В физике , то уравнение Юнга-Лапласа ( / L ə р л ɑː с / ) представляет собой нелинейное уравнение в частных производных , описывающее капиллярное давление разница поддерживается через интерфейс между двумя статических жидкостей , таких как вода и воздух , из - за явления от поверхностного натяжения или натяжения стенки, хотя использование последнего применимо только в том случае, если предполагается, что стена очень тонкая. Уравнение Юнга – Лапласа связывает разность давлений с формой поверхности или стенки и имеет принципиальное значение при изучении статических капиллярных поверхностей . Это утверждение баланса нормальных напряжений для статических жидкостей, встречающихся на границе раздела, где граница раздела рассматривается как поверхность (нулевая толщина):
где - давление Лапласа , разность давлений на границе раздела текучей среды (внешнее давление минус внутреннее давление),это поверхностное натяжение (или стены натяжения ), нормаль, указывающая на поверхность, - средняя кривизна , а а также - главные радиусы кривизны . Обратите внимание, что рассматривается только нормальное напряжение, потому что было показано [1], что статическая граница раздела возможна только при отсутствии касательного напряжения.
Уравнение названо в честь Томаса Янга , который разработал качественную теорию поверхностного натяжения в 1805 году, и Пьера-Симона Лапласа , завершившего математическое описание в следующем году. Это иногда также называют уравнением Юнга-Лапласа-Гаусса, так как Гаусс объединил работу Юнга и Лапласа в 1830 году, выводя как дифференциальное уравнение и граничные условия , используя Иоганна Бернулли «ы виртуальные рабочие принципы. [2]
Мыльные пленки
Если разность давлений равна нулю, как в мыльной пленке без гравитации, граница раздела примет форму минимальной поверхности .
Эмульсии
Уравнение также объясняет энергию, необходимую для создания эмульсии . Чтобы сформировать маленькие, сильно изогнутые капли эмульсии, требуется дополнительная энергия, чтобы преодолеть большое давление, возникающее из-за их малого радиуса.
Давление Лапласа, которое больше для более мелких капель, вызывает диффузию молекул из мельчайших капель в эмульсии и вызывает укрупнение эмульсии за счет созревания Оствальда . [ необходима цитата ]
Капиллярное давление в трубке
В достаточно узком (то есть, низкий номер Бонд ) труба круглого сечения (радиус в ), интерфейс между двумя жидкостями образует менисков , который представляет собой часть поверхности сферы с радиусом R . Скачок давления на этой поверхности связан с радиусом и поверхностным натяжением γ соотношением
Это можно показать, записав уравнение Юнга – Лапласа в сферической форме с граничным условием краевого угла смачивания, а также с заданным граничным условием высоты, скажем, на дне мениска. Решение представляет собой часть сферы, и решение будет существовать только для указанной выше разницы давлений. Это важно, потому что нет другого уравнения или закона для определения разности давлений; наличие решения для одного конкретного значения перепада давления предписывает это.
Радиус сферы будет зависеть только от контактного угла θ, который, в свою очередь, зависит от точных свойств жидкостей и материала контейнера, с которым эти жидкости контактируют / взаимодействуют:
так что перепад давления может быть записан как:
Для поддержания гидростатического равновесия индуцированное капиллярное давление уравновешивается изменением высоты h , которое может быть положительным или отрицательным, в зависимости от того, меньше или больше угол смачивания 90 °. Для жидкости плотностью ρ:
- где g - ускорение свободного падения . Это иногда называют законом Джурина или высотой Джурина [3] в честь Джеймса Юрина , изучавшего эффект в 1718 году [4].
Для стеклянной трубки, наполненной водой, в воздухе на уровне моря :
γ = 0,0728 Дж / м 2 при 20 ° C | θ = 20 ° (0,35 рад ) |
ρ = 1000 кг / м 3 | g = 9,8 м / с 2 |
- и поэтому высота водяного столба определяется по формуле:
- м .
Таким образом, для трубы шириной 2 мм (радиусом 1 мм) вода поднимется на 14 мм. Однако для капиллярной трубки с радиусом 0,1 мм вода поднимется на 14 см (около 6 дюймов ).
Капиллярное действие в целом
В общем случае для свободной поверхности и при наличии приложенного «избыточного давления» Δ p на границе раздела в равновесии существует баланс между приложенным давлением, гидростатическим давлением и эффектами поверхностного натяжения. Уравнение Юнга – Лапласа принимает следующий вид:
Уравнение может быть обезразмерено в терминах его характерного масштаба длины, длины капилляра :
- и характеристическое давление :
Для получения чистой воды при стандартной температуре и давлении , то капиллярная длина составляет ~ 2 мм .
Тогда безразмерное уравнение принимает следующий вид:
Таким образом, форма поверхности определяется только одним параметром: избыточное давление жидкости Δ p *, а масштаб поверхности определяется длиной капилляра . Решение уравнения требует начального условия для положения и уклона поверхности в начальной точке.
Осесимметричные уравнения
(Безразмерную) форму r ( z ) осесимметричной поверхности можно найти, подставив общие выражения для кривизны, чтобы получить гидростатические уравнения Юнга – Лапласа : [5]
Применение в медицине
В медицине часто называют законом Лапласа , используемым в контексте сердечно - сосудистой физиологии , [6] , а также физиология дыхания , хотя последнее использование часто ошибочно. [7]
История
Фрэнсис Хоксби выполнил некоторые из самых ранних наблюдений и экспериментов в 1709 году [8], и они были повторены в 1718 году Джеймсом Джурином, который заметил, что высота жидкости в капиллярном столбе является функцией только площади поперечного сечения на поверхности, а не любых других размеров колонны. [4] [9]
Томас Янг заложил основы уравнения в своей статье 1804 года «Эссе о сцеплении жидкостей» [10], в которой он описательно изложил принципы, управляющие контактом между жидкостями (наряду со многими другими аспектами поведения жидкости). Пьер Симон Лаплас продолжил это в Mécanique Céleste [11] с формальным математическим описанием, данным выше, которое воспроизводило в символических терминах отношения, описанные ранее Янгом.
Лаплас принял идею, предложенную Хоксби в его книге « Физико-механические эксперименты» (1709 г.), о том, что это явление вызвано силой притяжения, незаметной на ощутимых расстояниях. [12] [13] Часть, которая касается действия твердого тела на жидкость и взаимного действия двух жидкостей, не была разработана полностью, но в конечном итоге была завершена Карлом Фридрихом Гауссом . [14] Франц Эрнст Нойман (1798-1895) позже внес некоторые подробности. [15] [9] [16]
Рекомендации
- ^ Модуль поверхностного натяжения , Джон В. М. Буш, MIT OCW .
- ^ Роберт Финн (1999). «Интерфейсы поверхности капилляров» (PDF) . AMS .
- ^ «Правило Журина» . Словарь научных и технических терминов Макгроу-Хилла . МакГроу-Хилл на Answers.com. 2003 . Проверено 5 сентября 2007 .
- ^ a b См .:
- Джеймс Джурин (1718) «Отчет о некоторых экспериментах, показанных перед Королевским обществом; с исследованием причин некоторого подъема и взвеси воды в капиллярных трубках», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 30 : 739– 747.
- Джеймс Юрин (1719) «Отчет о некоторых новых экспериментах, касающихся воздействия стеклянных трубок на воду и ртуть», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 30 : 1083–1096.
- ^ Лэмб, Х. Статика, включая гидростатику и элементы теории упругости, 3-е изд. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, 1928.
- ^ Басфорд, Джеффри Р. (2002). «Закон Лапласа и его значение для современной медицины и реабилитации». Архивы физической медицины и реабилитации . 83 (8): 1165–1170. DOI : 10,1053 / apmr.2002.33985 . PMID 12161841 .
- ^ Прейндж, Генри Д. (2003). «Закон Лапласа и альвеолы: неправильное представление об анатомии и неправильное применение физики». Достижения в физиологическом образовании . 27 (1): 34–40. DOI : 10.1152 / advan.00024.2002 . PMID 12594072 .
- ^ См .:
- Фрэнсис Хоксби, Физико-механические эксперименты на различных объектах … (Лондон, Англия: (Самостоятельное издание автора; напечатано Р. Бругисом), 1709), страницы 139–169.
- Фрэнсис Хоксби (1711) «Отчет об эксперименте, касающемся направления капли апельсинового масла между двумя стеклянными плоскостями по направлению к любой их стороне, которая ближе всего прижата друг к другу», « Философские труды Лондонского королевского общества» , 27 : 374–375.
- Фрэнсис Хоксби (1712) «Отчет об эксперименте, касающемся подъема воды между двумя стеклянными плоскостями в виде гиперболической фигуры», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 27 : 539–540.
- ^ а б Максвелл, Джеймс Клерк ; Стратт, Джон Уильям (1911). . Британская энциклопедия . 5 (11-е изд.). С. 256–275.
- ↑ Томас Янг (1805) «Очерк о сцеплении жидкостей», Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 95 : 65–87.
- ^ Пьер Симон маркиз де Лаплас, Traité de Mécanique Céleste , том 4, (Париж, Франция: Courcier, 1805), Supplément au dixième livre du Traité de Mécanique Céleste , страницы 1–79 .
- ^ Пьер Симон маркиз де Лаплас, Traité de Mécanique Céleste , том 4, (Париж, Франция: Courcier, 1805), Supplément au dixième livre du Traité de Mécanique Céleste . На странице 2 Приложения Лаплас утверждает, что капиллярное действие происходит из-за «… les lois dans lesquelles l'attraction n'est sensible qu'à des distancelesssibles;…» (… законы, в которых притяжение является осмысленным [значимым] только на незаметных [бесконечно малых] расстояниях…).
- ↑ В 1751 году Иоганн Андреас Сегнер пришел к тому же выводу, к которому пришел Хауксби в 1709 году: Я. А. фон Сегнер (1751) «De figuris superficierum fluidarum» (О формах жидких поверхностей), Commentarii Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis (Мемуары королевских Научное общество в Геттингене), 1 : 301–372. На странице 303 Сегнер предполагает, что жидкости удерживаются вместе с помощью силы притяжения ( vim Attractricem ), которая действует на таких коротких расстояниях, «что никто еще не мог воспринять это своими чувствами» (… ut nullo adhuc sensu percipi poterit. ).
- ^ Карл Фридрих Гаусс, Principia generalia Theoriae Figurae Fluidorum in statu Aequilibrii [Общие принципы теории жидких форм в состоянии равновесия] (Геттинген, (Германия): Dieterichs, 1830). Доступно в Интернете по адресу: Hathi Trust .
- ↑ Franz Neumann с A. Wangerin, ed., Vorlesungen über die Theorie der Capillarität [Лекции по теории капиллярности] (Лейпциг, Германия: BG Teubner, 1894).
- ↑ Rouse Ball, WW [1908] (2003) « Пьер Симон Лаплас (1749–1827) », в Кратком отчете по истории математики , 4-е изд., Dover, ISBN 0-486-20630-0
Библиография
- Максвелл, Джеймс Клерк ; Стратт, Джон Уильям (1911). . В Чисхолме, Хью (ред.). Британская энциклопедия . 5 (11-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 256–275.
- Бэтчелор, Г.К. (1967) Введение в динамику жидкости , Cambridge University Press
- Юрин, Дж. (1716 г.). «Отчет о некоторых экспериментах, показанных Королевскому обществу; с исследованием причины подъема и взвеси воды в капиллярных трубках» . Философские труды Королевского общества . 30 (351–363): 739–747. DOI : 10,1098 / rstl.1717.0026 . S2CID 186211806 .
- Tadros TF (1995) Поверхностно-активные вещества в агрохимикатах , серия Surfactant Science, том 54, Dekker
Внешние ссылки
Измерение поверхностного натяжения с помощью уравнения Юнга-Лапласа