Дизайн фильтра

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Декабрь 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Проектирование фильтра - это процесс разработки фильтра обработки сигнала, который удовлетворяет ряду требований, некоторые из которых противоречат друг другу. Цель состоит в том, чтобы найти реализацию фильтра, которая удовлетворяет каждому из требований в достаточной степени, чтобы сделать его полезным.

Процесс проектирования фильтра можно описать как проблему оптимизации, где каждое требование вносит свой вклад в функцию ошибок, которую следует минимизировать. Некоторые части процесса проектирования можно автоматизировать, но обычно для получения хорошего результата требуется опытный инженер-электрик .

Дизайн цифровых фильтров - это обманчиво сложная тема. ^[1] Хотя фильтры легко понять и рассчитать, практические проблемы их разработки и реализации значительны и являются предметом передовых исследований.

Типовые требования к дизайну [ править ]

Типичные требования, которые учитываются в процессе проектирования:

• Фильтр должен иметь определенную частотную характеристику.
• Фильтр должен иметь определенный фазовый сдвиг или групповую задержку.
• Фильтр должен иметь определенный импульсный отклик.
• Фильтр должен быть причинным
• Фильтр должен быть устойчивым
• Фильтр должен быть локализованным (импульсные или ступенчатые входы должны приводить к конечным временным выходам)
• Вычислительная сложность фильтра должна быть невысокой.
• Фильтр должен быть реализован в конкретном аппаратном или программном обеспечении.

Функция частоты [ править ]

Важный параметр - необходимая частотная характеристика . В частности, крутизна и сложность кривой отклика являются решающим фактором для порядка фильтрации и осуществимости.

Рекурсивный фильтр первого порядка будет иметь только один частотно-зависимый компонент. Это означает, что крутизна частотной характеристики ограничена 6 дБ на октаву . Для многих целей этого недостаточно. Для получения более крутых склонов требуются фильтры более высокого порядка.

В отношении желаемой частотной функции также может быть сопутствующая весовая функция, которая описывает для каждой частоты, насколько важно, чтобы результирующая частотная функция приближалась к желаемой. Чем больше вес, тем важнее приближение.

Типичные примеры частотной функции:

• Фильтр нижних частот используются для резки нежелательных высокочастотных сигналов.
• Фильтр высоких частот проходит высокие частоты достаточно хорошо; он полезен в качестве фильтра для отсечения нежелательных низкочастотных компонентов.
• Полосовой фильтр проходит ограниченный диапазон частот.
• Полосно-стоп фильтр пропускает частоты выше и ниже определенного диапазона. Очень узкий полосовой фильтр известен как режекторный фильтр.
• Дифференцирующий имеет амплитудную характеристику , пропорциональную частоту.
• Фильтр нижних частот пропускает все частоты, но увеличивает или уменьшает частоты ниже частоты полки на заданную величину.
• Полочный фильтр верхних частот пропускает все частоты, но увеличивает или уменьшает частоты выше полочной на заданную величину.
• Пиковый фильтр эквалайзера создает пик или провал в частотной характеристике, обычно используемый в параметрических эквалайзерах .

Фаза и групповая задержка [ править ]

• Пропускной фильтр пропускает все частоты без изменений, но изменяет фазу сигнала. Фильтры этого типа могут использоваться для выравнивания групповой задержки рекурсивных фильтров. Этот фильтр также используется в эффектах фазера .
• Гильберт трансформатор является специфическим все-пропускающим фильтром , который проходит синусоиды с неизменной амплитудой , но сдвигами каждой синусоиды фазы на ± 90 °.
• Фильтр с дробной задержкой - это всепроходный фильтр с заданной постоянной групповой или фазовой задержкой для всех частот.

Импульсный отклик [ править ]

Между частотной функцией фильтра и его импульсной характеристикой существует прямое соответствие: первое является преобразованием Фурье второго. Это означает, что любое требование к функции частоты является требованием к импульсной характеристике, и наоборот.

Однако в некоторых приложениях может быть явной импульсной характеристикой фильтра, и затем процесс проектирования направлен на получение как можно более близкого приближения к запрошенной импульсной характеристике с учетом всех других требований.

В некоторых случаях может быть даже уместным рассмотреть частотную функцию и импульсную характеристику фильтра, которые выбираются независимо друг от друга. Например, нам может потребоваться как конкретная частотная функция фильтра, так и чтобы результирующий фильтр имел небольшую эффективную ширину в области сигнала, насколько это возможно. Последнее условие можно реализовать, рассматривая очень узкую функцию как желаемую импульсную характеристику фильтра, даже если эта функция не имеет отношения к желаемой частотной функции. Затем цель процесса проектирования - реализовать фильтр, который пытается максимально удовлетворить обе эти противоречащие друг другу цели проектирования.

Причинность [ править ]

Чтобы быть реализованным, любой зависящий от времени фильтр (работающий в реальном времени) должен быть причинным : ответ фильтра зависит только от текущих и прошлых входов. Стандартный подход - оставить это требование до последнего шага. Если результирующий фильтр не является причинным, его можно сделать причинным путем введения соответствующего временного сдвига (или задержки). Если фильтр является частью более крупной системы (что обычно и является), эти типы задержек следует вводить с осторожностью, поскольку они влияют на работу всей системы.

Фильтры, которые не работают в реальном времени (например, для обработки изображений), могут быть непричинными. Это, например, позволяет проектировать рекурсивные фильтры с нулевой задержкой, где групповая задержка причинного фильтра отменяется его эрмитовым непричинным фильтром.

Стабильность [ править ]

Стабильно фильтр гарантирует , что каждый ограниченный входной сигнал производит ограниченный отклик фильтра. Фильтр, не отвечающий этому требованию, в некоторых ситуациях может оказаться бесполезным или даже вредным. Определенные подходы к проектированию могут гарантировать стабильность, например, используя только схемы с прямой связью, такие как КИХ-фильтр. С другой стороны, фильтры на основе схем обратной связи имеют другие преимущества и поэтому могут быть предпочтительнее, даже если этот класс фильтров включает нестабильные фильтры. В этом случае фильтры должны быть тщательно спроектированы, чтобы избежать нестабильности.

Местоположение [ править ]

В определенных приложениях нам приходится иметь дело с сигналами, которые содержат компоненты, которые можно описать как локальные явления, например, импульсы или шаги, которые имеют определенную продолжительность времени. Следствием применения фильтра к сигналу является, на интуитивном уровне, то, что продолжительность локальных явлений увеличивается на ширину фильтра. Это означает, что иногда важно, чтобы ширина функции импульсной характеристики фильтра была как можно короче.

Согласно соотношению неопределенностей преобразования Фурье произведение ширины функции импульсного отклика фильтра и ширины его частотной функции должно превышать некоторую константу. Это означает, что любое требование к местоположению фильтра также подразумевает ограничение ширины его частотной функции. Следовательно, может оказаться невозможным одновременно удовлетворить требования к локализации функции импульсной характеристики фильтра, а также к его частотной функции. Это типичный пример противоречивых требований.

Вычислительная сложность [ править ]

Общее стремление в любом проекте состоит в том, чтобы количество операций (сложения и умножения), необходимых для вычисления отклика фильтра, было как можно меньшим. В некоторых приложениях это требование является строгим требованием, например, из-за ограниченных вычислительных ресурсов, ограниченных ресурсов мощности или ограниченного времени. Последнее ограничение характерно для приложений реального времени.

Фильтр может иметь разную вычислительную сложность несколькими способами. Например, порядок фильтра более или менее пропорционален количеству операций. Это означает, что, выбрав фильтр нижнего порядка, можно сократить время вычислений.

Для дискретных фильтров вычислительная сложность более или менее пропорциональна количеству коэффициентов фильтра. Если фильтр имеет много коэффициентов, например, в случае многомерных сигналов, таких как данные томографии, может быть уместным уменьшить количество коэффициентов, удалив те, которые достаточно близки к нулю. В многоскоростных фильтрах - количество коэффициентов за счет использования пределов полосы пропускания, при которых входной сигнал субдискретизируется (например, до его критической частоты) и повышается после фильтрации.

Другой вопрос, связанный с вычислительной сложностью, - это разделимость, то есть, можно ли и как можно записать фильтр как свертку двух или более простых фильтров. В частности, этот вопрос важен для многомерных фильтров, например, 2D-фильтров, которые используются при обработке изображений. В этом случае можно получить значительное снижение вычислительной сложности, если фильтр можно разделить как свертку одного одномерного фильтра в горизонтальном направлении и одного одномерного фильтра в вертикальном направлении. Результатом процесса проектирования фильтра может быть, например, аппроксимация некоторого желаемого фильтра как разделяемого фильтра или как сумма разделяемых фильтров.

Другие соображения [ править ]

Также необходимо решить, как будет реализован фильтр:

• Аналоговый фильтр
• Аналоговый дискретизированный фильтр
• Цифровой фильтр
• Механический фильтр

Аналоговые фильтры [ править ]

Конструкция линейных аналоговых фильтров по большей части рассматривается в разделе линейных фильтров .

Цифровые фильтры [ править ]

Цифровые фильтры подразделяются на одну из двух основных форм в зависимости от того, как они реагируют на единичный импульс :

• Фильтры с конечной импульсной характеристикой или FIR выражают каждую выходную выборку как взвешенную сумму последних N входных выборок, где N - порядок фильтра. КИХ-фильтры обычно не рекурсивны, то есть в них не используется обратная связь, и поэтому они по своей сути стабильны. Скользящий средний фильтр или CIC фильтр представляет собой примеры фильтров КИХ, которые обычно рекурсивные (что использование обратной связь). Если коэффициенты КИХ симметричны (часто бывает), то такой фильтр имеет линейную фазу , поэтому он задерживаетсигналы всех частот одинаково, что важно во многих приложениях. Также просто избежать переполнения КИХ-фильтра. Основным недостатком является то, что они могут потребовать значительно больше ресурсов обработки и памяти, чем продуманные варианты IIR. КИХ-фильтры, как правило, проще разработать, чем БИХ-фильтры - алгоритм проектирования фильтров Паркса-Макклеллана (основанный на алгоритме Ремеза ) является одним из подходящих методов для полуавтоматического проектирования неплохих фильтров. (См. Методологию .)
• Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой или БИХ- фильтры являются цифровым аналогом аналоговых фильтров. Такой фильтр содержит внутреннее состояние, а выход и следующее внутреннее состояние определяются линейной комбинацией предыдущих входов и выходов (другими словами, они используют обратную связь , чего обычно нет в КИХ-фильтрах). Теоретически импульсная характеристика такого фильтра никогда не гаснет полностью, отсюда и название IIR, хотя на практике это неверно, учитывая конечное разрешение компьютерной арифметики. БИХ-фильтры обычно требуют меньше вычислительных ресурсов, чем КИХ-фильтр аналогичной производительности. Однако из - за обратной связи, БИХ - фильтры высокого порядка могут иметь проблемы с нестабильностью ,арифметическое переполнение и ограничение циклов , и требуют тщательного проектирования, чтобы избежать таких ошибок. Кроме того, поскольку фазовый сдвиг по своей природе является нелинейной функцией частоты, временная задержка через такой фильтр зависит от частоты, что может быть проблемой во многих ситуациях. БИХ-фильтры 2-го порядка часто называют « биквадами », и обычная реализация фильтров более высокого порядка - каскадирование биквадов. Полезный справочник по вычислению биквадратных коэффициентов - это RBJ Audio EQ Cookbook .

Частота дискретизации [ править ]

Если частота дискретизации не фиксируется каким-либо внешним ограничением, выбор подходящей частоты дискретизации является важным дизайнерским решением. Для высокой скорости потребуется больше вычислительных ресурсов, но меньше - с точки зрения фильтров сглаживания . Помехи и биение других сигналов в системе также могут быть проблемой.

Сглаживание [ править ]

При разработке любого цифрового фильтра крайне важно анализировать и избегать эффектов наложения спектров . Часто это делается путем добавления аналоговых фильтров сглаживания на входе и выходе, что позволяет избежать любой частотной составляющей, превышающей частоту Найквиста . Сложность (то есть крутизна) таких фильтров зависит от требуемого отношения сигнал / шум и отношения между частотой дискретизации и максимальной частотой сигнала.

Теоретические основы [ править ]

Части проблемы проектирования связаны с тем фактом, что одни требования описаны в частотной области, а другие выражены в области сигналов, и что они могут противоречить. Например, невозможно получить фильтр, который имеет как произвольную импульсную характеристику, так и произвольную частотную функцию. Другие эффекты, которые относятся к отношениям между сигналом и частотной областью:

• Принцип неопределенности между сигнальной и частотной областями
• Теорема о продолжении дисперсии
• Асимптотика одной области относительно разрывов в другой

Принцип неопределенности [ править ]

Согласно пределу Габора , принципу неопределенности, произведение ширины частотной функции и ширины импульсной характеристики не может быть меньше определенной константы. Это означает, что если запрашивается конкретная частотная функция, соответствующая определенной ширине частот, устанавливается минимальная ширина фильтра в области сигнала. И наоборот, если задана максимальная ширина отклика, это определяет наименьшую возможную ширину в частоте. Это типичный пример противоречивых требований, когда процесс проектирования фильтра может попытаться найти полезный компромисс.

Теорема о расширении дисперсии [ править ]

Позвольте быть дисперсией входного сигнала и позвольте быть дисперсией фильтра. Тогда дисперсия отклика фильтра определяется выражением${\ Displaystyle \ sigma _ {s} ^ {2}}$${\ displaystyle \ sigma _ {f} ^ {2}}$${\displaystyle \sigma _{r}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{r}^{2}}$= +${\displaystyle \sigma _{s}^{2}}$${\displaystyle \sigma _{f}^{2}}$

Это означает, что и подразумевает, что локализация различных функций, таких как импульсы или шаги в ответе фильтра, ограничена шириной фильтра в области сигнала. Если требуется точная локализация, нам понадобится фильтр малой ширины в области сигнала, и, в соответствии с принципом неопределенности, его ширина в частотной области не может быть произвольно малой.${\displaystyle \sigma _{r}>\sigma _{f}}$

Разрывы против асимптотического поведения [ править ]

Пусть f (t) - функция и пусть - ее преобразование Фурье. Существует теорема, которая утверждает, что если первая производная F, которая является разрывной, имеет порядок , то f имеет асимптотическое убывание, подобное .${\displaystyle F(\omega )}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle t^{-n-1}}$

Следствием этой теоремы является то, что частотная функция фильтра должна быть как можно более гладкой, чтобы его импульсная характеристика имела быстрое затухание и, следовательно, короткую ширину.

Методология [ править ]

Одним из распространенных методов проектирования КИХ-фильтров является алгоритм проектирования фильтров Паркса-Макклеллана , основанный на алгоритме обмена Ремеза . Здесь пользователь задает требуемую частотную характеристику, весовую функцию на наличие ошибок из этого ответа, и порядок фильтра N . Затем алгоритм находит набор из N коэффициентов, которые минимизируют максимальное отклонение от идеала. Интуитивно это находит фильтр, который максимально приближен к желаемому отклику, учитывая, что вы можете использовать только N коэффициентов. Этот метод особенно прост на практике, и по крайней мере один текст ^[2] включает программу, которая берет желаемый фильтр и Nи возвращает оптимальные коэффициенты. Одним из возможных недостатков фильтров, разработанных таким образом, является то, что они содержат много мелких колебаний в полосе (ах) пропускания, поскольку такой фильтр минимизирует пиковую ошибку.

Другой метод поиска дискретного КИХ-фильтра - это оптимизация фильтра, описанная в Knutsson et al., Которая минимизирует интеграл квадрата ошибки вместо ее максимального значения. В своей базовой форме этот подход требует, чтобы идеальная частотная функция фильтра была определена вместе с частотной весовой функцией и набором координат в области сигнала, где расположены коэффициенты фильтра.${\displaystyle F_{I}(\omega )}$${\displaystyle W(\omega )}$${\displaystyle x_{k}}$

Функция ошибок определяется как${\displaystyle \varepsilon }$

${\displaystyle \varepsilon =\|W\cdot (F_{I}-{\mathcal {F}}\{f\})\|^{2}}$

где - дискретный фильтр, а - дискретное преобразование Фурье, определенное на заданном наборе координат. Используемая здесь норма формально является обычной нормой в пространствах. Это означает , что измеряет отклонение между запрашиваемой частотной функцией фильтра, и фактической частотной функцией реализованного фильтра, . Однако отклонение также подлежит взвешиванию перед вычислением функции ошибок.${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle F_{I}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}}$${\displaystyle W}$

Как только функция ошибок установлена, оптимальный фильтр задается коэффициентами, которые минимизируют . Это можно сделать, решив соответствующую задачу наименьших квадратов. На практике норма должна быть аппроксимирована подходящей суммой по дискретным точкам в частотной области. В общем, однако, эти точки должны быть значительно больше, чем количество коэффициентов в области сигнала, чтобы получить полезное приближение.${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle L^{2}}$

Одновременная оптимизация в обоих доменах [ править ]

Предыдущий метод может быть расширен за счет включения дополнительного члена ошибки, относящегося к желаемой импульсной характеристике фильтра в области сигнала, с соответствующей весовой функцией. Идеальная импульсная характеристика может быть выбрана независимо от функции идеальной частоты, и на практике она используется для ограничения эффективной ширины и устранения эффектов звона результирующего фильтра в области сигнала. Это делается путем выбора узкой идеальной функции импульсного отклика фильтра, например, импульса, и весовой функции, которая быстро растет с расстоянием от начала координат, например квадратом расстояния. Оптимальный фильтр по-прежнему может быть вычислен путем решения простой задачи наименьших квадратов, и тогда полученный фильтр представляет собой «компромисс», который имеет полное оптимальное соответствие идеальным функциям в обеих областях.Важным параметром является относительная сила двух весовых функций, которая определяет, в какой области более важно иметь хорошее соответствие по сравнению с идеальной функцией.

См. Также [ править ]

• Цифровой фильтр
• Фильтр прототипа
• Конечная импульсная характеристика # Конструкция фильтра

Ссылки [ править ]

• А. Антониу (1993). Цифровые фильтры: анализ, дизайн и приложения (2-е изд.). Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. ISBN 978-0-07-002117-4.
• А. Антониу (2006). Цифровая обработка сигналов: сигналы, системы и фильтры . Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. DOI : 10.1036 / 0071454241 . ISBN 978-0-07-145424-7.
• SWA Bergen; А. Антониу (2005). «Разработка нерекурсивных цифровых фильтров с использованием функции ультрасферического окна» . Журнал EURASIP по прикладной обработке сигналов . 2005 (12): 1910. DOI : 10,1155 / ASP.2005.1910 .
• А.Г. Децкий (октябрь 1972 г.). «Синтез рекурсивных цифровых фильтров с использованием критерия минимальной p-ошибки». IEEE Trans. Аудио Электроакустика . AU-20 (4): 257–263. DOI : 10.1109 / TAU.1972.1162392 .
• Дж. К. Кайзер (1974). «Нерекурсивный дизайн цифрового фильтра с использованием оконной функции I ₀ -sinh». Proc. 1974 IEEE Int. Symp. Теория схем (ISCAS74) . Сан-Франциско, Калифорния. С. 20–23.
• Х. Кнутссон; М. Андерссон; Дж. Виклунд (июнь 1999 г.). «Расширенный дизайн фильтров». Proc. Скандинавский симпозиум по анализу изображений, Кангерлуссуак, Гренландия .
• СК Митра (1998). Цифровая обработка сигналов: компьютерный подход . Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, штат Нью-Йорк. ISBN 978-0-07-286546-2.
• А. В. Оппенгейм; Р. В. Шафер; Дж. Р. Бак (1999). Обработка сигналов в дискретном времени . Прентис-Холл, Верхняя Седл-Ривер, штат Нью-Джерси. ISBN 978-0-13-754920-7.
• TW Парки; Дж. Х. Макклеллан (март 1972 г.). «Приближение Чебышева для нерекурсивных цифровых фильтров с линейной фазой». IEEE Trans. Теория схем . КТ-19 (2): 189–194. DOI : 10.1109 / TCT.1972.1083419 .
• Л.Р. Рабинер; Дж. Х. Макклеллан; TW Parks (апрель 1975 г.). «Методы проектирования цифровых КИХ-фильтров с использованием взвешенного приближения Чебышева». Proc. IEEE . 63 (4): 595–610. DOI : 10,1109 / PROC.1975.9794 .

Внешние ссылки [ править ]

• Обширный список статей и программного обеспечения по проектированию фильтров на сайте Circuit Sage
• Список программного обеспечения для проектирования цифровых фильтров в dspGuru
• Демистификация конструкции аналогового фильтра
• Учебник по цифровой обработке звука Yehar для безумцев! Эта статья просто объясняет (среди других тем) теорию дизайна фильтров и дает несколько примеров.