Фильтр высоких частот

Частотная характеристика фильтра высоких частот

Фильтр верхних частот ( ФВЧ ) представляет собой электронный фильтр , который проходит сигналы с частотой выше , чем определенная частотой среза и ослабляют сигналы с частотами ниже частоты среза. Величина ослабления для каждой частоты зависит от конструкции фильтра. Фильтр верхних частот обычно моделируется как линейная система, не зависящая от времени . Его иногда называют фильтром низких частот или фильтром среза низких частот в контексте аудиотехники. ^[1]Фильтры верхних частот имеют множество применений, например, блокируют постоянный ток от схем, чувствительных к ненулевым средним напряжениям, или радиочастотных устройств. Их также можно использовать вместе с фильтром нижних частот для создания полосового фильтра .

В оптической области, верхние частоты и нижние частоты имеют противоположный смысл, с «верхними частотами» фильтром (более обычно «длинный проходом») , проходящий только более длинные длинами волн (нижние частоты), и наоборот для «низкого пас »(чаще« короткий пас »). ^{[2] [3]}

Непрерывная реализация первого порядка [ править ]

Рисунок 1: Пассивный аналоговый фильтр верхних частот первого порядка, реализованный посредством RC-цепи.

Простой электронный фильтр верхних частот первого порядка, показанный на рисунке 1, реализован путем подачи входного напряжения на последовательную комбинацию конденсатора и резистора и использования напряжения на резисторе в качестве выхода. Передаточная функция этой системы линейной инвариантной по времени является:

${\ displaystyle {\ frac {V_ {out} (s)} {V_ {in} (s)}} = {\ frac {sRC} {1 + sRC}}.}$

Произведение сопротивления и емкости ( R × C ) - постоянная времени (τ); она обратно пропорциональна частоте среза f _c , то есть

${\ displaystyle f_ {c} = {\ frac {1} {2 \ pi \ tau}} = {\ frac {1} {2 \ pi RC}}, \,}$

где f _c в герцах , τ в секундах , R в омах и C в фарадах . Частота среза - это то место, где полюс фильтра выравнивает частотную характеристику фильтра .

Рисунок 2: Активный фильтр верхних частот

На рисунке 2 показана активная электронная реализация фильтра верхних частот первого порядка с использованием операционного усилителя . Передаточная функция этой линейной неизменной во времени системы равна:

${\displaystyle {\frac {V_{out}(s)}{V_{in}(s)}}={\frac {-sR_{2}C}{1+sR_{1}C}}.}$

В этом случае фильтр имеет коэффициент усиления полосы пропускания -R ₂ / R ₁ и частоту среза

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi \tau }}={\frac {1}{2\pi R_{1}C}},\,}$

Поскольку этот фильтр активен , он может иметь коэффициент усиления полосы пропускания, отличный от единицы . То есть высокочастотные сигналы инвертируются и усиливаются посредством R ₂ / R ₁ .

Дискретно-временная реализация [ править ]

Также могут быть разработаны фильтры высоких частот с дискретным временем. Создание дискретного фильтра выходит за рамки данной статьи; однако простой пример - это преобразование фильтра верхних частот с непрерывным временем, описанного выше, в реализацию с дискретным временем. То есть поведение в непрерывном времени может быть дискретизировано .

Из схемы на рисунке 1 выше, согласно законам Кирхгофа и определению емкости :

${\displaystyle {\begin{cases}V_{\text{out}}(t)=I(t)\,R&{\text{(V)}}\\Q_{c}(t)=C\,\left(V_{\text{in}}(t)-V_{\text{out}}(t)\right)&{\text{(Q)}}\\I(t)={\frac {\operatorname {d} Q_{c}}{\operatorname {d} t}}&{\text{(I)}}\end{cases}}}$

где заряд, накопленный в конденсаторе в момент времени . Подстановка уравнения (Q) в уравнение (I), а затем уравнения (I) в уравнение (V) дает:${\displaystyle Q_{c}(t)}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle V_{\text{out}}(t)=\overbrace {C\,\left({\frac {\operatorname {d} V_{\text{in}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} V_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}\right)} ^{I(t)}\,R=RC\,\left({\frac {\operatorname {d} V_{\text{in}}}{\operatorname {d} t}}-{\frac {\operatorname {d} V_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}\right)}$

Это уравнение можно дискретизировать. Для простоты предположим, что выборки входных и выходных данных берутся в равномерно распределенные моменты времени, разделенные временем. Пусть образцы представлены последовательностью , а пусть будут представлены последовательностью, которая соответствует одним и тем же моментам времени. Выполнение этих замен:${\displaystyle \Delta _{T}}$${\displaystyle V_{\text{in}}}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle V_{\text{out}}}$${\displaystyle (y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$

${\displaystyle y_{i}=RC\,\left({\frac {x_{i}-x_{i-1}}{\Delta _{T}}}-{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}}\right)}$

И перестановка членов дает рекуррентное соотношение

${\displaystyle y_{i}=\overbrace {{\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}y_{i-1}} ^{\text{Decaying contribution from prior inputs}}+\overbrace {{\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\left(x_{i}-x_{i-1}\right)} ^{\text{Contribution from change in input}}}$

То есть эта дискретная реализация простого RC-фильтра верхних частот непрерывного времени является

${\displaystyle y_{i}=\alpha y_{i-1}+\alpha (x_{i}-x_{i-1})\qquad {\text{where}}\qquad \alpha \triangleq {\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}}$

По определению . Выражение для параметра дает эквивалентную постоянную времени с точки зрения периода выборки и :${\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle RC}$${\displaystyle \Delta _{T}}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle RC=\Delta _{T}\left({\frac {\alpha }{1-\alpha }}\right)}$.

Напоминая, что

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}}$ так ${\displaystyle RC={\frac {1}{2\pi f_{c}}}}$

то и связаны между собой:${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f_{c}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}}$

и

${\displaystyle f_{c}={\frac {1-\alpha }{2\pi \alpha \Delta _{T}}}}$.

Если , то постоянная времени равна периоду выборки. Если , то значительно меньше, чем интервал выборки, и .${\displaystyle \alpha =0.5}$${\displaystyle RC}$${\displaystyle \alpha \ll 0.5}$${\displaystyle RC}$${\displaystyle RC\approx \alpha \Delta _{T}}$

Алгоритмическая реализация [ править ]

Отношение рекуррентности фильтра обеспечивает способ определения выходных выборок в терминах входных выборок и предшествующих выходных данных. Следующий алгоритм псевдокода будет моделировать влияние фильтра верхних частот на серию цифровых отсчетов, предполагая, что отсчеты расположены на одинаковом расстоянии:

// Возвращаем выходные выборки RC фильтра верхних частот, заданные входные выборки,// интервал времени dt и постоянная времени RC функция highpass ( real [0..n] x, real dt, real RC) var  real [0..n] y var  real α: = RC / (RC + dt) y [0]: = x [0] для i от 1 до n y [i]: = α × y [i − 1] + α × (x [i] - x [i − 1]) вернуть y

Цикл , который вычисляет каждый из выходов может быть переработан в эквивалент:${\displaystyle n}$

 для i от 1 до n y [i]: = α × (y [i − 1] + x [i] - x [i − 1])

Однако в более ранней форме показано, как параметр α изменяет влияние предыдущего выхода y [i-1] и текущего изменения на входе (x [i] - x [i-1]) . Особенно,

• Большое значение α означает, что выход будет затухать очень медленно, но на него также сильно влияют даже небольшие изменения входного сигнала. По соотношению между параметром α и постоянной времени, указанным выше, большое значение α соответствует большой и, следовательно, низкой угловой частоте фильтра. Следовательно, этот случай соответствует фильтру верхних частот с очень узкой полосой заграждения. Поскольку он возбуждается небольшими изменениями и имеет тенденцию сохранять свои предыдущие выходные значения в течение длительного времени, он может передавать относительно низкие частоты. Однако постоянный вход (т.е. вход с (x [i] - x [i-1]) = 0 ) всегда будет затухать до нуля, как можно было бы ожидать от фильтра высоких частот с большим .${\displaystyle RC}$${\displaystyle RC}$${\displaystyle RC}$
• Малое значение α означает, что выход будет быстро затухать и потребует больших изменений входных данных (т. Е. (X [i] - x [i-1]) велико), чтобы выходные данные сильно изменились. По соотношению между параметром α и постоянной времени, указанным выше, малое значение α соответствует небольшой и, следовательно, высокой угловой частоте фильтра. Следовательно, этот случай соответствует фильтру высоких частот с очень широкой полосой заграждения. Поскольку он требует больших (то есть быстрых) изменений и имеет тенденцию быстро забывать свои предыдущие выходные значения, он может пропускать только относительно высокие частоты, как и следовало ожидать от фильтра высоких частот с маленьким .${\displaystyle RC}$${\displaystyle RC}$${\displaystyle RC}$

Приложения [ править ]

Аудио [ править ]

Фильтры высоких частот имеют множество применений. Они используются как часть кроссовера аудио, чтобы направлять высокие частоты на твитер, при этом ослабляя басовые сигналы, которые могут помешать или повредить динамик. Когда такой фильтр встроен в корпус громкоговорителя, это обычно пассивный фильтр, который также включает в себя фильтр нижних частот для низкочастотного динамика и часто использует как конденсатор, так и индуктор (хотя очень простые фильтры верхних частот для высокочастотных динамиков могут состоять из последовательный конденсатор и ничего больше). В качестве примера приведенная выше формула, приложенный к высокочастотному динамику с R = 10 Ом, будет определять емкость конденсатора для частоты среза 5 кГц. , или примерно 3,2 мкФ.${\displaystyle C={\frac {1}{2\pi fR}}={\frac {1}{6.28\times 5000\times 10}}=3.18\times 10^{-6}}$

Альтернативой, которая обеспечивает звук хорошего качества без катушек индуктивности (которые подвержены паразитной связи, являются дорогими и могут иметь значительное внутреннее сопротивление), является использование двойного усиления с активными RC-фильтрами или активных цифровых фильтров с отдельными усилителями мощности для каждого громкоговорителя . Такие слаботочные и низковольтные кроссоверы линейных уровней называются активными кроссоверами . ^[1]

Фильтры шума - это фильтры верхних частот, применяемые для удаления нежелательных звуков вблизи нижнего предела слышимого диапазона или ниже. Например, шумы (например, шаги или моторные шумы проигрывателей и магнитофонов ) могут быть удалены, потому что они нежелательны, или могут перегрузить схему выравнивания RIAA предусилителя . ^[1]

Фильтры верхних частот также используются для связи по переменному току на входах многих усилителей мощности звука , для предотвращения усиления постоянных токов, которые могут повредить усилитель, лишить усилитель запаса мощности и генерировать избыточное тепло в звуковой катушке громкоговорителей . Один усилитель, профессиональная аудиомодель DC300, выпускаемая Crown International в начале 1960-х годов, вообще не имела фильтрации верхних частот и могла использоваться для усиления сигнала постоянного тока от обычной 9-вольтовой батареи на входе для питания 18 вольт. Постоянный ток в аварийной ситуации для питания микшерного пульта . ^[4]Однако базовая конструкция этой модели была заменена более новыми конструкциями, такими как серия Crown Macro-Tech, разработанная в конце 1980-х годов, которая включала фильтрацию высоких частот 10 Гц на входах и переключаемую фильтрацию высоких частот 35 Гц на выходах. ^[5] Другим примером является серия усилителей QSC Audio PLX, которая включает в себя внутренний фильтр высоких частот 5 Гц, который применяется ко входам всякий раз, когда отключаются дополнительные фильтры высоких частот 50 и 30 Гц. ^[6]

Микшерные пульты часто включают фильтрацию высоких частот на каждой полосе каналов . Некоторые модели имеют фильтры верхних частот с фиксированной крутизной и фиксированной частотой на 80 или 100 Гц, которые могут быть задействованы; другие модели имеют регулируемые фильтры верхних частот, фильтры с фиксированным наклоном, которые можно установить в заданном диапазоне частот, например от 20 до 400 Гц на Midas Heritage 3000 или от 20 до 20 000 Гц на цифровой микшерной консоли Yamaha M7CL . Ветеран системного инженера и микшер живого звука Брюс Мейн рекомендует использовать фильтры высоких частот для большинства источников входного сигнала микшера, за исключением таких, как бочка , бас-гитара и фортепиано, источники, которые будут иметь полезные низкочастотные звуки. Main пишет, что DI unitвходы (в отличие от микрофона входов) не нужны высокие частоты фильтрации , поскольку они не подвергаются модуляциям низкочастотной стадии моют -LOW звуков частоты , поступающие от сабвуфер или общественной адресной системы и оборачивать вокруг на сцену. Main указывает на то, что фильтры высоких частот обычно используются для направленных микрофонов, которые имеют эффект близости - усиление низких частот для очень близких источников. Это усиление низких частот обычно вызывает проблемы до 200 или 300 Гц, но Мэйн отмечает, что он видел микрофоны, которые выигрывают от настройки фильтра высоких частот 500 Гц на консоли. ^[7]

Изображение [ править ]

Фильтры верхних и нижних частот также используются в цифровой обработке изображений для модификации изображения, улучшения, уменьшения шума и т. Д. С использованием конструкций, выполненных либо в пространственной, либо в частотной области . ^[8] Операция нерезкого маскирования или повышения резкости, используемая в программном обеспечении для редактирования изображений, представляет собой фильтр высокого усиления, обобщение фильтра высоких частот.

См. Также [ править ]

• DSL фильтр
• Полосовой фильтр
• Косой тройник
• Дифференциатор

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с фильтрами верхних частот .

• Общие импульсные реакции
• ECE 209: Обзор схем как систем LTI , краткое руководство по математическому анализу (электрических) систем LTI.
• ECE 209: Источники фазового сдвига , интуитивно понятное объяснение источника фазового сдвига в фильтре высоких частот. Также проверяет простую пассивную передаточную функцию LPF с помощью тригонометрического тождества.