Постоянная времени

В физике и технике , то постоянная времени , обычно обозначается греческой буквой $т$ (тау), является параметр , характеризующий реакцию на стадии ввода первого порядка, линейные стационарна системы (LTI). ^[1]^{[примечание 1]} Постоянная времени - это основная характеристика системы LTI первого порядка.

Во временной области обычный выбор для изучения временной характеристики - это переходная характеристика на ступенчатый вход или импульсная характеристика на вход дельта-функции Дирака . ^[2] В частотной области (например, глядя на преобразование Фурье переходной характеристики или используя вход, который представляет собой простую синусоидальную функцию времени) постоянная времени также определяет полосу пропускания инвариантной во времени системы первого порядка. , то есть частота, при которой мощность выходного сигнала падает до половины значения, которое он имеет на низких частотах.

Постоянная времени также используется для характеристики частотной характеристики различных систем обработки сигналов - магнитных лент , радиопередатчиков и приемников , оборудования для записи и воспроизведения, а также цифровых фильтров, которые могут быть смоделированы или аппроксимированы системами LTI первого порядка. Другие примеры включают постоянную времени, используемую в системах управления для регуляторов интегрального и дифференциального действия, которые часто являются пневматическими , а не электрическими.

Постоянные времени - это характеристика сосредоточенного системного анализа (метод анализа сосредоточенной мощности) для тепловых систем, который используется, когда объекты равномерно охлаждают или нагреваются под влиянием конвективного охлаждения или нагревания. ^[3]

Физически постоянная времени представляет собой время, необходимое для того, чтобы отклик системы затухал до нуля, если бы система продолжала распадаться с начальной скоростью, из-за постепенного изменения скорости затухания отклик фактически уменьшится по значению до $1 / e \approx 36,8%$ за это время (скажем, от ступенчатого уменьшения). В возрастающей системе постоянная времени - это время, за которое ступенчатая характеристика системы достигает $1 - 1 / e \approx 63,2%$ от своего конечного (асимптотического) значения (скажем, от ступенчатого увеличения). При радиоактивном распаде постоянная времени связана с постоянной распада ( λ), и представляет собой как среднее время жизни распадающейся системы (например, атома) до его распада, так и время, необходимое для распада всех атомов, кроме 36,8%. По этой причине постоянная времени больше, чем период полураспада , который составляет время распада только 50% атомов.

Дифференциальное уравнение [ править ]

Системы LTI первого порядка характеризуются дифференциальным уравнением

{\ Displaystyle \ тау {\ гидроразрыва {dV} {dt}} + V = f (t)}

где $τ$ представляет собой экспоненциальную константу затухания, а $V$ является функцией времени $t$

{\ Displaystyle V = V (t).}

Правая часть - это вынуждающая функция $f (t),$ описывающая внешнюю движущую функцию времени, которую можно рассматривать как вход системы , на который $V (t)$ является ответом или выходом системы. Классические примеры для $f (t)$ :

Функция Хевисайда , часто обозначается $U (т)$ :

u(t)={\begin{cases}0,&t<0\\1,&t\geq 0\end{cases}}

импульсная функция , часто обозначается $б (т)$ , а также функция синусоидальной входного сигнала:

f(t)=A\sin(2\pi ft)

или же

f(t)=Ae^{j\omega t},

где $A$ - амплитуда вынуждающей функции, $f$ - частота в герцах, а $ω = 2 π f$ - частота в радианах в секунду.

Пример решения [ править ]

Пример решения дифференциального уравнения с начальным значением $V 0$ и без функции принуждения:

V(t)=V_{o}e^{-t/\tau }

куда

V_{o}=V(t=0)

это начальное значение $V$ . Таким образом, отклик представляет собой экспоненциальный спад с постоянной времени $τ$ .

Обсуждение [ править ]

Предполагать

V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }

.

Такое поведение называется «убывающей» экспоненциальной функцией. Время $τ$ (тау) называется «постоянной времени» и может использоваться (как в этом случае), чтобы указать, насколько быстро экспоненциальная функция затухает.

Здесь:

t

= время (обычно

t > 0

в технике управления)

V 0

= начальное значение (см. «Особые случаи» ниже).

Конкретные случаи [ править ]

1) Пусть ; тогда и так

t=0

V=V_{0}e^{0}

V=V_{0}

2) Пусть ; тогда

t=\tau

V=V_{0}e^{-1}\approx 0.37V_{0}

3) Пусть , и так

V=f(t)=V_{0}e^{-t/\tau }

\lim _{t\to \infty }f(t)=0

4) Пусть ; тогда

t=5\tau

V=V_{0}e^{-5}\approx 0.0067V_{0}

После периода в одну постоянную времени функция достигает $e -1$ = примерно 37% от своего начального значения. В случае 4 после пяти постоянных времени функция достигает значения менее 1% от исходного. В большинстве случаев этот порог в 1% считается достаточным, чтобы предположить, что функция упала до нуля - как показывает опыт, в технике управления стабильной системой является система, которая демонстрирует такое общее затухающее поведение.

Связь постоянной времени с полосой пропускания [ править ]

Пример реакции системы на функцию форсирования синусоидальной волны. Ось времени в единицах постоянной времени

τ

. Отклик затухает и становится простой синусоидальной волной.

Амплитудно-частотная характеристика системы в зависимости от частоты в единицах ширины полосы частот

f 3 дБ

. Отклик нормализуется до нулевого значения частоты, равного единице, и падает до 1 / √2 в полосе пропускания.

Предположим, что функция принуждения выбрана синусоидальной так:

\tau {dV \over dt}+V=f(t)=Ae^{j\omega t}.

(Ответ на входную действительную косинусную или синусоидальную волну можно получить, взяв действительную или мнимую часть конечного результата в силу формулы Эйлера .) Общее решение этого уравнения для времен $t \geq 0 с$ , предполагая $V (t = 0 ) = V 0$ :

V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }+{Ae^{-t/\tau } \over \tau }\int _{0}^{t}\,dt'\ e^{t'/\tau }e^{j\omega t'}

=V_{0}e^{-t/\tau }+{\frac {1/\tau }{j\omega +1/\tau }}A\left(e^{j\omega t}-e^{-t/\tau }\right).

В течение долгого времени затухающие экспоненты становятся незначительными, и стационарное решение или долгосрочное решение:

V_{\infty }(t)={\frac {1/\tau }{j\omega +1/\tau }}Ae^{j\omega t}.

Величина этого ответа:

|V_{\infty }(t)|=A{\frac {1}{\tau \left(\omega ^{2}+(1/\tau )^{2}\right)^{1/2}}}=A{\frac {1}{\sqrt {1+(\omega \tau )^{2}}}}.

По соглашению, полоса пропускания этой системы - это частота, где $| V \infty | 2$ падает до половинного значения, или где $ω τ = 1$ . Это обычное соглашение о ширине полосы , определяемое как частотный диапазон, в котором мощность падает менее чем наполовину (не более -3 дБ). Используя частоту в герцах, а не в радианах / с ( $ω = 2 πf$ ):

f_{3dB}={\frac {1}{2\pi \tau }}.

Обозначение $f 3 дБ$ происходит от выражения мощности в децибелах и наблюдения, что половинная мощность соответствует уменьшению значения $| V \infty |$ на коэффициент 1 / √2 или на 3 децибела.

Таким образом, постоянная времени определяет полосу пропускания этой системы.

Реакция на скачок с произвольными начальными условиями [ править ]

Переходная характеристика системы для двух различных начальных значений V ₀ , одно выше конечного значения, а другое - при нуле. Длительный отклик постоянен, V _∞ . Ось времени в единицах постоянной времени .

\tau

Предположим, что функция принуждения выбрана в качестве пошагового входа, поэтому:

{\frac {dV}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}V=f(t)=Au(t),

с $u (t)$ ступенчатой функцией Хевисайда. Общее решение этого уравнения для времен $t \geq 0 с$ при условии, что $V (t = 0) = V 0$ :

V(t)=V_{0}e^{-t/\tau }+A\tau \left(1-e^{-t/\tau }\right).

(Можно заметить, что этот отклик является пределом $ω \to 0$ вышеупомянутого отклика на синусоидальный вход.)

Долгосрочное решение не зависит от времени и начальных условий:

V_{\infty }=A\tau .

Постоянная времени остается неизменной для той же системы независимо от условий запуска. Проще говоря, система приближается к своей конечной устойчивой ситуации с постоянной скоростью, независимо от того, насколько она близка к этому значению в любой произвольной начальной точке.

Например, рассмотрим электродвигатель, запуск которого хорошо моделируется системой LTI первого порядка. Предположим, что при запуске из состояния покоя двигатель принимает1/8секунды, чтобы достичь 63% номинальной скорости 100 об / мин, или 63 об / мин, то есть меньше 37 об / мин. Тогда окажется, что после следующего1/8секунды двигатель увеличил скорость на 23 об / мин, что составляет 63% от этой разницы в 37 об / мин. Это доводит его до 86 об / мин, что все еще составляет 14 об / мин. Через треть ⅛ секунды двигатель наберет дополнительные 9 об / мин (63% от этой разницы в 14 об / мин), что означает 95 об / мин.

Фактически, при любой начальной скорости s ≤ 100 об / мин, 1/8через секунду этот конкретный двигатель получит дополнительные 0,63 × (100 с ) об / мин.

Примеры [ править ]

Постоянные времени в электрических цепях [ править ]

Переходная характеристика напряжения конденсатора.

Отклик на скачок напряжения индуктора.

В цепи RL, состоящей из одного резистора и катушки индуктивности, постоянная времени (в секундах ) равна $\tau$

\tau ={L \over R}

где R - сопротивление (в омах ), а L - индуктивность (в Генри ).

Точно так же в RC-цепи, состоящей из одного резистора и конденсатора, постоянная времени (в секундах) равна: $\tau$

\tau =RC

где R - сопротивление (в омах ), а C - емкость (в фарадах ).

Электрические схемы часто более сложны, чем эти примеры, и могут иметь несколько постоянных времени (см. Некоторые примеры в разделе « Переходная характеристика» и « Разделение полюсов»). В случае наличия обратной связи в системе могут наблюдаться нестабильные возрастающие колебания. Вдобавок физические электрические цепи редко являются действительно линейными системами, за исключением возбуждений с очень низкой амплитудой; однако широко используется приближение линейности.

В цифровых электронных схемах часто используется другая мера, FO4 . Это можно преобразовать в единицы постоянной времени с помощью уравнения . ^[4] $5\tau ={\text{FO4}}$

Тепловая постоянная времени [ править ]

Постоянные времени - это характеристика сосредоточенного системного анализа (метод анализа сосредоточенной мощности) для тепловых систем, который используется, когда объекты равномерно охлаждают или нагреваются под влиянием конвективного охлаждения или нагревания . В этом случае передача тепла от тела к окружающей среде в данный момент времени пропорциональна разнице температур между телом и окружающей средой: ^[5]

F=hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right),

где h - коэффициент теплопередачи , A _s - площадь поверхности, T (t) = температура тела в момент времени t , а T _a - постоянная температура окружающей среды. Положительный знак указывает на то, что F является положительным, когда тепло выходит из тела, потому что его температура выше, чем температура окружающей среды ( F - поток наружу). Если тепло теряется в окружающую среду, эта теплопередача приводит к падению температуры тела, определяемому по формуле ^[5]

\rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-F,

где ρ = плотность, с _р = удельная теплоемкость и V представляет собой объем тела. Отрицательный знак указывает на падение температуры при передаче тепла наружу от тела (то есть, когда F > 0). Приравнивая эти два выражения для теплопередачи,

\rho c_{p}V{\frac {dT}{dt}}=-hA_{s}\left(T(t)-T_{a}\right).

Очевидно, это LTI-система первого порядка, которую можно представить в виде:

{\frac {dT}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}T={\frac {1}{\tau }}T_{a},

с

\tau ={\frac {\rho c_{p}V}{hA_{s}}}.

Другими словами, постоянная времени говорит о том, что большие массы ρV и большая теплоемкость c _p приводят к более медленным изменениям температуры, в то время как большие площади поверхности A _s и лучшая теплопередача h приводят к более быстрым изменениям температуры.

Сравнение с вводным дифференциальным уравнением предполагает возможное обобщение на изменяющуюся во времени температуру окружающей среды T _a . Однако, сохраняя простой пример с константой внешней среды, подставляя переменную ΔT ≡ ( T - T _a ), можно найти:

{\frac {d\Delta T}{dt}}+{\frac {1}{\tau }}\Delta T=0.

Говорят, что системы, для которых охлаждение удовлетворяет вышеуказанному экспоненциальному уравнению, удовлетворяют закону охлаждения Ньютона . Решение этого уравнения предполагает, что в таких системах разница между температурой системы и ее окружения ΔT как функция времени t определяется как:

\Delta T(t)=\Delta T_{0}e^{-t/\tau },

где ΔT ₀ - начальная разница температур в момент времени t = 0. Другими словами, тело принимает ту же температуру, что и окружающая среда, с экспоненциально медленной скоростью, определяемой постоянной времени.

Константы времени в неврологии [ править ]

В возбудимой клетке, такой как мышца или нейрон , постоянная времени мембранного потенциала равна $\tau$

\tau =r_{m}c_{m}

где r _m - сопротивление через мембрану, а c _m - емкость мембраны.

Сопротивление через мембрану является функцией количества открытых ионных каналов, а емкость - функцией свойств липидного бислоя .

Постоянная времени используется для описания роста и падения мембранного напряжения, где рост описывается выражением

V(t)=V_{\textrm {max}}(1-e^{-t/\tau })

и падение описывается

V(t)=V_{\textrm {max}}e^{-t/\tau }

где напряжение в милливольтах, время в секундах и секундах. $\tau$

V _max определяется как максимальное изменение напряжения от потенциала покоя , где

V_{\textrm {max}}=r_{m}I

где r _m - сопротивление через мембрану, I - ток через мембрану.

Настройка для t = для повышения устанавливает V ( t ) равным 0,63 В _макс . Это означает , что постоянная времени является время , прошедшее после того, как 63% V _макс было достигнуто $\tau$

Установка для т = для падения множеств V ( т ) , равное 0,37 V _макс , а это означает , что постоянная времени это время , прошедшее после того, как она упала до 37% от V _макс . $\tau$

Чем больше постоянная времени, тем медленнее растет или падает потенциал нейрона. Длительная постоянная времени может привести к временному суммированию или алгебраическому суммированию повторяющихся потенциалов. Короткая постоянная времени, скорее, дает детектор совпадений посредством пространственного суммирования .

Экспоненциальный спад [ править ]

При экспоненциальном распаде , например, радиоактивного изотопа, постоянная времени может интерпретироваться как среднее время жизни . Полураспада Т _HL связана с экспоненциальной постоянной времени путем $\tau$

T_{HL}=\tau \cdot \mathrm {ln} \,2.

Обратная величина постоянной времени называется постоянной затухания и обозначается $\lambda =1/\tau .$

Метеорологические датчики [ править ]

Постоянная времени - это количество времени, которое требуется метеорологическому датчику, чтобы отреагировать на быстрое изменение измеряемой величины, пока он не будет измерять значения в пределах допуска точности, обычно ожидаемого от датчика.

Чаще всего это относится к измерениям температуры, температуры точки росы, влажности и давления воздуха. Особенно страдают радиозонды из-за их быстрого увеличения высоты.

См. Также [ править ]

Постоянная времени RC
Частота среза
Экспоненциальный спад
Компенсатор опережения-запаздывания
Константа длины
Время нарастания
Время падения
Частотный отклик
Импульсивный ответ
Шаговый ответ
Время перехода
Время установления

Примечания [ править ]

^ Конкретно, система LTI первого порядка - это система, которую можно смоделировать с помощью одного дифференциального уравнения первого порядка во времени. Примеры включают простейшие одноступенчатые электрические RC-цепи и RL-цепи .

Ссылки [ править ]

^ Бела Г. Липтак (2003). Справочник приборостроителя: Управление процессами и оптимизация (4-е изд.). CRC Press. п. 100. ISBN 978-0-8493-1081-2.
^ Бонг Ви (1998). Динамика и управление космическим аппаратом . Американский институт аэронавтики и астронавтики. п. 100 . ISBN 978-1-56347-261-9.
^ GR North (1988). «Уроки моделей энергетического баланса» . В Майкле Э. Шлезингере (ред.). Физическое моделирование и моделирование климата и климатических изменений (Институт перспективных исследований НАТО по физическому моделированию, ред.). Springer. НАТО. п. 627. ISBN 978-90-277-2789-3.
^ Харрис, D .; Сазерленд, И. (2003). «Логическая попытка переноса сумматоров распространения». Тридцать седьмая Asilomar конференция сигналов, системы и компьютеры, 2003 . С. 873–878. DOI : 10,1109 / ACSSC.2003.1292037 . ISBN 0-7803-8104-1.
^ а б Роланд Винн Льюис; Перумал Нитиарасу; К. Н. Ситхараму (2004). Основы метода конечных элементов для тепловых и жидких потоков . Вайли. п. 151. ISBN. 978-0-470-84789-3.

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме постоянной времени .

Преобразование постоянной времени τ в частоту среза fc и наоборот
Все о схемах - Расчет напряжения и тока
Энергетическая и тепловая постоянная времени зданий

[2] Конкретно, система LTI первого порядка - это система, которую можно смоделировать с помощью одного дифференциального уравнения первого порядка во времени. Примеры включают простейшие одноступенчатые электрические RC-цепи и RL-цепи .

[Lipták-1] Бела Г. Липтак (2003). Справочник приборостроителя: Управление процессами и оптимизация (4-е изд.). CRC Press. п. 100. ISBN 978-0-8493-1081-2.

[Wie-3] Бонг Ви (1998). Динамика и управление космическим аппаратом . Американский институт аэронавтики и астронавтики. п. 100 . ISBN 978-1-56347-261-9.

[NATO-4] GR North (1988). «Уроки моделей энергетического баланса» . В Майкле Э. Шлезингере (ред.). Физическое моделирование и моделирование климата и климатических изменений (Институт перспективных исследований НАТО по физическому моделированию, ред.). Springer. НАТО. п. 627. ISBN 978-90-277-2789-3.

[5] Харрис, D .; Сазерленд, И. (2003). «Логическая попытка переноса сумматоров распространения». Тридцать седьмая Asilomar конференция сигналов, системы и компьютеры, 2003 . С. 873–878. DOI : 10,1109 / ACSSC.2003.1292037 . ISBN 0-7803-8104-1.

[Lewis-6] а б Роланд Винн Льюис; Перумал Нитиарасу; К. Н. Ситхараму (2004). Основы метода конечных элементов для тепловых и жидких потоков . Вайли. п. 151. ISBN. 978-0-470-84789-3.

[1]