Обезразмеривание

Эта статья не цитирует никаких источников . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Обезразмерение»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( ноябрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Обезразмеривание - это частичное или полное удаление физических размеров из уравнения, включающего физические величины, путем подходящей замены переменных . Этот метод может упростить и параметризовать проблемы, в которых задействованы единицы измерения . Это тесно связано с анализом размеров . В некоторых физических системах термин масштабирование используется взаимозаменяемо с обезразмериванием , чтобы предположить, что определенные величины лучше измеряются относительно некоторой подходящей единицы. Эти единицы относятся к внутренним величинам.в систему, а не в такие единицы, как единицы СИ . Обезразмеривание - это не то же самое, что преобразование экстенсивных количеств в уравнении в интенсивные количества, поскольку последняя процедура приводит к переменным, которые все еще несут единицы.

Обезразмеривание также может восстановить характерные свойства системы. Например, если система имеет собственную резонансную частоту , длину или постоянную времени , обезразмеривание может восстановить эти значения. Этот метод особенно полезен для систем, которые можно описать дифференциальными уравнениями . Одно из важных применений - анализ систем управления . Одна из простейших характеристических единиц - время удвоения системы, испытывающей экспоненциальный рост , или, наоборот, период полураспада системы, испытывающей экспоненциальный распад ; более естественная пара характерных единиц - средний возраст /среднее время жизни , которые соответствуют основанию e, а не основанию 2.

Многие наглядные примеры обезразмеривания происходят из упрощения дифференциальных уравнений. Это связано с тем, что большое количество физических проблем можно сформулировать в терминах дифференциальных уравнений. Обратите внимание на следующее:

• Список тем о динамических системах и дифференциальных уравнениях
• Список тем по уравнениям в частных производных
• Дифференциальные уравнения математической физики

Хотя обезразмеривание хорошо приспособлено для решения этих проблем, оно не ограничивается ими. Примером применения недифференциального уравнения является анализ размерностей; другой пример - нормализация в статистике .

Измерительные приборы - практические примеры обезразмеривания, происходящие в повседневной жизни. Измерительные приборы калибруются относительно известной единицы. Последующие измерения производятся относительно этого стандарта. Затем абсолютное значение измерения восстанавливается путем масштабирования по стандарту.

Обоснование [ править ]

Предположим, что маятник качается с определенным периодом T . Для такой системы, целесообразно выполнять вычисления , связанные с качающимся по отношению к T . В некотором смысле это нормализация измерения по периоду.

Измерения, выполненные относительно внутреннего свойства системы, будут применяться к другим системам, которые также имеют такое же внутреннее свойство. Это также позволяет сравнивать общее свойство различных реализаций одной и той же системы. Обезразмеривания определяет на систематической основе на характерные блоки из системы к использованию, не полагаясь на предварительных знаний о внутренних свойствах системы (один не должны запутывать характерные единицы в системе с естественными единицами по природе ). Фактически, обезразмеривание может предложить параметры, которые следует использовать для анализа системы. Однако необходимо начать с уравнения, которое надлежащим образом описывает систему.

Шаги обезразмеривания [ править ]

Чтобы обезразмерить систему уравнений, необходимо сделать следующее:

1. Определите все независимые и зависимые переменные;
2. Заменить каждую из них величиной, масштабированной относительно характерной единицы измерения, которую необходимо определить;
3. Разделить на коэффициент при полиноме высшего порядка или производном члене;
4. Тщательно выберите определение характеристической единицы для каждой переменной так, чтобы коэффициенты для максимально возможного числа членов равнялись 1;
5. Перепишите систему уравнений в терминах их новых безразмерных величин.

Последние три шага обычно относятся к проблеме, в которой применяется обезразмеривание. Однако почти все системы требуют выполнения первых двух шагов.

Соглашения [ править ]

Нет никаких ограничений на имена переменных, используемых для замены « x » и « t ». Однако обычно они выбираются таким образом, чтобы их было удобно и интуитивно понятно использовать для решения поставленной задачи. Например, если « x » представляет массу, буква « m » может быть подходящим символом для представления безразмерной величины массы.

В этой статье использованы следующие условные обозначения:

• t - представляет собой независимую переменную - обычно количество времени. Его безразмерный аналог - .${\ Displaystyle \ тау}$
• x - представляет зависимую переменную - может быть массой, напряжением или любой измеряемой величиной. Его безразмерный аналог - .${\ displaystyle \ chi}$

Нижний индекс c, добавленный к имени переменной количества, используется для обозначения единицы характеристики, используемой для масштабирования этого количества. Например, если x - количество, то x _c - это характеристика, используемая для его масштабирования.

В качестве наглядного примера рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами :

${\ displaystyle a {\ frac {dx} {dt}} + bx = Af (t).}$

1. В этом уравнении независимой переменной здесь является t , а зависимой переменной - x .
2. Установить . Это приводит к уравнению${\ Displaystyle х = \ хи х_ {с}, \ т = \ тау т_ {с}}$

   ${\ displaystyle a {\ frac {x_ {c}} {t_ {c}}} {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + bx_ {c} \ chi = Af (\ tau t_ {c} ) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ AF (\ tau).}$

3. Коэффициент наивысшего упорядоченного члена стоит перед первым членом производной. Деление на это дает

   ${\ displaystyle {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + {\ frac {bt_ {c}} {a}} \ chi = {\ frac {At_ {c}} {ax_ {c}}} F (\ tau).}$

4. Коэффициент перед χ содержит только одну характеристическую переменную t _c , поэтому проще всего сначала установить ее равной единице:

   ${\ displaystyle {\ frac {bt_ {c}} {a}} = 1 \ Rightarrow t_ {c} = {\ frac {a} {b}}.}$ Впоследствии ${\ displaystyle {\ frac {At_ {c}} {ax_ {c}}} = {\ frac {A} {bx_ {c}}} = 1 \ Rightarrow x_ {c} = {\ frac {A} {b }}.}$

5. Окончательное безразмерное уравнение в этом случае становится полностью независимым от каких-либо параметров с единицами измерения:

   ${\ displaystyle {\ frac {d \ chi} {d \ tau}} + \ chi = F (\ tau).}$

Замены [ править ]

Предположим для простоты , что определенная система характеризуется двумя переменными - зависимой переменной х и независимой переменной т , где х представляет собой функцию от т . И x, и t представляют величины с единицами измерения. Чтобы масштабировать эти две переменные, предположим, что существуют две внутренние единицы измерения x _c и t _c с теми же единицами, что и x и t соответственно, так что эти условия выполняются:

${\ displaystyle \ tau = {\ frac {t} {t_ {c}}} \ Rightarrow t = \ tau t_ {c}}$

${\displaystyle \chi ={\frac {x}{x_{c}}}\Rightarrow x=\chi x_{c}.}$

Эти уравнения используются для замены x и t при обезразмеривании. Если для описания исходной системы необходимы дифференциальные операторы, их масштабированные аналоги становятся безразмерными дифференциальными операторами.

Дифференциальные операторы [ править ]

Рассмотрим отношения

${\displaystyle \,\!t=\tau t_{c}\Rightarrow dt=t_{c}d\tau \Rightarrow {\frac {d\tau }{dt}}={\frac {1}{t_{c}}}.}$

Безразмерные дифференциальные операторы относительно независимой переменной принимают вид

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {d\tau }{dt}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {1}{t_{c}}}{\frac {d}{d\tau }}\Rightarrow {\frac {d^{n}}{dt^{n}}}=\left({\frac {d}{dt}}\right)^{n}=\left({\frac {1}{t_{c}}}{\frac {d}{d\tau }}\right)^{n}={\frac {1}{t_{c}^{n}}}{\frac {d^{n}}{d\tau ^{n}}}.}$

Функция принуждения [ править ]

Если в системе есть функция принуждения, то${\displaystyle \,\!f(t)}$

${\displaystyle \,\!f(t)=f(\tau t_{c})=f(t(\tau ))=F(\tau ).}$

Следовательно, новая функция принуждения сделана зависимой от безразмерной величины .${\displaystyle \,\!F}$${\displaystyle \,\!\tau }$

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами [ править ]

Система первого порядка [ править ]

Рассмотрим дифференциальное уравнение для системы первого порядка:

${\displaystyle a{\frac {dx}{dt}}+bx=Af(t).}$

Вывод из характерных единиц этой системы дает

${\displaystyle t_{c}={\frac {a}{b}},\ x_{c}={\frac {A}{b}}.}$

Система второго порядка [ править ]

Система второго порядка имеет вид

${\displaystyle a{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+b{\frac {dx}{dt}}+cx=Af(t).}$

Шаг замены [ править ]

Заменим переменные x и t их масштабированными величинами. Уравнение становится

${\displaystyle a{\frac {x_{c}}{t_{c}^{2}}}{\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+b{\frac {x_{c}}{t_{c}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+cx_{c}\chi =Af(\tau t_{c})=AF(\tau ).}$

Это новое уравнение не безразмерно, хотя все переменные с единицами измерения изолированы в коэффициентах. Разделив на коэффициент при наивысшем упорядоченном члене, уравнение принимает вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+t_{c}{\frac {b}{a}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+t_{c}^{2}{\frac {c}{a}}\chi ={\frac {At_{c}^{2}}{ax_{c}}}F(\tau ).}$

Теперь необходимо определить величины x _c и t _c, чтобы коэффициенты стали нормализованными. Поскольку есть два свободных параметра, не более двух коэффициентов можно сделать равными единице.

Определение единиц характеристики [ править ]

Рассмотрим переменную t _c :

1. Если член первого порядка нормализован.${\displaystyle t_{c}={\frac {a}{b}}}$
2. Если член нулевого порядка нормализован.${\displaystyle t_{c}={\sqrt {\frac {a}{c}}}}$

Обе замены действительны. Однако по педагогическим причинам последняя замена используется для систем второго порядка. Выбор этой замены позволяет определить x _c путем нормализации коэффициента функции принуждения:

${\displaystyle 1={\frac {At_{c}^{2}}{ax_{c}}}={\frac {A}{cx_{c}}}\Rightarrow x_{c}={\frac {A}{c}}.}$

Дифференциальное уравнение принимает вид

${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+{\frac {b}{\sqrt {ac}}}{\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$

Коэффициент при члене первого порядка безразмерен. Определять

${\displaystyle 2\zeta \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {b}{\sqrt {ac}}}.}$

Фактор 2 присутствует, так что решения могут быть параметризованы с помощью ζ. В контексте механических или электрических систем ζ известен как коэффициент демпфирования и является важным параметром, необходимым при анализе систем управления . 2ζ также называют шириной линии системы. Результатом определения является уравнение универсального осциллятора .

${\displaystyle {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau ).}$

Системы высшего порядка [ править ]

Общее линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:

${\displaystyle a_{n}{\frac {d^{n}x(t)}{dt^{n}}}+a_{n-1}{\frac {d^{n-1}x(t)}{dt^{n-1}}}+\ldots +a_{1}{\frac {dx(t)}{dt}}+a_{0}x(t)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}{\frac {d^{k}x(t)}{dt^{k}}}=Af(t).}$

Функция f ( t ) известна как функция принуждения .

Если дифференциальное уравнение содержит только действительные (не комплексные) коэффициенты, то свойства такой системы ведут себя как смесь систем только первого и второго порядка. Это связано с тем, что корни его характеристического многочлена являются либо действительными , либо комплексно сопряженными парами. Таким образом, понимание того, как обезразмеривание применяется к первым и вторым упорядоченным системам, позволяет определять свойства систем более высокого порядка посредством суперпозиции .

Число свободных параметров в безразмерной форме системы увеличивается с ее порядком. По этой причине обезразмеривание редко используется для дифференциальных уравнений более высокого порядка. Потребность в этой процедуре также уменьшилась с появлением символических вычислений .

Примеры восстановления характерных единиц [ править ]

Множество систем можно аппроксимировать как системы первого или второго порядка. К ним относятся механические, электрические, гидравлические, калорические и крутильные системы. Это связано с тем, что фундаментальные физические величины, участвующие в каждом из этих примеров, связаны производными первого и второго порядка.

Механические колебания [ править ]

Предположим, у нас есть масса, прикрепленная к пружине и амортизатору, которые, в свою очередь, прикреплены к стене, и сила, действующая на массу по той же линии. Определять

${\displaystyle x}$ = смещение от равновесия [м]

${\displaystyle t}$ = время [с]

${\displaystyle f}$= внешняя сила или "возмущение", приложенное к системе [кг мс ⁻² ]

${\displaystyle m}$ = масса блока [кг]

${\displaystyle B}$= Константа затухания демпфера [кг с ^-1 ]

${\displaystyle k}$= силовая постоянная пружины [кг с ⁻² ]

Предположим, что приложенная сила представляет собой синусоиду F = F ₀ cos (ω t ), дифференциальное уравнение, описывающее движение блока, имеет вид

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+B{\frac {dx}{dt}}+kx=F_{0}\cos(\omega t)}$

Обезразмеривание этого уравнения таким же образом, как описано для системы второго порядка, дает несколько характеристик системы.

Внутренняя единица x _c соответствует расстоянию, на которое блок перемещается на единицу силы

${\displaystyle x_{c}={\frac {F_{0}}{k}}.}$

Характеристическая переменная t _c равна периоду колебаний

${\displaystyle t_{c}={\sqrt {\frac {m}{k}}}}$

а безразмерная переменная 2 ζ соответствует ширине линии системы. ζ - это коэффициент затухания .

${\displaystyle 2\zeta ={\frac {B}{\sqrt {mk}}}}$

Электрические колебания [ править ]

RC цепи первого порядка [ править ]

Для серии RC, подключенной к источнику напряжения

${\displaystyle R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V(t)\Rightarrow {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =F(\tau )}$

с заменами

${\displaystyle Q=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c},\ x_{c}=CV_{0},\ t_{c}=RC,\ F=V.}$

Первая характеристическая единица соответствует общему заряду в цепи. Вторая характеристика соответствует постоянной времени системы.

Схема RLC серии второго порядка [ править ]

Для последовательной конфигурации компонентов R , C , L, где Q - заряд в системе

${\displaystyle L{\frac {d^{2}Q}{dt^{2}}}+R{\frac {dQ}{dt}}+{\frac {Q}{C}}=V_{0}\cos(\omega t)\Rightarrow {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =\cos(\Omega \tau )}$

с заменами

${\displaystyle Q=\chi x_{c},\ t=\tau t_{c},\ \ x_{c}=CV_{0},\ t_{c}={\sqrt {LC}},\ 2\zeta =R{\sqrt {\frac {C}{L}}},\ \Omega =t_{c}\omega .}$

Первая переменная соответствует максимальному заряду, хранящемуся в цепи. Резонансная частота задается величиной, обратной характеристическому времени. Последнее выражение - это ширина линии системы. Ω можно рассматривать как нормированную частоту вынуждающей функции.

Квантовая механика [ править ]

Квантовый гармонический осциллятор [ править ]

Уравнение Шредингера для одномерного не зависящего от времени квантового гармонического осциллятора имеет вид

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$

Квадрат модуля волновой функции | ψ ( x ) | ² представляет собой плотность вероятности, которая при интегрировании по x дает безразмерную вероятность. Следовательно, | ψ ( x ) | ² имеет обратную длину. Чтобы сделать это безразмерным, его необходимо переписать как функцию безразмерной переменной. Для этого подставляем

${\displaystyle {\tilde {x}}\equiv {\frac {x}{x_{\text{c}}}},}$

где x _c - некоторая характерная длина этой системы. Это дает нам безразмерную волновую функцию, определяемую через${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$

${\displaystyle \psi (x)=\psi ({\tilde {x}}x_{\text{c}})=\psi (x(x_{\text{c}}))={\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$

Тогда дифференциальное уравнение принимает вид

${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{x_{\text{c}}^{2}}}{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x_{\text{c}}^{2}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E\,{\tilde {\psi }}({\tilde {x}})\Rightarrow \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\frac {2mx_{\text{c}}^{2}E}{\hbar ^{2}}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$

Чтобы член перед безразмерным, установите${\displaystyle {\tilde {x}}^{2}}$

${\displaystyle {\frac {m^{2}\omega ^{2}x_{\text{c}}^{4}}{\hbar ^{2}}}=1\Rightarrow x_{\text{c}}={\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}.}$

Полностью безразмерное уравнение:

${\displaystyle \left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})={\tilde {E}}{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}),}$

где мы определили

${\displaystyle E\equiv {\frac {\hbar \omega }{2}}{\tilde {E}}.}$

Фактически (по совпадению) перед множителем стоит энергия основного состояния гармонического осциллятора. Обычно энергетический член не делают безразмерным, поскольку нас интересует определение энергий квантовых состояний . Преобразуя первое уравнение, знакомое уравнение для гармонического осциллятора становится${\displaystyle {\tilde {E}}}$

${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{d{\tilde {x}}^{2}}}+{\tilde {x}}^{2}\right){\tilde {\psi }}({\tilde {x}})=E{\tilde {\psi }}({\tilde {x}}).}$

Статистические аналоги [ править ]

В статистике аналогичный процесс обычно делит разницу (расстояние) на масштабный коэффициент (показатель статистической дисперсии ), что дает безразмерное число, которое называется нормализацией . Чаще всего это деление ошибок или остатков на стандартное отклонение или стандартное отклонение выборки, соответственно, с получением стандартных баллов и стьюдентизированных остатков .

См. Также [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Анализ моделей дифференциальных уравнений в биологии: тематическое исследование для популяций меристемы клевера (Применение обезразмеривания к проблеме в биологии).
• Примечания к курсу математического моделирования и промышленной математики Джонатан Эванс, Департамент математических наук, Университет Бата . (см. главу 3).
• Масштабирование дифференциальных уравнений Ханс Петтер Лангтанген, Гейр К. Педерсен, Центр биомедицинских вычислений, Исследовательская лаборатория Simula и Департамент информатики, Университет Осло .