немецким предисловием. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xxvi + 563 pp. ISBN 0-521-24427-7. 
  • Роберт Оссерман. Обзор минимальных поверхностей. Второе издание. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1986. vi + 207 стр. ISBN 0-486-64998-9 , MR 0852409 

Интернет-ресурсы

  • Керхер, Германн; Полтье, Конрад (1995). «Прикосновение к мыльным пленкам - введение в минималистичные поверхности» . Проверено 27 декабря 2006 года . (графическое введение в минимальные поверхности и мыльные пленки.)
  • Яцек Клиновский. "Галерея периодических минимальных поверхностей" . Проверено 2 февраля 2009 года . (Коллекция минимальных поверхностей с классическими и современными примерами)
  • Мартин Стеффенс и Кристиан Тейтцель. "Библиотека минимальной поверхности винограда" . Проверено 27 октября 2008 года . (Набор минимальных поверхностей)
  • Разное (2000). "EG-Models" . Проверено 28 сентября 2004 года . (Интернет-журнал с несколькими опубликованными моделями минимальных поверхностей)

Внешние ссылки [ править ]

  • "Минимальная поверхность" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
  • 3D-XplorMath-J Homepage - программа на Java и апплеты для интерактивной математической визуализации
  • Галерея вращающихся минимальных поверхностей
  • Галерея вращающихся / масштабируемых минимальных поверхностей на основе WebGL