В математической динамике , с дискретным временем и непрерывным временем две альтернативные рамки , в пределах которых моделировать переменные , которые развиваются с течением времени.
Дискретное время
Дискретное время рассматривает значения переменных как происходящие в различные, отдельные «моменты времени» или, что эквивалентно, как неизменные в каждом ненулевом отрезке времени («период времени»), то есть время рассматривается как дискретная переменная . Таким образом, не-временная переменная перескакивает от одного значения к другому по мере того, как время перемещается от одного временного периода к другому. Такое представление времени соответствует цифровым часам, которые какое-то время показывают фиксированное значение 10:37, а затем перескакивают на новое фиксированное значение 10:38 и т. Д. В этой структуре каждая интересующая переменная измеряется один раз в каждую временной период. Количество измерений между любыми двумя периодами времени конечно. Измерения обычно производятся при последовательных целочисленных значениях переменной «время».
Дискретный сигнал или дискретное время сигнал является временной ряд , состоящей из последовательности величин.
В отличие от сигнала с непрерывным временем, сигнал с дискретным временем не является функцией непрерывного аргумента; однако это могло быть получено путем выборки из сигнала непрерывного времени. Когда сигнал с дискретным временем получается путем дискретизации последовательности через равные промежутки времени, он имеет соответствующую частоту дискретизации .
Сигналы с дискретным временем могут иметь несколько источников, но обычно их можно разделить на две группы: [1]
- Путем получения значений аналогового сигнала с постоянной или переменной скоростью. Этот процесс называется отбором проб . [2]
- Наблюдая по своей сути дискретный по времени процесс, например, за еженедельное пиковое значение определенного экономического показателя.
Непрерывное время
Напротив, непрерывное время рассматривает переменные как имеющие определенное значение потенциально только на бесконечно короткий промежуток времени. Между любыми двумя моментами времени есть бесконечное количество других моментов времени. Переменная «время» охватывает всю строку действительных чисел или, в зависимости от контекста, некоторое ее подмножество, например неотрицательные числа. Таким образом, время рассматривается как непрерывная переменная .
Непрерывный сигнал или непрерывное время сигнал является изменяющимся количеством (а сигнал ), область, которая часто занимает много времени, является континуумом (например, подключенный интервал из чисел ). То есть область действия функции - бесчисленное множество . Сама функция не обязательно должна быть непрерывной . Напротив, сигнал с дискретным временем имеет счетную область, как и натуральные числа .
Сигнал непрерывной амплитуды и времени известен как сигнал непрерывного времени или аналоговый сигнал . Этот ( сигнал ) будет иметь некоторую ценность в каждый момент времени. Электрические сигналы, полученные пропорционально физическим величинам, таким как температура, давление, звук и т. Д., Обычно являются непрерывными сигналами. Другими примерами непрерывных сигналов являются синусоидальная волна, косинусная волна, треугольная волна и т. Д.
Сигнал определяется в области, которая может быть или не быть конечной, и существует функциональное отображение из области в значение сигнала. Непрерывность временной переменной в связи с законом плотности действительных чисел означает, что значение сигнала может быть найдено в любой произвольный момент времени.
Типичный пример сигнала бесконечной длительности:
Аналогом вышеуказанного сигнала с конечной длительностью может быть:
а также иначе.
Значение сигнала конечной (или бесконечной) длительности может быть или не быть конечным. Например,
а также иначе,
является сигналом конечной длительности, но он принимает бесконечное значение для .
Во многих дисциплинах принято, что непрерывный сигнал всегда должен иметь конечное значение, что имеет больше смысла в случае физических сигналов.
Для некоторых целей допустимы бесконечные сингулярности, если сигнал интегрируем на любом конечном интервале (например, сигнал не интегрируется на бесконечности, но является).
Любой аналоговый сигнал по своей природе непрерывен. Сигналы с дискретным временем , используемые в цифровой обработке сигналов , могут быть получены путем дискретизации и квантования непрерывных сигналов.
Непрерывный сигнал также может быть определен по независимой переменной, кроме времени. Другой очень распространенной независимой переменной является пространство, которое особенно полезно при обработке изображений , когда используются два пространственных измерения.
Соответствующие контексты
Дискретное время часто используется, когда речь идет об эмпирических измерениях , потому что обычно можно измерять переменные только последовательно. Например, хотя экономическая деятельность на самом деле происходит непрерывно, и не существует момента, когда экономика полностью находится в состоянии паузы, экономическую активность можно измерить только дискретно. По этой причине опубликованные данные, например, о валовом внутреннем продукте будут отображать последовательность квартальных значений.
Когда кто-то пытается эмпирически объяснить такие переменные в терминах других переменных и / или их собственных предшествующих значений, он использует методы временных рядов или регрессии, в которых переменные индексируются с нижним индексом, указывающим период времени, в котором произошло наблюдение. Например, y t может относиться к значению дохода, наблюдаемому в неопределенный период времени t , y 3 к значению дохода, наблюдаемому в третий период времени, и т. Д.
Более того, когда исследователь пытается разработать теорию для объяснения того, что наблюдается в дискретном времени, часто сама теория выражается в дискретном времени, чтобы облегчить разработку временного ряда или регрессионной модели.
С другой стороны, часто с математической точки зрения проще построить теоретические модели в непрерывном времени, и часто в таких областях, как физика , точное описание требует использования непрерывного времени. В контексте непрерывного времени значение переменной y в неустановленный момент времени обозначается как y ( t ) или, когда смысл ясен, просто как y .
Типы уравнений
Дискретное время
Дискретное время использует разностные уравнения , также известные как рекуррентные соотношения. Пример, известный как логистическая карта или логистическое уравнение,
в котором r - параметр в диапазоне от 2 до 4 включительно, а x - переменная в диапазоне от 0 до 1 включительно, значение которой в периоде t нелинейно влияет на его значение в следующем периоде, t +1. Например, если а также , то при t = 1 имеем, а при t = 2 имеем.
Другой пример моделирует корректировку цены P в ответ на ненулевой избыточный спрос на продукт как
где - положительный параметр скорости регулировки, который меньше или равен 1, и где - функция избыточного спроса .
Непрерывное время
Непрерывное время использует дифференциальные уравнения . Например, корректировка цены P в ответ на ненулевой избыточный спрос на продукт может быть смоделирована в непрерывном времени как
где левая часть - это первая производная цены по времени (то есть скорость изменения цены), - параметр скорости регулировки, который может быть любым положительным конечным числом, и снова является функцией избыточного спроса.
Графическое изображение
Переменная, измеряемая в дискретном времени, может быть изображена как ступенчатая функция , в которой каждому периоду времени дается область на горизонтальной оси той же длины, что и любому другому периоду времени, а измеренная переменная отображается как высота, которая остается постоянной на протяжении регион временного периода. В этой графической технике график представляет собой последовательность горизонтальных шагов. В качестве альтернативы, каждый период времени можно рассматривать как отдельный момент времени, обычно в виде целого числа на горизонтальной оси, а измеренная переменная отображается как высота над этой точкой оси времени. В этом методе график отображается в виде набора точек.
Значения переменной, измеряемой в непрерывном времени, отображаются как непрерывная функция , поскольку временной областью считается вся действительная ось или, по крайней мере, некоторая ее связанная часть.
Смотрите также
- Сглаживание
- Процесс Бернулли
- Цифровые данные
- Дискретное исчисление
- Дискретная система
- Дискретность
- Нормализованная частота
- Теорема выборки Найквиста – Шеннона
- Исчисление шкалы времени
Рекомендации
- ^ "Цифровая обработка сигналов", Прентис Холл - страницы 11–12
- ^ «Цифровая обработка сигналов: мгновенный доступ», Баттерворт-Хайнеманн - стр. 8
- Гершенфельд, Нил А. (1999). Природа математического моделирования . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-57095-6.
- Вагнер, Томас Чарльз Гордон (1959). Аналитические переходные процессы . Вайли.