Линейная инвариантная во времени система

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Апрель 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В системном анализе , среди других областей исследования, линейная инвариантная во времени система (или «система LTI») - это система, которая производит выходной сигнал из любого входного сигнала с учетом ограничений линейности и неизменности во времени ; эти термины кратко определены ниже . Эти свойства применяются (точно или приблизительно) ко многим важным физическим системам, и в этом случае отклик y (t) системы на произвольный вход x (t) может быть найден непосредственно с помощью свертки : y (t) = x (t) * h (t), где h (t) называется импульсной характеристикой системы.и * представляет свертку (не путать с умножением, как это часто используется символом в компьютерных языках ). Более того, существуют систематические методы решения любой такой системы (определения h (t) ), тогда как системы, не отвечающие обоим свойствам, обычно труднее (или невозможно) решить аналитически. Хорошим примером системы LTI является любая электрическая цепь, состоящая из резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности и линейных усилителей. ^[1]

Теория линейных неизменяющихся во времени систем также используется при обработке изображений , когда системы имеют пространственные измерения вместо или в дополнение к временному измерению. Эти системы могут называться линейными инвариантными к трансляции, чтобы дать терминологию наиболее общий охват. В случае типичных систем с дискретным временем (т. Е. Дискретизированных ) линейный инвариант сдвига является соответствующим термином. Теория систем LTI - это область прикладной математики, которая находит прямое применение в анализе и проектировании электрических цепей , обработке сигналов и проектировании фильтров , теории управления ,машиностроение , обработка изображений , дизайн измерительных приборов многих видов, ЯМР - спектроскопии ^{[ править ]} , а также многие другие технические областей , где система обыкновенных дифференциальных уравнений явившаяся.

Обзор [ править ]

Определяющими свойствами любой системы LTI являются линейность и неизменность во времени .

• Линейность означает, что отношения между входом и выходом являются результатом линейных дифференциальных уравнений , то есть дифференциальных уравнений, использующих только линейные операторы . Линейная система, которая отображает вход x (t) в выход y (t), будет отображать масштабированный входной ax (t) в выход ay (t), также масштабированный с тем же коэффициентом a . И принцип суперпозиции применяется к линейной системе: если система отображает входы x ₁ (t) и x ₂ (t) на выходы y ₁ (t)и y ₂ (t) соответственно, то он отобразит x ₃ (t) = x ₁ (t) + x ₂ (t) в выход y ₃ (t), где y ₃ (t) = y ₁ (t) + у ₂ (т) .

• Инвариантность во времени означает, что независимо от того, применяем ли мы ввод к системе сейчас или через T секунд, вывод будет идентичным, за исключением временной задержки T секунд. То есть, если выходной сигнал за счет ввода является , то выход за счет ввода является . Следовательно, система инвариантна во времени, потому что выходные данные не зависят от конкретного времени, когда применяется вход.${\ Displaystyle х (т)}$${\ Displaystyle у (т)}$${\ Displaystyle х (tT)}$${\ displaystyle y (tT)}$

Фундаментальный результат теории систем LTI состоит в том, что любую систему LTI можно полностью охарактеризовать с помощью одной функции, называемой импульсной характеристикой системы . Выход системы y (t) - это просто свертка входа системы x (t) с импульсной характеристикой системы h (t) . Это называется системой с непрерывным временем . Точно так же линейная инвариантная во времени (или, в более общем смысле, «инвариантная к сдвигу») система с дискретным временем определяется как система, работающая в дискретном времени : y _i = x _i * h _i, где y, x и h - последовательности а свертка в дискретном времени использует дискретное суммирование, а не интеграл.

Системы LTI также можно охарактеризовать в частотной области с помощью передаточной функции системы , которая представляет собой преобразование Лапласа импульсной характеристики системы (или преобразование Z в случае систем с дискретным временем). В результате свойств этих преобразований выходной сигнал системы в частотной области является произведением передаточной функции и преобразования входа. Другими словами, свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области.

Для всех систем LTI собственные функции и базисные функции преобразований являются комплексными экспонентами . То есть, если вход в систему представляет собой сложную форму волны для некоторой комплексной амплитуды и комплексной частоты , на выходе будет некоторая комплексная постоянная, умноженная на вход, скажем, для некоторой новой комплексной амплитуды . Отношение - это передаточная функция на частоте .${\ displaystyle A_ {s} e ^ {st}}$${\ displaystyle A_ {s}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle B_ {s} e ^ {st}}$${\ displaystyle B_ {s}}$${\ displaystyle B_ {s} / A_ {s}}$${\ displaystyle s}$

Поскольку синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно сопряженными частотами, если вход в систему является синусоидой, то выходной сигнал системы также будет синусоидой, возможно, с другой амплитудой и другой фазой , но всегда с та же частота при достижении установившегося состояния. Системы LTI не могут создавать частотные компоненты, которых нет на входе.

Теория систем LTI хороша для описания многих важных систем. Большинство систем LTI считаются "простыми" для анализа, по крайней мере, по сравнению с изменяющимся во времени и / или нелинейным случаем. Любая система, которую можно смоделировать как линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, является системой LTI. Примерами таких систем являются электрические цепи, состоящие из резисторов , катушек индуктивности и конденсаторов (цепи RLC). Идеальные системы пружина-масса-демпфер также являются системами LTI и математически эквивалентны схемам RLC.

Большинство концепций системы LTI схожи между случаями непрерывного и дискретного времени (линейный инвариантный сдвиг). При обработке изображений временная переменная заменяется двумя пространственными переменными, а понятие временной инвариантности заменяется двумерной инвариантностью сдвига. При анализе банков фильтров и систем MIMO часто бывает полезно учитывать векторы сигналов.

Линейная система, которая не зависит от времени, может быть решена с использованием других подходов, таких как метод функции Грина . Тот же метод необходимо использовать, когда начальные условия проблемы не равны нулю. ^{[ необходима цитата ]}

Системы непрерывного времени [ править ]

Импульсная характеристика и свертка [ править ]

Поведение линейной системы с непрерывным временем и неизменной во времени системой с входным сигналом x ( t ) и выходным сигналом y ( t ) описывается интегралом свертки : ^[2]

${\ Displaystyle у (т) = (х * ч) (т) \,}$	${\ displaystyle {} \ quad {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (t- \ tau) \ cdot h (\ tau) \, \ mathrm {d} \ tau}$
	${\ displaystyle {} \ quad = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {\ infty} x (\ tau) \ cdot h (t- \ tau) \, \ mathrm {d} \ tau,}$       (используя коммутативность )

где - реакция системы на импульс : следовательно, пропорциональна средневзвешенному значению входной функции   . Весовая функция просто сдвигается на величину.   При изменении весовая функция выделяет различные части входной функции. Когда равен нулю для всех отрицательных значений, зависит только от значений до времени,   и система называется причинной .${\ Displaystyle \ textstyle ч (т)}$  ${\ Displaystyle \ textstyle х (\ тау) = \ дельта (\ тау).}$   ${\ Displaystyle \ textstyle у (т)}$${\ Displaystyle \ textstyle х (\ тау).}$${\displaystyle \textstyle h(-\tau ),}$${\displaystyle \textstyle t.}$${\displaystyle \textstyle t}$${\displaystyle \textstyle h(\tau )}$${\displaystyle \textstyle \tau ,}$  ${\displaystyle \textstyle y(t)}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle t,}$

Для того, чтобы понять , почему свертка производит выходной сигнал системы LTI, пусть обозначения представляют собой функцию с переменной и постоянной   И пусть короче обозначения представляют Затем с непрерывным временем система переходит функции входа, в выходной функции, . И вообще, каждое значение вывода может зависеть от каждого значения ввода. Это понятие представлено :${\displaystyle \textstyle \{x(u-\tau );\ u\}}$${\displaystyle \textstyle x(u-\tau )}$${\displaystyle \textstyle u}$${\displaystyle \textstyle \tau .}$${\displaystyle \textstyle \{x\}\,}$${\displaystyle \textstyle \{x(u);\ u\}.}$${\displaystyle \textstyle \{x\},}$${\displaystyle \textstyle \{y\}}$

${\displaystyle y(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t}\{x\},}$

где - оператор преобразования времени . В типичной системе наиболее сильно зависит от значений , произошедших в ближайшее время,   если только само преобразование не изменяется с выходной функцией, которая просто постоянна, и система неинтересна.${\displaystyle \textstyle O_{t}}$${\displaystyle \textstyle t}$${\displaystyle \textstyle y(t)}$${\displaystyle \textstyle x}$${\displaystyle \textstyle t.}$${\displaystyle \textstyle t,}$

Для линейной системы должно удовлетворять уравнение 1 :${\displaystyle \textstyle O}$

${\displaystyle O_{t}\left\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ x_{\tau }(u)\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }c_{\tau }\ \underbrace {y_{\tau }(t)} _{O_{t}\{x_{\tau }\}}\,\mathrm {d} \tau .\,}$

( Уравнение 2 )

И требование неизменности во времени :

${\displaystyle {\begin{aligned}O_{t}\{x(u-\tau );\ u\}\ &{\stackrel {\quad }{=}}\ y(t-\tau )\\&{\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t-\tau }\{x\}.\,\end{aligned}}}$

( Уравнение 3 )

В этих обозначениях мы можем записать импульсную характеристику как  ${\displaystyle \textstyle h(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t}\{\delta (u);\ u\}.}$

Аналогично :

${\displaystyle h(t-\tau )\,}$	${\displaystyle {}{\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{t-\tau }\{\delta (u);\ u\}}$
	${\displaystyle {}=O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}.\,}$       (используя уравнение 3 )

Подставляя этот результат в интеграл свертки :

${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot h(t-\tau )\,\mathrm {d} \tau \\[4pt]&=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot O_{t}\{\delta (u-\tau );\ u\}\,\mathrm {d} \tau ,\,\end{aligned}}}$

которая имеет вид правой части уравнения 2 для случая, а уравнение 2 допускает такое продолжение :${\displaystyle \textstyle c_{\tau }=x(\tau )}$${\displaystyle \textstyle x_{\tau }(u)=\delta (u-\tau ).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(x*h)(t)&=O_{t}\left\{\int \limits _{-\infty }^{\infty }x(\tau )\cdot \delta (u-\tau )\,\mathrm {d} \tau ;\ u\right\}\\&=O_{t}\left\{x(u);\ u\right\}\\&\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ y(t).\,\end{aligned}}}$

Таким образом, входная функция   может быть представлена ​​континуумом импульсных функций со сдвигом во времени, объединенных «линейно», как показано в уравнении 1 . Свойство линейности системы позволяет отображать реакцию системы в виде соответствующего континуума импульсных характеристик , объединенных таким же образом. И свойство временной инвариантности позволяет представить эту комбинацию интегралом свертки.${\displaystyle \textstyle \{x\},}$

Вышеупомянутые математические операции имеют простое графическое моделирование. ^[3]

Экспоненты как собственные функции [ править ]

Собственная функция - это функция, для которой вывод оператора является масштабированной версией той же функции. То есть,

${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f,}$

где f - собственная функция, а - постоянное собственное значение .${\displaystyle \lambda }$

В экспоненциальных функциях , где , являются собственными функциями оператора А линейным , время инвариантно оператора. Простое доказательство иллюстрирует эту концепцию. Предположим на входе . Выход системы с импульсной характеристикой тогда${\displaystyle Ae^{st}}$${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle x(t)=Ae^{st}}$${\displaystyle h(t)}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )Ae^{s\tau }\,\operatorname {d} \tau }$

что по коммутативности свертки эквивалентно

${\displaystyle {\begin{aligned}\overbrace {\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{s(t-\tau )}\,\operatorname {d} \tau } ^{{\mathcal {H}}f}&=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,Ae^{st}e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau \\&=Ae^{st}\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )\,e^{-s\tau }\,\operatorname {d} \tau \\&=\overbrace {\underbrace {Ae^{st}} _{\text{Input}}} ^{f}\overbrace {\underbrace {H(s)} _{\text{Scalar}}} ^{\lambda },\end{aligned}}}$

где скаляр

${\displaystyle H(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t}$

зависит только от параметра s .

Таким образом, ответ системы - это масштабированная версия ввода. В частности, для любого , выходной сигнал системы является произведением входа и константы . Следовательно, - собственная функция системы LTI, а соответствующее собственное значение - .${\displaystyle A,s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle Ae^{st}}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle Ae^{st}}$${\displaystyle H(s)}$

Прямое доказательство [ править ]

Также возможно напрямую вывести комплексные экспоненты как собственные функции систем LTI.

Давайте установим некоторую сложную экспоненту и ее версию со сдвигом во времени.${\displaystyle v(t)=e^{i\omega t}}$${\displaystyle v_{a}(t)=e^{i\omega (t+a)}}$

${\displaystyle H[v_{a}](t)=e^{i\omega a}H[v](t)}$по линейности по константе .${\displaystyle e^{i\omega a}}$

${\displaystyle H[v_{a}](t)=H[v](t+a)}$по неизменности времени .${\displaystyle H}$

Итак . Установка и переименование получаем:${\displaystyle H[v](t+a)=e^{i\omega a}H[v](t)}$${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle H[v](\tau )=e^{i\omega \tau }H[v](0)}$

т.е. комплексная экспонента на входе даст комплексную экспоненту той же частоты, что и на выходе.${\displaystyle e^{i\omega \tau }}$

Преобразования Фурье и Лапласа [ править ]

Свойство экспонент собственной функции очень полезно как для анализа, так и для понимания систем LTI. Одностороннее преобразование Лапласа

${\displaystyle H(s)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\mathcal {L}}\{h(t)\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,\operatorname {d} t}$

именно так можно получить собственные значения из импульсной характеристики. Особый интерес представляют чистые синусоиды (т. Е. Экспоненциальные функции вида где и ). Преобразование Фурье дает собственные значения для чистых комплексных синусоид. Обе функции и называются системной функцией , системным ответом или передаточной функцией .${\displaystyle e^{j\omega t}}$${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$${\displaystyle j\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\sqrt {-1}}}$ ${\displaystyle H(j\omega )={\mathcal {F}}\{h(t)\}}$${\displaystyle H(s)}$${\displaystyle H(j\omega )}$

Преобразование Лапласа обычно используется в контексте односторонних сигналов, то есть сигналов, которые равны нулю для всех значений t, меньших некоторого значения. Обычно это «начальное время» устанавливается равным нулю для удобства и без потери общности, причем интеграл преобразования берется от нуля до бесконечности (преобразование, показанное выше с нижним пределом интегрирования отрицательной бесконечности, формально известно как двустороннее преобразование Лапласа. преобразовать ).

Преобразование Фурье используется для анализа систем, обрабатывающих бесконечно протяженные сигналы, такие как модулированные синусоиды, хотя его нельзя напрямую применять к входным и выходным сигналам, которые не интегрируются с квадратом . Преобразование Лапласа фактически работает непосредственно для этих сигналов, если они равны нулю до момента начала, даже если они не интегрируются с квадратом для стабильных систем. Преобразование Фурье часто применяется к спектрам бесконечных сигналов с помощью теоремы Винера – Хинчина, даже когда преобразования Фурье сигналов не существуют.

Благодаря свойству свертки обоих этих преобразований, свертка, которая дает выходной сигнал системы, может быть преобразована в умножение в области преобразования, учитывая сигналы, для которых существуют преобразования.

${\displaystyle y(t)=(h*x)(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }h(t-\tau )x(\tau )\,\operatorname {d} \tau \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)X(s)\}.}$

Можно использовать отклик системы напрямую, чтобы определить, как любой конкретный частотный компонент обрабатывается системой с этим преобразованием Лапласа. Если мы оценим отклик системы (преобразование Лапласа импульсного отклика) на комплексной частоте s = jω , где ω = 2πf , мы получим | H ( s ) | что является коэффициентом усиления системы для частоты f . Относительный фазовый сдвиг между выходом и входом для этой частотной составляющей аналогично определяется как arg (H (s)) .

Примеры [ править ]

• Простым примером оператора LTI является производная .
  • ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}\left(c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\right)=c_{1}x'_{1}(t)+c_{2}x'_{2}(t)}$   (т.е. линейно)
  • ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}x(t-\tau )=x'(t-\tau )}$   (т. е. не зависит от времени)

Когда выполняется преобразование Лапласа производной, оно преобразуется в простое умножение на переменную Лапласа s .

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}x(t)\right\}=sX(s)}$

То, что производная имеет такое простое преобразование Лапласа, частично объясняет полезность этого преобразования.

• Еще один простой оператор LTI - это оператор усреднения.

${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{t-a}^{t+a}x(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda .}$

По линейности интегрирования

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\{c_{1}x_{1}(t)+c_{2}x_{2}(t)\}&=\int _{t-a}^{t+a}(c_{1}x_{1}(\lambda )+c_{2}x_{2}(\lambda ))\,\operatorname {d} \lambda \\&=c_{1}\int _{t-a}^{t+a}x_{1}(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda +c_{2}\int _{t-a}^{t+a}x_{2}(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda \\&=c_{1}{\mathcal {A}}\{x_{1}(t)\}+c_{2}{\mathcal {A}}\{x_{2}(t)\},\end{aligned}}}$

он линейный. Кроме того, поскольку

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x(t-\tau )\right\}&=\int _{t-a}^{t+a}x(\lambda -\tau )\,\operatorname {d} \lambda \\&=\int _{(t-\tau )-a}^{(t-\tau )+a}x(\xi )\,\operatorname {d} \xi \\&={\mathcal {A}}\{x\}(t-\tau ),\end{aligned}}}$

он неизменен во времени. Фактически, это может быть записано как свертка с функцией товарного вагона . То есть,${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Pi (t)}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x(t)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }\Pi \left({\frac {\lambda -t}{2a}}\right)x(\lambda )\,\operatorname {d} \lambda ,}$

где функция товарного вагона

${\displaystyle \Pi (t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {\begin{cases}1&{\text{if }}|t|<{\frac {1}{2}},\\0&{\text{if }}|t|>{\frac {1}{2}}.\end{cases}}}$

Важные системные свойства [ править ]

Некоторые из наиболее важных свойств системы - это причинность и стабильность. Причинность является необходимостью для физической системы, независимой переменной которой является время, однако это ограничение отсутствует в других случаях, таких как обработка изображений.

Причинность [ править ]

Система является причинной, если выход зависит только от нынешних и прошлых, но не будущих входов. Необходимым и достаточным условием причинности является

${\displaystyle h(t)=0\quad \forall t<0,}$

где - импульсная характеристика. В общем случае невозможно определить причинность с помощью двустороннего преобразования Лапласа . Однако при работе во временной области обычно используется одностороннее преобразование Лапласа, которое требует причинности.${\displaystyle h(t)}$

Стабильность [ править ]

Система является стабильной с ограниченным входом и ограниченным выходом ( стабильной BIBO), если для каждого ограниченного входа выход конечен. Математически, если каждый ввод удовлетворяет

${\displaystyle \ \|x(t)\|_{\infty }<\infty }$

приводит к выходу, удовлетворяющему

${\displaystyle \ \|y(t)\|_{\infty }<\infty }$

(то есть конечное максимальное абсолютное значение из означает конечное максимальное абсолютное значение ), то система устойчива. Необходимым и достаточным условием является то , что импульсный отклик находится в L 1 (имеет конечную норму L ¹ ):${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle h(t)}$

${\displaystyle \ \|h(t)\|_{1}=\int _{-\infty }^{\infty }|h(t)|\,\operatorname {d} t<\infty .}$

В частотной области область схождения должна содержать мнимую ось .${\displaystyle s=j\omega }$

Например, идеальный фильтр нижних частот с импульсной характеристикой, равной функции sinc, не является стабильным по BIBO, потому что функция sinc не имеет конечной нормы L ¹ . Таким образом, для некоторого ограниченного входа выход идеального фильтра нижних частот неограничен. В частности, если вход равен нулю для и равен синусоиде на частоте отсечки для , то выход будет неограниченным для всех времен, кроме переходов через ноль. ^{[ сомнительно - обсудить ]}${\displaystyle t<0\,}$${\displaystyle t>0\,}$

Системы с дискретным временем [ править ]

Почти все в системах с непрерывным временем имеет аналог в системах с дискретным временем.

Системы с дискретным временем из систем с непрерывным временем [ править ]

Во многих контекстах система с дискретным временем (DT) на самом деле является частью более крупной системы непрерывного времени (CT). Например, система цифровой записи принимает аналоговый звук, оцифровывает его, возможно, обрабатывает цифровые сигналы и воспроизводит аналоговый звук для прослушивания людьми.

В практических системах полученные сигналы DT обычно представляют собой однородно дискретизированные версии сигналов CT. Если это сигнал CT, то схема дискретизации, используемая перед аналого-цифровым преобразователем , преобразует его в сигнал DT:${\displaystyle x(t)}$

${\displaystyle x_{n}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ x(nT)\qquad \forall \,n\in \mathbb {Z} ,}$

где T - период выборки . Перед дискретизацией входной сигнал обычно пропускается через так называемый фильтр Найквиста, который удаляет частоты выше «частоты свертки» 1 / (2T); это гарантирует, что никакая информация в отфильтрованном сигнале не будет потеряна. Без фильтрации любой частотный компонент выше частоты свертки (или частоты Найквиста ) накладывается на другую частоту (таким образом искажая исходный сигнал), поскольку сигнал DT может поддерживать только частотные составляющие ниже, чем частота сворачивания.

Импульсная характеристика и свертка [ править ]

Пусть представляют последовательность${\displaystyle \{x[m-k];\ m\}}$${\displaystyle \{x[m-k];{\text{ for all integer values of }}m\}.}$

И пусть более короткие обозначения представляют${\displaystyle \{x\}\,}$${\displaystyle \{x[m];\ m\}.}$

Дискретная система преобразует входную последовательность в выходную последовательность. В общем, каждый элемент выхода может зависеть от каждого элемента входа. Представляя оператор преобразования как , мы можем написать:${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{y\}.}$${\displaystyle O}$

${\displaystyle y[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{n}\{x\}.}$

Обратите внимание, что если само преобразование не изменится с n , выходная последовательность будет просто постоянной, и система неинтересна. (Таким образом, индекс n .) В типичной системе y [n] наиболее сильно зависит от элементов x , индексы которых близки к n .

Для специального случая дельта - функции Кронекера , выходная последовательность представляет собой импульсную характеристику:${\displaystyle x[m]=\delta [m],}$

${\displaystyle h[n]\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{n}\{\delta [m];\ m\}.\,}$

Для линейной системы должно удовлетворять:${\displaystyle O}$

${\displaystyle O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot x_{k}[m];\ m\right\}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}\cdot O_{n}\{x_{k}\}.\,}$

( Уравнение 4 )

И требование неизменности во времени:

${\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{x[m-k];\ m\}\ &{\stackrel {\quad }{=}}\ y[n-k]\\&{\stackrel {\text{def}}{=}}\ O_{n-k}\{x\}.\,\end{aligned}}}$

( Уравнение 5 )

В такой системе импульсная характеристика полностью характеризует систему. Т.е. для любой входной последовательности выходная последовательность может быть рассчитана с точки зрения входа и импульсной характеристики. Чтобы увидеть, как это делается, рассмотрим личность:${\displaystyle \{h\},\,}$

${\displaystyle x[m]\equiv \sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k],\,}$

который выражается через сумму взвешенных дельта-функций.${\displaystyle \{x\}}$

Следовательно:

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]=O_{n}\{x\}&=O_{n}\left\{\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot \delta [m-k];\ m\right\}\\&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot O_{n}\{\delta [m-k];\ m\},\,\end{aligned}}}$

где мы использовали уравнение 4 для случая и${\displaystyle c_{k}=x[k]\,}$${\displaystyle x_{k}[m]=\delta [m-k].\,}$

И благодаря уравнению 5 мы можем написать:

${\displaystyle {\begin{aligned}O_{n}\{\delta [m-k];\ m\}\ &{\stackrel {\quad }{=}}\ O_{n-k}\{\delta [m];\ m\}\\&{\stackrel {\text{def}}{=}}\ h[n-k].\,\end{aligned}}}$

Следовательно:

${\displaystyle y[n]\,}$	${\displaystyle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[k]\cdot h[n-k]\,}$
	${\displaystyle =\sum _{k=-\infty }^{\infty }x[n-k]\cdot h[k],}$       ( коммутативность )

которая является известной формулой дискретной свертки. Следовательно, оператор можно интерпретировать как пропорциональный средневзвешенному значению функции x [k] . Весовая функция h [-k] , просто сдвинутая на величину n . При изменении n весовая функция выделяет различные части входной функции. Эквивалентно, реакция системы на импульс при n = 0 представляет собой инвертированную по времени копию несмещенной весовой функции. Когда h [k] равно нулю для всех отрицательных k , система называется причинной .${\displaystyle O_{n}}$

Экспоненты как собственные функции [ править ]

Собственная функция - это функция, для которой вывод оператора - это та же функция, масштабированная некоторой константой. В символах

${\displaystyle {\mathcal {H}}f=\lambda f}$,

где f - собственная функция, а - постоянное собственное значение .${\displaystyle \lambda }$

В экспоненциальных функциях , где , являются собственными функциями оператора А линейным , время инвариантно оператора. - интервал выборки, и . Простое доказательство иллюстрирует эту концепцию.${\displaystyle z^{n}=e^{sTn}}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle T\in \mathbb {R} }$${\displaystyle z=e^{sT},\ z,s\in \mathbb {C} }$

Предположим на входе . Выход системы с импульсной характеристикой тогда${\displaystyle x[n]=\,\!z^{n}}$${\displaystyle h[n]}$

${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]\,z^{m}}$

что равносильно следующему по коммутативности свертки

${\displaystyle \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{(n-m)}=z^{n}\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]\,z^{-m}=z^{n}H(z)}$

куда

${\displaystyle H(z)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{m=-\infty }^{\infty }h[m]z^{-m}}$

зависит только от параметра z .

Таким образом , является собственной функцией из системы LTI , так как реакция системы такой же , как входные времена постоянных .${\displaystyle z^{n}}$${\displaystyle H(z)}$

Z и дискретное преобразование Фурье [ править ]

Свойство экспонент собственной функции очень полезно как для анализа, так и для понимания систем LTI. Z преобразования

${\displaystyle H(z)={\mathcal {Z}}\{h[n]\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]z^{-n}}$

это именно способ получить собственные значения из импульсной характеристики ^{[ требуется пояснение ]} . Особый интерес представляют чистые синусоиды, т.е. экспоненты вида , где . Их также можно записать с помощью ^{[ требуется пояснение ]} . Преобразование Фурье с дискретным временем (DTFT) дает собственные значения чистых синусоид ^{[ требуется пояснение ]} . Обе функции и называются системной функцией , ответной реакцией системы или передаточной функцией .${\displaystyle e^{j\omega n}}$${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} }$${\displaystyle z^{n}}$${\displaystyle z=e^{j\omega }}$${\displaystyle H(e^{j\omega })={\mathcal {F}}\{h[n]\}}$${\displaystyle H(z)}$${\displaystyle H(e^{j\omega })}$

Подобно одностороннему преобразованию Лапласа, Z-преобразование обычно используется в контексте односторонних сигналов, то есть сигналов, которые равны нулю при t <0. Ряд Фурье с дискретным временем преобразования Фурье можно использовать для анализа периодических сигналов.

Благодаря свойству свертки обоих этих преобразований, свертка, которая дает выходные данные системы, может быть преобразована в умножение в области преобразования. То есть,

${\displaystyle y[n]=(h*x)[n]=\sum _{m=-\infty }^{\infty }h[n-m]x[m]={\mathcal {Z}}^{-1}\{H(z)X(z)\}.}$

Так же, как с передаточной функцией преобразования Лапласа в системном анализе с непрерывным временем, Z-преобразование упрощает анализ систем и понимание их поведения.

Примеры [ править ]

• Простым примером оператора LTI является оператор задержки .${\displaystyle D\{x[n]\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ x[n-1]}$
  • ${\displaystyle D\left(c_{1}\cdot x_{1}[n]+c_{2}\cdot x_{2}[n]\right)=c_{1}\cdot x_{1}[n-1]+c_{2}\cdot x_{2}[n-1]=c_{1}\cdot Dx_{1}[n]+c_{2}\cdot Dx_{2}[n]}$   (т.е. линейно)
  • ${\displaystyle D\{x[n-m]\}=x[n-m-1]=x[(n-1)-m]=D\{x\}[n-m]\,}$   (т. е. не зависит от времени)

Z-преобразование оператора задержки - это простое умножение на z ⁻¹ . То есть,

${\displaystyle {\mathcal {Z}}\left\{Dx[n]\right\}=z^{-1}X(z).}$

• Еще один простой оператор LTI - оператор усреднения

${\displaystyle {\mathcal {A}}\left\{x[n]\right\}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{k=n-a}^{n+a}x[k].}$

Из-за линейности сумм

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{c_{1}x_{1}[n]+c_{2}x_{2}[n]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}\left(c_{1}x_{1}[k]+c_{2}x_{2}[k]\right)\\&=c_{1}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{1}[k]+c_{2}\sum _{k=n-a}^{n+a}x_{2}[k]\\&=c_{1}{\mathcal {A}}\left\{x_{1}[n]\right\}+c_{2}{\mathcal {A}}\left\{x_{2}[n]\right\},\end{aligned}}}$

и так он линейный. Потому что,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {A}}\left\{x[n-m]\right\}&=\sum _{k=n-a}^{n+a}x[k-m]\\&=\sum _{k'=(n-m)-a}^{(n-m)+a}x[k']\\&={\mathcal {A}}\left\{x\right\}[n-m],\end{aligned}}}$

он также инвариантен во времени.

Важные системные свойства [ править ]

Характеристики ввода-вывода системы LTI с дискретным временем полностью описываются ее импульсной характеристикой . Двумя наиболее важными свойствами системы являются причинность и стабильность. Не причинные (во времени) системы могут быть определены и проанализированы, как указано выше, но не могут быть реализованы в реальном времени. Неустойчивые системы также можно анализировать и строить, но они полезны только как часть более крупной системы, общая передаточная функция которой стабильна.${\displaystyle h[n]}$

Причинность [ править ]

Система LTI с дискретным временем является причинной, если текущее значение выхода зависит только от текущего значения и прошлых значений входа. ^[4] Необходимым и достаточным условием причинно-следственной связи является

${\displaystyle h[n]=0\ \forall n<0,}$

где - импульсная характеристика. В общем случае невозможно определить причинно-следственную связь по Z-преобразованию, потому что обратное преобразование не является уникальным ^{[ сомнительно - обсудить ]} . Когда область конвергенции указана, можно определить причинно-следственную связь.${\displaystyle h[n]}$

Стабильность [ править ]

Система является ограниченным входом, стабильным ограниченным выходом ( стабильной BIBO), если для каждого ограниченного входа выход конечен. Математически, если

${\displaystyle \ \|x[n]\|_{\infty }<\infty }$

подразумевает, что

${\displaystyle \ \|y[n]\|_{\infty }<\infty }$

(то есть, если ограниченный вход предполагает ограниченный выход, в том смысле , что максимальные абсолютные значения из и конечности), то система устойчива. Необходимым и достаточным условием является то , что импульсная характеристика удовлетворяет${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle y[n]}$${\displaystyle h[n]}$

${\displaystyle \|h[n]\|_{1}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \sum _{n=-\infty }^{\infty }|h[n]|<\infty .}$

В частотной области область сходимости должна содержать единичную окружность (т. Е. Геометрическое место, удовлетворяющее комплексному z ).${\displaystyle |z|=1}$

Примечания [ править ]

См. Также [ править ]

• Циркулянтная матрица
• Частотный отклик
• Импульсивный ответ
• Системный анализ
• Зеленая функция
• График потока сигналов

Ссылки [ править ]

• Филлипс, Кл, Парр, Дж. М., и Рискин, Е. А. (2007). Сигналы, системы и преобразования . Прентис Холл. ISBN 978-0-13-041207-2.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Hespanha, JP (2009). Теория линейных систем . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-14021-6.
• Кратчфилд, Стив (12 октября 2010 г.), «The Joy of Convolution» , Университет Джона Хопкинса , получено 21 ноября 2010 г.
• Вайдьянатан, PP; Чен, Т. (май 1995 г.). «Роль антикаузальных инверсий в многоскоростных банках фильтров - Часть I: основы теоретической системы» (PDF) . IEEE Trans. Сигнальный процесс . 43 (6): 1090. Bibcode : 1995ITSP ... 43.1090V . DOI : 10.1109 / 78.382395 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• ECE 209: Обзор схем как систем LTI  - Краткое руководство по математическому анализу (электрических) систем LTI.
• ECE 209: Источники фазового сдвига  - дает интуитивно понятное объяснение источника фазового сдвига в двух распространенных электрических системах LTI.
• JHU 520.214 Курс «Сигналы и системы» . Инкапсулированный курс теории систем LTI. Подходит для самообучения.
• Пример системы LTI: RC-фильтр нижних частот . Амплитуда и фазовая характеристика.