В системном анализе , среди других областей исследования, линейная инвариантная во времени система (или «система LTI») - это система, которая производит выходной сигнал из любого входного сигнала с учетом ограничений линейности и неизменности во времени ; эти термины кратко определены ниже . Эти свойства применяются (точно или приблизительно) ко многим важным физическим системам, и в этом случае отклик y (t) системы на произвольный вход x (t) может быть найден непосредственно с помощью свертки : y (t) = x (t) ∗ h (t), где h (t) называется импульсной характеристикой системы.и * представляет свертку (не путать с умножением, как это часто используется символом в компьютерных языках ). Более того, существуют систематические методы решения любой такой системы (определения h (t) ), тогда как системы, не отвечающие обоим свойствам, обычно труднее (или невозможно) решить аналитически. Хорошим примером системы LTI является любая электрическая цепь, состоящая из резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности и линейных усилителей. [1]
Теория линейных инвариантных во времени систем также используется при обработке изображений , когда системы имеют пространственные измерения вместо или в дополнение к временному измерению. Эти системы можно назвать линейными, инвариантными к трансляциям, чтобы дать терминологию наиболее общий охват. В случае общих систем с дискретным временем (т. Е. С дискретизацией ) линейный инвариант относительно сдвига является соответствующим термином. Теория систем LTI - это область прикладной математики, которая имеет прямое применение в анализе и проектировании электрических цепей , обработке сигналов и проектировании фильтров , теории управления , машиностроении , обработке изображений , проектировании многих видов измерительных приборов , ЯМР-спектроскопии [ цитата необходима ] , и многие другие технические области, в которых возникают системы обыкновенных дифференциальных уравнений .
Обзор
Определяющими свойствами любой системы LTI являются линейность и неизменность во времени .
- Линейность означает, что отношения между входом и выходом являются результатом линейных дифференциальных уравнений , то есть дифференциальных уравнений, использующих только линейные операторы . Линейная система, которая отображает вход x (t) в выход y (t), будет отображать масштабированный входной ax (t) в выходной ay (t), аналогично масштабированный с тем же коэффициентом a . И принцип суперпозиции применяется к линейной системе: если система отображает входы x 1 (t) и x 2 (t) в выходы y 1 (t) и y 2 (t) соответственно, то она будет отображать x 3 (t) = x 1 (t) + x 2 (t) на выход y 3 (t), где y 3 (t) = y 1 (t) + y 2 (t) .
- Временная инвариантность означает, что независимо от того, применяем ли мы ввод к системе сейчас или через T секунд, вывод будет идентичным, за исключением временной задержки в T секунд. То есть, если вывод из-за ввода является , то вывод из-за ввода является . Следовательно, система инвариантна во времени, потому что выход не зависит от конкретного времени, когда применяется вход.
Фундаментальный результат теории систем LTI состоит в том, что любую систему LTI можно полностью охарактеризовать одной функцией, называемой импульсной характеристикой системы . Выход системы y (t) - это просто свертка входа системы x (t) с импульсной характеристикой системы h (t) . Это называется системой с непрерывным временем . Точно так же линейная инвариантная во времени (или, в более общем смысле, «инвариантная к сдвигу») система с дискретным временем определяется как система, работающая в дискретном времени : y i = x i ∗ h i, где y, x и h - последовательности, а свертка в дискретном времени использует дискретное суммирование, а не интеграл.
Системы LTI также можно охарактеризовать в частотной области с помощью передаточной функции системы , которая представляет собой преобразование Лапласа импульсной характеристики системы (или преобразование Z в случае систем с дискретным временем). В результате свойств этих преобразований выходной сигнал системы в частотной области является произведением передаточной функции и преобразования входа. Другими словами, свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области.
Для всех систем LTI собственные функции и базисные функции преобразований являются комплексными экспонентами . Это если вход в систему представляет собой сигнал сложной формы. для некоторой комплексной амплитуды и комплексная частота , на выходе будет некоторая комплексная константа, умноженная на вход, скажем для некоторой новой комплексной амплитуды . Соотношение - передаточная функция на частоте .
Поскольку синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно сопряженными частотами, если вход в систему является синусоидой, то выход системы также будет синусоидой, возможно, с другой амплитудой и другой фазой , но всегда с та же частота при достижении установившегося состояния. Системы LTI не могут создавать частотные компоненты, которых нет на входе.
Теория систем LTI хороша для описания многих важных систем. Большинство систем LTI считаются "простыми" для анализа, по крайней мере, по сравнению с изменяющимся во времени и / или нелинейным случаем. Любая система, которую можно смоделировать как линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, является системой LTI. Примерами таких систем являются электрические цепи, состоящие из резисторов , катушек индуктивности и конденсаторов (цепи RLC). Идеальные системы пружина-масса-демпфер также являются системами LTI и математически эквивалентны схемам RLC.
Большинство концепций системы LTI схожи между случаями непрерывного и дискретного времени (линейный инвариантный сдвиг). При обработке изображений временная переменная заменяется двумя пространственными переменными, а понятие временной инвариантности заменяется двумерной инвариантностью сдвига. При анализе банков фильтров и систем MIMO часто бывает полезно учитывать векторы сигналов.
Линейная система, которая не зависит от времени, может быть решена с использованием других подходов, таких как метод функции Грина . Тот же метод необходимо использовать, когда начальные условия проблемы не равны нулю. [ необходима цитата ]
Системы непрерывного времени
Импульсная характеристика и свертка
Поведение линейной системы с непрерывным временем и неизменной во времени системой с входным сигналом x ( t ) и выходным сигналом y ( t ) описывается интегралом свертки : [2]
(используя коммутативность )
где реакция системы на импульс : поэтому пропорциональна средневзвешенному значению входной функции Весовая функция просто сдвинут на сумму В виде изменяется, весовая функция выделяет различные части входной функции. Когда равен нулю для всех отрицательных зависит только от значений раньше времени и система называется причинной .
Чтобы понять, почему свертка дает результат системы LTI, пусть обозначение представляют функцию с переменной и постоянный И пусть более короткие обозначения представлять Затем система с непрерывным временем преобразует входную функцию, в функцию вывода, . И вообще, каждое значение вывода может зависеть от каждого значения ввода. Это понятие представлено :
где оператор преобразования времени . В типичной системе наиболее сильно зависит от значений это произошло недалеко от времени Если только преобразование не изменится с функция вывода просто постоянна, и система неинтересна.
Для линейной системы должен удовлетворять уравнению 1 :
( Уравнение 2 )
И требование неизменности во времени :
( Уравнение 3 )
В этих обозначениях мы можем записать импульсную характеристику как
Аналогично :
(используя уравнение 3 )
Подставляя этот результат в интеграл свертки :
которая имеет вид правой части (2 ) для случая а также
Тогда уравнение 2 допускает это продолжение :
Таким образом, функция ввода, может быть представлен континуумом импульсных функций со сдвигом во времени, объединенных «линейно», как показано в уравнении 1 . Свойство линейности системы позволяет представить отклик системы соответствующим континуумом импульсных откликов , скомбинированных таким же образом. И свойство временной инвариантности позволяет представить эту комбинацию интегралом свертки.
Вышеупомянутые математические операции имеют простое графическое моделирование. [3]
Экспоненты как собственные функции
Собственная функция - это функция, для которой вывод оператора является масштабированной версией той же функции. Это,
где f - собственная функция, а- собственное значение , постоянная.
В экспоненциальные функции , где , Являются собственными функциями оператора А линейным , время инвариантно оператора. Простое доказательство иллюстрирует эту концепцию. Предположим, что на входе. Выход системы с импульсным откликом затем
что по коммутативности свертки эквивалентно
где скаляр
зависит только от параметра s .
Таким образом, ответ системы - это масштабированная версия ввода. В частности, для любых, выход системы является произведением входных и постоянная . Следовательно,является собственной функцией системы LTI, а соответствующее собственное значение есть.
Прямое доказательство
Также возможно напрямую вывести комплексные экспоненты как собственные функции систем LTI.
Давай установим некоторые комплексные экспоненты и его версия со сдвигом во времени.
по линейности по постоянной .
по неизменности во времени .
Так . Параметр и переименовав получаем:
т.е. что комплексная экспонента поскольку входной сигнал даст комплексную экспоненту той же частоты, что и выход.
Преобразования Фурье и Лапласа
Свойство экспонент собственной функции очень полезно как для анализа, так и для понимания систем LTI. Одностороннее преобразование Лапласа
это как раз способ получить собственные значения из импульсной характеристики. Особый интерес представляют чистые синусоиды (т. Е. Экспоненциальные функции вида где а также ). Преобразование Фурье дает собственные значения для чистых сложных синусоид. Оба а также называются системной функцией , системным ответом или передаточной функцией .
Преобразование Лапласа обычно используется в контексте односторонних сигналов, то есть сигналов, которые равны нулю для всех значений t, меньших некоторого значения. Обычно это «начальное время» устанавливается равным нулю для удобства и без потери общности, при этом интеграл преобразования берется от нуля до бесконечности (преобразование, показанное выше с нижним пределом интегрирования отрицательной бесконечности, формально известно как двустороннее преобразование Лапласа. преобразовать ).
Преобразование Фурье используется для анализа систем, которые обрабатывают бесконечно протяженные сигналы, такие как модулированные синусоиды, хотя его нельзя напрямую применять к входным и выходным сигналам, которые не интегрируются с квадратом . Преобразование Лапласа фактически работает непосредственно с этими сигналами, если они равны нулю до момента начала, даже если они не интегрируемы с квадратом, для стабильных систем. Преобразование Фурье часто применяется к спектрам бесконечных сигналов с помощью теоремы Винера – Хинчина, даже когда преобразования Фурье сигналов не существуют.
Благодаря свойству свертки обоих этих преобразований, свертка, которая дает выходной сигнал системы, может быть преобразована в умножение в области преобразования, учитывая сигналы, для которых существуют преобразования.
Можно использовать отклик системы напрямую, чтобы определить, как какая-либо конкретная частотная составляющая обрабатывается системой с этим преобразованием Лапласа. Если мы оценим отклик системы (преобразование Лапласа импульсного отклика) на комплексной частоте s = jω , где ω = 2πf , мы получим | H ( s ) | что является коэффициентом усиления системы для частоты f . Относительный фазовый сдвиг между выходом и входом для этой частотной составляющей также определяется как arg (H (s)) .
Примеры
- Простым примером оператора LTI является производная .
- (т.е. линейно)
- (т.е. инвариантен во времени)
- Когда выполняется преобразование Лапласа производной, оно преобразуется в простое умножение на переменную Лапласа s .
- То, что производная имеет такое простое преобразование Лапласа, отчасти объясняет полезность этого преобразования.
- Еще один простой оператор LTI - оператор усреднения.
- По линейности интегрирования
- он линейный. Кроме того, поскольку
- он неизменен во времени. По факту, можно записать в виде свертки с функцией товарного вагона. Это,
- где функция товарного вагона
Важные системные свойства
Некоторые из наиболее важных свойств системы - это причинность и стабильность. Причинность является необходимостью для физической системы, независимой переменной которой является время, однако это ограничение отсутствует в других случаях, таких как обработка изображений.
Причинно-следственная связь
Система является причинной, если выход зависит только от нынешних и прошлых, но не будущих входов. Необходимым и достаточным условием причинности является
где это импульсный отклик. В общем случае невозможно определить причинно-следственную связь с помощью двустороннего преобразования Лапласа . Однако при работе во временной области обычно используется одностороннее преобразование Лапласа, которое требует причинно-следственной связи.
Стабильность
Система является стабильной с ограниченным входом и ограниченным выходом ( стабильной BIBO), если для каждого ограниченного входа выход конечен. Математически, если каждый ввод удовлетворяет
приводит к выходу, удовлетворяющему
(то есть конечное максимальное абсолютное значение из следует конечное максимальное абсолютное значение ), то система устойчива. Необходимым и достаточным условием является то, что, импульсный отклик находится в L 1 (имеет конечную L 1 норму):
В частотной области область сходимости должна содержать мнимую ось.
Например, идеальный фильтр нижних частот с импульсной характеристикой, равной функции sinc, не является стабильным по BIBO, потому что функция sinc не имеет конечной нормы L 1 . Таким образом, для некоторого ограниченного входа выход идеального фильтра нижних частот неограничен. В частности, если вход равен нулю дляи равняется синусоиде на частоте среза для, то выход будет неограниченным все время, кроме нулевых переходов. [ сомнительно ]
Дискретно-временные системы
Почти все в системах с непрерывным временем имеет аналог в системах с дискретным временем.
Системы с дискретным временем из систем с непрерывным временем
Во многих контекстах система с дискретным временем (DT) на самом деле является частью более крупной системы с непрерывным временем (CT). Например, цифровая записывающая система принимает аналоговый звук, оцифровывает его, возможно, обрабатывает цифровые сигналы и воспроизводит аналоговый звук для прослушивания людьми.
В практических системах полученные сигналы DT обычно представляют собой однородно дискретизированные версии сигналов CT. Еслиявляется сигналом CT, то схема дискретизации, используемая перед аналого-цифровым преобразователем , преобразует его в сигнал DT:
где T - период выборки . Перед дискретизацией входной сигнал обычно проходит через так называемый фильтр Найквиста, который удаляет частоты выше «частоты свертки» 1 / (2T); это гарантирует, что никакая информация в отфильтрованном сигнале не будет потеряна. Без фильтрации любой частотный компонент выше частоты свертки (или частоты Найквиста ) накладывается на другую частоту (таким образом искажая исходный сигнал), поскольку сигнал DT может поддерживать только частотные составляющие ниже, чем частота сворачивания.
Импульсная характеристика и свертка
Позволять представляют последовательность
И пусть более короткие обозначения представлять
Дискретная система преобразует входную последовательность, в выходную последовательность, В общем, каждый элемент вывода может зависеть от каждого элемента ввода. Представляя оператор преобразования как, мы можем написать:
Обратите внимание, что если само преобразование не изменится с n , выходная последовательность будет просто постоянной, и система неинтересна. (Таким образом, индекс n .) В типичной системе y [n] наиболее сильно зависит от элементов x , индексы которых близки к n .
Для частного случая функции Кронекера ,выходная последовательность - это импульсная характеристика:
Для линейной системы должен удовлетворять:
( Уравнение 4 )
И требование неизменности во времени:
( Уравнение 5 )
В такой системе импульсная характеристика, полностью характеризует систему. Т.е. для любой входной последовательности выходная последовательность может быть рассчитана с точки зрения входа и импульсной характеристики. Чтобы увидеть, как это делается, рассмотрим личность:
который выражает в терминах суммы взвешенных дельта-функций.
Следовательно:
где мы использовали уравнение 4 для случая а также
И из-за уравнения 5 мы можем написать:
Следовательно:
( коммутативность )
которая является известной формулой дискретной свертки. Операторпоэтому может быть интерпретирован как пропорциональный средневзвешенному значению функции x [k] . Весовая функция - h [-k] , просто сдвинутая на величину n . При изменении n весовая функция выделяет различные части входной функции. Эквивалентно, реакция системы на импульс при n = 0 - это обратная по времени копия несмещенной весовой функции. Когда h [k] равно нулю для всех отрицательных k , система называется причинной .
Экспоненты как собственные функции
Собственная функция - это функция, для которой вывод оператора - это та же функция, масштабированная некоторой константой. В символах
- ,
где f - собственная функция, а- собственное значение , постоянная.
В экспоненциальные функции , где , Являются собственными функциями оператора А линейным , время инвариантно оператора. - интервал выборки, а . Простое доказательство иллюстрирует эту концепцию.
Предположим, что на входе . Выход системы с импульсным откликом затем
что равносильно следующему по коммутативности свертки
где
зависит только от параметра z .
Так является собственной функцией системы LTI, потому что реакция системы такая же, как вход, умноженный на константу.
Z и дискретное преобразование Фурье
Свойство экспонент собственной функции очень полезно как для анализа, так и для понимания систем LTI. Z преобразования
это именно способ получить собственные значения из импульсной характеристики [ требуется пояснение ] . Особый интерес представляют чистые синусоиды, т.е. экспоненты вида, где . Их также можно записать как с участием [ требуется разъяснение ] . Дискретное время преобразования Фурье (ДВПФ)дает собственные значения чистых синусоид [ требуется пояснение ] . Оба а также называются системной функцией , системной реакцией или передаточной функцией » .
Подобно одностороннему преобразованию Лапласа, Z-преобразование обычно используется в контексте односторонних сигналов, то есть сигналов, которые равны нулю при t <0. Ряд Фурье с дискретным временем преобразования Фурье можно использовать для анализа периодических сигналов.
Благодаря свойству свертки обоих этих преобразований, свертка, которая дает выходные данные системы, может быть преобразована в умножение в области преобразования. Это,
Так же, как с передаточной функцией преобразования Лапласа в системном анализе с непрерывным временем, Z-преобразование упрощает анализ систем и понимание их поведения.
Примеры
- Простым примером оператора LTI является оператор задержки. .
- (т.е. линейно)
- (т.е. инвариантен во времени)
- Z-преобразование оператора задержки - это простое умножение на z −1 . Это,
- Еще один простой оператор LTI - это оператор усреднения.
- Из-за линейности сумм
- и так это линейно. Так как,
- он также инвариантен во времени.
Важные системные свойства
Вход-выходные характеристики системы LTI с дискретным временем полностью описываются ее импульсной характеристикой. . Двумя наиболее важными свойствами системы являются причинность и стабильность. Не причинные (во времени) системы могут быть определены и проанализированы, как указано выше, но не могут быть реализованы в реальном времени. Нестабильные системы также можно анализировать и строить, но они полезны только как часть более крупной системы, общая передаточная функция которой стабильна.
Причинно-следственная связь
Система LTI с дискретным временем является причинной, если текущее значение выхода зависит только от текущего значения и прошлых значений входа. [4] Необходимым и достаточным условием причинности является
где это импульсный отклик. В общем случае невозможно определить причинно-следственную связь по Z-преобразованию, потому что обратное преобразование не является уникальным [ сомнительно ] . Когда область конвергенции указана, можно определить причинно-следственную связь.
Стабильность
Система является ограниченным входом, стабильным ограниченным выходом ( стабильной BIBO), если для каждого ограниченного входа выход конечен. Математически, если
подразумевает, что
(то есть, если ограниченный вход предполагает ограниченный выход, в том смысле , что максимальные абсолютные значения из а также конечны), то система устойчива. Необходимым и достаточным условием является то, что, импульсная характеристика удовлетворяет
В частотной области область конвергенции должна содержать единичный круг (т. Е. Геометрическое место, удовлетворяющеедля комплексного z ).
Заметки
- ^ Hespanha 2009, стр. 78.
- ^ Кратчфилд, стр. 1. Добро пожаловать!
- ^ Кратчфилд, стр. 1. Упражнения.
- Перейти ↑ Phillips 2007, p. 508.
Смотрите также
- Циркулянтная матрица
- Частотный отклик
- Импульсивный ответ
- Системный анализ
- Зеленая функция
- График потока сигналов
Рекомендации
- Филлипс, Кл, Парр, Дж. М., и Рискин, Е. А. (2007). Сигналы, системы и преобразования . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-041207-2.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- Hespanha, JP (2009). Теория линейных систем . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-14021-6.
- Кратчфилд, Стив (12 октября 2010 г.), «The Joy of Convolution» , Университет Джона Хопкинса , получено 21 ноября 2010 г.
- Вайдьянатан, PP; Чен, Т. (май 1995 г.). «Роль антикаузальных инверсий в многоскоростных банках фильтров - Часть I: основы теоретической системы» (PDF) . IEEE Trans. Сигнальный процесс . 43 (6): 1090. Bibcode : 1995ITSP ... 43.1090V . DOI : 10.1109 / 78.382395 .
дальнейшее чтение
- Порат, Боаз (1997). Курс цифровой обработки сигналов . Нью-Йорк: Джон Вили. ISBN 978-0-471-14961-3.
- Вайдьянатан, PP; Чен, Т. (май 1995 г.). «Роль антикаузальных инверсий в многоскоростных банках фильтров - Часть I: основы теоретической системы» (PDF) . IEEE Trans. Сигнальный процесс . 43 (5): 1090. Bibcode : 1995ITSP ... 43.1090V . DOI : 10.1109 / 78.382395 .
Внешние ссылки
- ECE 209: Обзор схем как систем LTI - Краткое руководство по математическому анализу (электрических) систем LTI.
- ECE 209: Источники фазового сдвига - дает интуитивное объяснение источника фазового сдвига в двух распространенных электрических системах LTI.
- JHU 520.214 Курс «Сигналы и системы» . Инкапсулированный курс теории систем LTI. Подходит для самообучения.
- Пример системы LTI: RC-фильтр нижних частот . Амплитуда и фазовая характеристика.