Логистическая карта

Логистическое отображение является многочленом отображения (эквивалентно, рекуррентное соотношение ) в степени 2 , часто упоминаются как архетипический пример того , как комплекс, хаотическое поведение может возникать из очень простых нелинейных динамических уравнений. Карта была популяризировал в 1976 статье биолог Роберт Мэй , ^[1] , в частности , как в дискретном времени демографическая модель , аналогичную логистическому уравнению первого созданного Ферхюльст . ^[2] Математически логистическая карта записывается

{\ displaystyle x_ {n + 1} = rx_ {n} \ left (1-x_ {n} \ right)}

( 1 )

где $x n$ - число от нуля до единицы, которое представляет отношение существующей популяции к максимально возможной. Интересующие нас значения параметра $r$ (иногда также обозначаемые $μ$ ) находятся в интервале $[0,4]$ , так что $x n$ остается ограниченным на $[0,1]$ . Это нелинейное разностное уравнение предназначено для учета двух эффектов:

воспроизводство, при котором популяция будет увеличиваться со скоростью, пропорциональной текущей популяции, когда размер популяции невелик.
голодание (смертность, зависящая от плотности), при которой скорость роста будет снижаться со скоростью, пропорциональной величине, полученной путем принятия теоретической «несущей способности» окружающей среды за вычетом текущего населения.

Однако в качестве демографической модели логистическая карта имеет патологическую проблему, заключающуюся в том, что некоторые начальные условия и значения параметров (например, если $r > 4$ ) приводят к отрицательным размерам популяции. Эта проблема не возникает в старой модели Рикера , которая также демонстрирует хаотическую динамику.

$Г = 4$ случаем логистического отображения является нелинейным преобразованием как карт битового сдвига и $ц = 2$ случая карты палатки .

Характеристики карты [ править ]

Поведение зависит от $r$ [ править ]

На изображении ниже показано амплитудное и частотное содержание некоторых итераций логистической карты для значений параметров от 2 до 4.

При изменении параметра $r$ наблюдается следующее поведение:

Эволюция различных начальных условий в зависимости от

r

Если $r находится$ между 0 и 1, популяция в конечном итоге умрет, независимо от начальной популяции.
При значении $r$ от 1 до 2 популяция быстро приближается к значению $г - 1 / р$ , независимо от исходной популяции.
При $r$ между 2 и 3 популяция также в конечном итоге приблизится к тому же значению. $г - 1 / р$ , но сначала будет колебаться около этого значения в течение некоторого времени. Скорость сходимости является линейной, за исключением $г = 3$ , когда она резко медленно, меньше , чем линейный (см памяти бифуркации ).
При $r$ между 3 и 1 + √ 6 ≈ 3,44949 почти при всех начальных условиях популяция будет приближаться к постоянным колебаниям между двумя значениями. Эти два значения зависят от $r$ .
При $r$ между 3,44949 и 3,54409 (приблизительно) практически при всех начальных условиях популяция будет приближаться к постоянным колебаниям между четырьмя значениями. Последнее число является корнем многочлена 12-й степени (последовательность A086181 в OEIS ).
При увеличении $r$ выше 3,54409 почти при всех начальных условиях популяция будет приближаться к колебаниям между 8 значениями, затем 16, 32 и т. Д. Длина интервалов параметров, которые дают колебания заданной длины, быстро уменьшаются; отношение длин двух последовательных бифуркационных интервалов приближается к постоянной Фейгенбаума $δ \approx 4.66920$ . Это поведение является примером каскада удвоения периода .
При $r \approx 3,56995$ (последовательность A098587 в OEIS ) наступает хаос в конце каскада удвоения периода. Практически из всех начальных условий мы больше не видим колебаний конечного периода. Незначительные изменения в исходной популяции со временем приводят к совершенно разным результатам, что является основной характеристикой хаоса.
Большинство значений $r$ выше 3,56995 демонстрируют хаотическое поведение, но все же есть некоторые изолированные диапазоны $r,$ которые показывают нехаотическое поведение; их иногда называют островками стабильности . Например, начиная с 1 + √ 8 ^[3] (приблизительно 3,82843) существует диапазон параметров $r,$ которые показывают колебания между тремя значениями, а для немного более высоких значений $r$ колебания между 6 значениями, затем 12 и т. Д.
Развитие хаотического поведения логистической последовательности при изменении параметра $r$ от приблизительно 3,56995 до приблизительно 3,82843 иногда называют сценарием Помо-Манневилля , характеризующимся периодической (ламинарной) фазой, прерываемой всплесками апериодического поведения. Такой сценарий находит применение в полупроводниковых устройствах. ^[4] Есть и другие диапазоны, которые дают колебания между 5 значениями и т.д .; все периоды колебаний происходят при некоторых значениях $r$ . Окно удвоения периода с параметром $c$ представляет собой диапазон значений $r,$ состоящий из последовательности поддиапазонов. $К$ - й поддиапазона содержит значение $г$ для которого существует устойчивый цикл (цикл, привлекающий множество начальных точек единичной меры) периода $2 k c$ . Эта последовательность поддиапазонов называется каскадом гармоник . ^[5] В поддиапазоне со стабильным циклом с периодом $2 k * c$ есть нестабильные циклы с периодом $2 k c$ для всех $k < k *$ . Значение $r$ в конце бесконечной последовательности поддиапазонов называется точкой накопления каскада гармоник. Как $г$ возрастает , то есть последовательность новых окон с различными $c$ значения. Первый - для $c = 1$ ; все последующие окна с нечетным $c$ происходят в порядке убывания $c,$ начиная со сколь угодно большого $c$ . ^[5]^[6]
За пределами $r = 4$ почти все начальные значения в конечном итоге покидают интервал $[0,1]$ и расходятся.

Для любого значения $r$ существует не более одного устойчивого цикла. Если существует стабильный цикл, он глобально устойчив и привлекает почти все точки. ^[7]^{: 13} Некоторые значения $r$ со стабильным циклом некоторого периода имеют бесконечно много неустойчивых циклов разных периодов.

Бифуркационная диаграмма справа суммирует это. Горизонтальная ось показывает возможные значения параметра $r, в$ то время как вертикальная ось показывает набор значений $x,$ посещаемых асимптотически из почти всех начальных условий посредством итераций логистического уравнения с этим значением $r$ .

Бифуркационная диаграмма для логистической карты. Аттрактор при любом значении параметра

г

показан на вертикальной линии , при этом

г

.

Бифуркационная диаграмма является самоподобной : если мы $увеличим$ вышеупомянутое значение $r \approx 3.82843$ и сфокусируемся на одном плече из трех, ситуация рядом будет выглядеть как сжатая и слегка искаженная версия всей диаграммы. То же верно и для всех остальных не хаотических точек. Это пример глубокой и повсеместной связи хаоса и фракталов .

Увеличение хаотической области карты.

Стабильные регионы внутри хаотичного региона.

Хаос и логистическая карта [ править ]

Двумерные и трехмерные графики Пуанкаре показывают растягивающую и складывающуюся структуру логистической карты.

Паутинка - схема логистической карты, показывая хаотическое поведение для большинства значений

р > 3,57

Логистическая функция

f

(синий цвет) и ее повторные версии

f 2

,

f 3

,

f 4

и

f 5

для

r = 3.5

. Например, для любого начального значения на горизонтальной оси

f 4

дает значение итерации через четыре итерации.

Относительная простота логистической карты делает ее широко используемой точкой входа в рассмотрение концепции хаоса. Грубое описание хаоса состоит в том, что хаотические системы проявляют большую чувствительность к начальным условиям - свойство логистической карты для большинства значений $r$ между примерно 3,57 и 4 (как отмечалось выше). ^[1] Обычным источником такой чувствительности к начальным условиям является то, что карта представляет собой повторяющееся сворачивание и растяжение пространства, на котором она определена. В случае логистической карты описывающее ее квадратное разностное уравнение можно рассматривать как операцию растягивания и сворачивания на интервале $(0,1)$ . ^[8]

На следующем рисунке показано растягивание и сворачивание последовательности итераций карты. На рисунке (а) слева показан двумерный график Пуанкаре пространства состояний логистической карты для $r = 4$ и четко показана квадратичная кривая разностного уравнения ( 1 ). Однако мы можем встроить ту же последовательность в трехмерное пространство состояний, чтобы исследовать более глубокую структуру карты. Рисунок (b), справа, демонстрирует это, показывая, как изначально близлежащие точки начинают расходиться, особенно в тех областях $x t, которые$ соответствуют более крутым участкам графика.

Это растягивание и сворачивание не только приводит к постепенному расхождению последовательностей итераций, но и к экспоненциальному расхождению (см. Показатели Ляпунова ), о чем также свидетельствует сложность и непредсказуемость хаотической логистической карты. Фактически, экспоненциальное расхождение последовательностей итераций объясняет связь между хаосом и непредсказуемостью: небольшая ошибка в предполагаемом начальном состоянии системы будет иметь тенденцию соответствовать большой ошибке в дальнейшем в ее развитии. Следовательно, предсказания о будущих состояниях становятся все более (действительно, экспоненциально)) хуже, когда есть даже очень маленькие ошибки в нашем знании начального состояния. Это качество непредсказуемости и очевидной случайности привело к тому, что уравнение логистической карты использовалось в качестве генератора псевдослучайных чисел на ранних компьютерах. ^[8]

Поскольку карта ограничена интервалом на прямой числовой линии, ее размер меньше или равен единице. Численные расчеты дают корреляционную размерность в0,500 ± 0,005 ( Grassberger , 1983), размерность Хаусдорфа около 0,538 ( Grassberger 1981) и информационная размерность примерно 0,5170976 ( Grassberger 1983) для $r \approx 3,5699456$ (начало хаоса). Примечание. Можно показать, что размерность корреляции определенно находится между 0,4926 и 0,5024.

Однако часто можно сделать точные и точные утверждения о вероятности будущего состояния хаотической системы. Если (возможно, хаотическая) динамическая система имеет аттрактор , тогда существует вероятностная мера, которая дает долгосрочную долю времени, затраченного системой в различных областях аттрактора. В случае логистической карты с параметром $r = 4$ и начальным состоянием в $(0,1)$ аттрактором также является интервал $(0,1),$ а вероятностная мера соответствует бета-распределению с параметрами $a = 0,5$ и $b = 0,5$ . В частности, ^[9] инвариантная мера

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ pi {\ sqrt {x (1-x)}}}}.}

Непредсказуемость - это не случайность, но в некоторых обстоятельствах очень похожа на нее. Следовательно, и, к счастью, даже если мы очень мало знаем о начальном состоянии логистической карты (или какой-либо другой хаотической системы), мы все равно можем сказать что-то о распределении состояний в произвольном отдалении в будущем и использовать эти знания для принятия решений. исходя из состояния системы.

Особые случаи карты [ править ]

Верхняя граница при $0 \leq r \leq 1$ [ править ]

Хотя точные решения рекуррентного отношения доступны только в небольшом количестве случаев, замкнутая верхняя граница логистической карты известна, когда $0 \leq r \leq 1$ . ^[10] Есть два аспекта поведения логистической карты, которые должны быть охвачены верхней границей в этом режиме: асимптотическое геометрическое затухание с постоянным $r$ и быстрое начальное затухание, когда $x 0$ близко к 1, вызванное $(1 - x n)$ член в рекуррентном соотношении. Следующая граница отражает оба этих эффекта:

\forall n\in \{0,1,\ldots \}\quad {\text{and}}\quad x_{0},r\in [0,1],\quad x_{n}\leq {\frac {x_{0}}{r^{-n}+x_{0}n}}.

Решение при $r = 4$ [ править ]

Частный случай $r = 4$ на самом деле может быть решен точно, как и случай с $r = 2$ ; ^[11] однако общий случай можно предсказать только статистически. ^[12] Решение при $r = 4$ : ^[11]^[13]

x_{n}=\sin ^{2}\left(2^{n}\theta \pi \right),

где параметр начального условия $θ$ определяется выражением

\theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}\left({\sqrt {x_{0}}}\right).

Для рационального $θ$ после конечного числа итераций $x n$ отображается в периодическую последовательность. Но почти все $θ$ иррациональны, и, иррациональное & $thetas$ , $х п$ никогда не повторяется - это непериодическая. Это уравнение решения ясно демонстрирует две ключевые особенности хаоса - растяжение и сворачивание: множитель $2 n$ показывает экспоненциальный рост растяжения, что приводит к чувствительной зависимости от начальных условий , в то время как функция квадрата синуса сохраняет $x n$ свернутым в диапазоне $[0 , 1]$ .

Для $r = 4$ эквивалентным решением в терминах комплексных чисел вместо тригонометрических функций является ^[14]

x_{n}={\frac {-\alpha ^{2^{n}}-\alpha ^{-2^{n}}+2}{4}}

где $α$ - любое из комплексных чисел

\alpha =1-2x_{0}\pm {\sqrt {\left(1-2x_{0}\right)^{2}-1}}

с модулем, равным 1. Так же, как квадрат синусоидальной функции в тригонометрическом решении не приводит ни к уменьшению, ни к расширению набора посещаемых точек, в последнем решении этот эффект достигается за счет модуля единицы $α$ .

Напротив, решение при $r = 2$ есть ^[14]

x_{n}={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{2}}\left(1-2x_{0}\right)^{2^{n}}

для $x 0 \in [0,1)$ . Поскольку $(1-2 x 0) \in (-1,1)$ для любого значения $x 0,$ отличного от неустойчивой фиксированной точки 0, член $(1-2 x 0) 2 n$ стремится к 0, когда $n$ стремится к бесконечности, поэтому $x n$ переходит в устойчивую неподвижную точку1/2.

Поиск циклов любой длины при $r = 4$ [ править ]

Для случая $r = 4$ почти из всех начальных условий итерационная последовательность является хаотической. Тем не менее, существует бесконечное число начальных условий, которые приводят к циклам, и действительно, существуют циклы длины $k$ для всех целых чисел $k \geq 1$ . Мы можем использовать отношение логистической карты к диадическому преобразованию (также известному как карта битового сдвига ), чтобы найти циклы любой длины. Если $x$ следует логистической карте $x n + 1 = 4 x n (1 - x n),$ а $y$ следуетдиадическая трансформация

y_{n+1}={\begin{cases}2y_{n}&0\leq y_{n}<{\tfrac {1}{2}}\\2y_{n}-1&{\tfrac {1}{2}}\leq y_{n}<1,\end{cases}}

то они связаны гомеоморфизмом

x_{n}=\sin ^{2}\left(2\pi y_{n}\right).

Причина, по которой диадическое преобразование также называется картой битового сдвига, заключается в том, что когда $y$ записывается в двоичной системе счисления, карта перемещает двоичную точку на одну позицию вправо (и если бит слева от двоичной точки стал «1», эта «1» заменяется на «0»). Цикл длины 3, например, возникает, если итерация имеет 3-битную повторяющуюся последовательность в своем двоичном расширении (которая также не является однобитовой повторяющейся последовательностью): 001, 010, 100, 110, 101 или 011. Итерация 001001001… преобразуется в 010010010…, которая преобразуется в 100100100…, которая, в свою очередь, преобразуется в исходную 001001001…; так что это 3 цикла карты битового сдвига. А другие три повторяющиеся последовательности двоичного разложения дают 3 цикла 110110110… → 101101101… → 011011011… → 110110110.… Любой из этих 3-х циклов может быть преобразован в дробную форму: например, первый заданный 3-цикл может быть написано как1/7 → 2/7 → 4/7 → 1/7. Использование приведенного выше преобразования из карты битового сдвига в логистическую карту дает соответствующий логистический цикл 0,611260467… → 0,950484434… → 0,188255099… → 0,611260467.… Мы могли бы аналогичным образом преобразовать другой 3-цикл битового сдвига в соответствующий ему логистический цикл. Точно так же циклы любой длины $k$ можно найти в карте битового сдвига и затем преобразовать в соответствующие логистические циклы. $r=4$

Однако, поскольку почти все числа в $[0,1)$ иррациональны, почти все начальные условия отображения битового сдвига приводят к непериодичности хаоса. Это один из способов увидеть, что логистическая карта $r = 4$ хаотична почти для всех начальных условий.

Количество циклов (минимальной) длины $k = 1, 2, 3,\dots$ для логистической карты с $r = 4$ ( карта палатки с $μ = 2$ ) является известной целочисленной последовательностью (последовательность A001037 в OEIS ): 2, 1 , 2, 3, 6, 9, 18, 30, 56, 99, 186, 335, 630, 1161…. Это говорит нам о том, что логистическая карта с $r = 4$ имеет 2 фиксированные точки, 1 цикл длины 2, 2 цикла длины 3 и так далее. Эта последовательность принимает особенно простой вид для простого $k$ : $2 \cdot 2 к - 1 - 1 / k$ . Например: 2 ⋅ 2 ^{13 - 1} - 1/13 = 630 - количество циклов длины 13. Поскольку этот случай логистического отображения хаотичен почти для всех начальных условий, все эти циклы конечной длины нестабильны.

Понятия, связанные с данным [ править ]

Универсальность Фейгенбаума одномерных карт [ править ]

Универсальность одномерных отображений с параболическими максимумами и Фейгенбаумом константами , ^[15]^[16] хорошо виден с картой , предложенной в качестве игрушечной модели для дискретных лазерных динамики: , где обозначает амплитуды электрического поля, ^[17] является усилением лазера бифуркации параметр. $\delta =4.669201...$ $\alpha =2.502907...$ $x\rightarrow Gx(1-\tanh(x))$ $x$ $G$

Бифуркационная диаграмма для гиперболического касательного отображения. Это самоподобие в более широком диапазоне параметра бифуркации G. Это еще одна повсеместная связь между хаосом и фракталами .

Постепенное увеличение интервала at изменяет динамику с регулярной на хаотическую ^[18] с качественно такой же бифуркационной диаграммой, как и для логистической карты. $G$ $[0,\infty )$

См. Также [ править ]

Логистическая функция , решение непрерывного аналога логистической карты: логистического дифференциального уравнения .
Устойчивость по Ляпунову # Определение для систем с дискретным временем.
Мальтузианская модель роста
Периодические точки сложных квадратичных отображений , из которых логистическая карта является частным случаем, ограниченным действительной линией
Сеть радиальных базисных функций , которая иллюстрирует обратную задачу для логистической карты.
Уравнение Шредера
Жесткое уравнение

Примечания [ править ]

^ а б Мэй, Роберт М. (1976). «Простые математические модели с очень сложной динамикой». Природа . 261 (5560): 459–467. Bibcode : 1976Natur.261..459M . DOI : 10.1038 / 261459a0 . hdl : 10338.dmlcz / 104555 . PMID 934280 . S2CID 2243371 .
^ " Вайсштейн, Эрик В. " Логистическое уравнение " . MathWorld .
↑ Чжан, Ченг (октябрь 2010 г.). «Период третий начинается». Математический журнал . 83 (4): 295–297. DOI : 10.4169 / 002557010x521859 . S2CID 123124113 .
^ Джеффрис, Карсон; Перес, Хосе (1982). «Наблюдение прерывистого пути к хаосу Помо – Манневиля в нелинейном осцилляторе» . Physical Review . 26 (4): 2117–2122. Bibcode : 1982PhRvA..26.2117J . DOI : 10.1103 / PhysRevA.26.2117 .
^ а б Мэй, РМ (1976). «Простые математические модели с очень сложной динамикой». Природа . 261 (5560): 459–67. Bibcode : 1976Natur.261..459M . DOI : 10.1038 / 261459a0 . hdl : 10338.dmlcz / 104555 . PMID 934280 . S2CID 2243371 .
^ Баумоль, Уильям Дж .; Бенхабиб, Джесс (февраль 1989 г.). «Хаос: значение, механизм и экономические приложения». Журнал экономических перспектив . 3 (1): 77–105. DOI : 10,1257 / jep.3.1.77 .
^ Колле, Пьер; Экманн, Жан-Пьер (1980). Итерированные карты на интервале как динамические системы . Бирхаузер. ISBN 978-3-7643-3026-2.
^ a b Глейк, Джеймс (1987). Хаос: создание новой науки . Лондон: Penguin Books. ISBN 978-0-14-009250-9.
^ Якобсон, М. (1981). «Абсолютно непрерывные инвариантные меры для однопараметрических семейств одномерных отображений». Сообщения по математической физике . 81 (1): 39–88. Bibcode : 1981CMaPh..81 ... 39J . DOI : 10.1007 / BF01941800 . S2CID 119956479 .
^ Кэмпбелл, Тревор; Бродерик, Тамара (2017). «Автоматизированный масштабируемый байесовский вывод с помощью ядер Гильберта». arXiv : 1710.05053 [ stat.ML ].
^ a b Шредер, Эрнст (1870). "Über iterierte Funktionen". Математика. Энн . 3 (2): 296–322. DOI : 10.1007 / BF01443992 . S2CID 116998358 .
^ Литтл, М .; Хиш, Д. (2004). «Хаотический поиск корней для небольшого класса многочленов» (PDF) . Журнал разностных уравнений и приложений . 10 (11): 949–953. arXiv : nlin / 0407042 . DOI : 10.1080 / 10236190412331285351 . S2CID 122705492 .
^ Лоренц, Эдвард (1964). «Проблема вывода климата из определяющих уравнений» . Теллус . 16 (февраль): 1–11. DOI : 10.3402 / tellusa.v16i1.8893 .
^ a b Шредер, Эрнст (1870). "Ueber iterirte Functionen". Mathematische Annalen . 3 (2): 296–322. DOI : 10.1007 / BF01443992 . S2CID 116998358 .
Перейти ↑ Feigenbaum, MJ (1976) «Универсальность в сложной дискретной динамике», Годовой отчет Лос-Аламосского теоретического отдела за 1975-1976 гг.
Перейти ↑ Feigenbaum, Mitchell (1978). «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований». Журнал статистической физики . 19 (1): 25–52. Bibcode : 1978JSP .... 19 ... 25F . CiteSeerX 10.1.1.418.9339 . DOI : 10.1007 / BF01020332 . S2CID 124498882 .
^ Окулов, А Ю; Ораевский, АН (1986). «Пространственно-временное поведение светового импульса, распространяющегося в нелинейной бездисперсной среде». J. Opt. Soc. Являюсь. B . 3 (5): 741–746. Bibcode : 1986OSAJB ... 3..741O . DOI : 10.1364 / JOSAB.3.000741 .
^ Окулов, А Ю; Ораевский, АН (1984). «Регулярная и стохастическая самомодуляция в кольцевом лазере с нелинейным элементом». Советский журнал квантовой электроники . 14 (2): 1235–1237. Bibcode : 1984QuEle..14.1235O . DOI : 10.1070 / QE1984v014n09ABEH006171 .

Ссылки [ править ]

Грассбергер, П .; Прокачча, И. (1983). «Измерение странностей странных аттракторов». Physica D . 9 (1–2): 189–208. Bibcode : 1983PhyD .... 9..189G . DOI : 10.1016 / 0167-2789 (83) 90298-1 .
Грассбергер, П. (1981). «О хаусдорфовой размерности фрактальных аттракторов». Журнал статистической физики . 26 (1): 173–179. Bibcode : 1981JSP .... 26..173G . DOI : 10.1007 / BF01106792 . S2CID 119833080 .
Спротт, Жюльен Клинтон (2003). Хаос и анализ временных рядов . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-850840-3.
Строгац, Стивен (2000). Нелинейная динамика и хаос . Издательство "Персей". ISBN 978-0-7382-0453-6.
Туфилларо, Николас; Эбботт, Тайлер; Рейли, Иеремия (1992). Экспериментальный подход к нелинейной динамике и хаосу . Эддисон-Уэсли Нью-Йорк. ISBN 978-0-201-55441-0.

Внешние ссылки [ править ]

В Wikibooks есть книга на тему: Fractals / Iterations_of_real_numbers / r_iterations # Logistic_map

Логистическая карта . Содержит интерактивное компьютерное моделирование логистической карты.
Гипертекстовый книгу Хаоса . Вводный учебник по хаосу и фракталам.
Интерактивная логистическая карта с итерационными и бифуркационными диаграммами на Java.
Интерактивная логистическая карта с фиксированными точками.
Логистическая карта и хаос , Элмер Г. Винс
Сложность и хаос (аудиокнига) Роджера Уайта. В главе 5 рассматривается логистическое уравнение.
« История повторяющихся карт » в книге Стивена Вольфрама « Новый вид науки » . Шампейн, Иллинойс: Wolfram Media, стр. 918, 2002.
«Очень краткая история универсальности удвоения периода» П. Цвитановича
«Не очень краткая история универсальной функции» П. Цвитановича
Дискретное логистическое уравнение Марека Боднара после работы Фила Рамсдена, Wolfram Demonstrations Project .
Мультипликативное соединение двух логистических карт К. Пеллисера-Лостао и Р. Лопеса-Руиса по результатам работы Эда Пегга-младшего, Wolfram Demonstrations Project .
Использование SAGE для исследования дискретного логистического уравнения

[May,_Robert_M_1976-1] а б Мэй, Роберт М. (1976). «Простые математические модели с очень сложной динамикой». Природа . 261 (5560): 459–467. Bibcode : 1976Natur.261..459M . DOI : 10.1038 / 261459a0 . hdl : 10338.dmlcz / 104555 . PMID 934280 . S2CID 2243371 .

[2] " Вайсштейн, Эрик В. " Логистическое уравнение " . MathWorld .

[3] Чжан, Ченг (октябрь 2010 г.). «Период третий начинается». Математический журнал . 83 (4): 295–297. DOI : 10.4169 / 002557010x521859 . S2CID 123124113 .

[carson82-4] Джеффрис, Карсон; Перес, Хосе (1982). «Наблюдение прерывистого пути к хаосу Помо – Манневиля в нелинейном осцилляторе» . Physical Review . 26 (4): 2117–2122. Bibcode : 1982PhRvA..26.2117J . DOI : 10.1103 / PhysRevA.26.2117 .

[May-5] а б Мэй, РМ (1976). «Простые математические модели с очень сложной динамикой». Природа . 261 (5560): 459–67. Bibcode : 1976Natur.261..459M . DOI : 10.1038 / 261459a0 . hdl : 10338.dmlcz / 104555 . PMID 934280 . S2CID 2243371 .

[6] Баумоль, Уильям Дж .; Бенхабиб, Джесс (февраль 1989 г.). «Хаос: значение, механизм и экономические приложения». Журнал экономических перспектив . 3 (1): 77–105. DOI : 10,1257 / jep.3.1.77 .

[7] Колле, Пьер; Экманн, Жан-Пьер (1980). Итерированные карты на интервале как динамические системы . Бирхаузер. ISBN 978-3-7643-3026-2.

[Gleick-8] Глейк, Джеймс (1987). Хаос: создание новой науки . Лондон: Penguin Books. ISBN 978-0-14-009250-9.

[9] Якобсон, М. (1981). «Абсолютно непрерывные инвариантные меры для однопараметрических семейств одномерных отображений». Сообщения по математической физике . 81 (1): 39–88. Bibcode : 1981CMaPh..81 ... 39J . DOI : 10.1007 / BF01941800 . S2CID 119956479 .

[10] Кэмпбелл, Тревор; Бродерик, Тамара (2017). «Автоматизированный масштабируемый байесовский вывод с помощью ядер Гильберта». arXiv : 1710.05053 [ stat.ML ].

[Schröder-11] Шредер, Эрнст (1870). "Über iterierte Funktionen". Математика. Энн . 3 (2): 296–322. DOI : 10.1007 / BF01443992 . S2CID 116998358 .

[12] Литтл, М .; Хиш, Д. (2004). «Хаотический поиск корней для небольшого класса многочленов» (PDF) . Журнал разностных уравнений и приложений . 10 (11): 949–953. arXiv : nlin / 0407042 . DOI : 10.1080 / 10236190412331285351 . S2CID 122705492 .

[13] Лоренц, Эдвард (1964). «Проблема вывода климата из определяющих уравнений» . Теллус . 16 (февраль): 1–11. DOI : 10.3402 / tellusa.v16i1.8893 .

[schr-14] Шредер, Эрнст (1870). "Ueber iterirte Functionen". Mathematische Annalen . 3 (2): 296–322. DOI : 10.1007 / BF01443992 . S2CID 116998358 .

[15] Перейти ↑ Feigenbaum, MJ (1976) «Универсальность в сложной дискретной динамике», Годовой отчет Лос-Аламосского теоретического отдела за 1975-1976 гг.

[16] Перейти ↑ Feigenbaum, Mitchell (1978). «Количественная универсальность для класса нелинейных преобразований». Журнал статистической физики . 19 (1): 25–52. Bibcode : 1978JSP .... 19 ... 25F . CiteSeerX 10.1.1.418.9339 . DOI : 10.1007 / BF01020332 . S2CID 124498882 .

[Okulov,_A_Yu_1986-17] Окулов, А Ю; Ораевский, АН (1986). «Пространственно-временное поведение светового импульса, распространяющегося в нелинейной бездисперсной среде». J. Opt. Soc. Являюсь. B . 3 (5): 741–746. Bibcode : 1986OSAJB ... 3..741O . DOI : 10.1364 / JOSAB.3.000741 .

[Okulov,_A_Yu_1984-18] Окулов, А Ю; Ораевский, АН (1984). «Регулярная и стохастическая самомодуляция в кольцевом лазере с нелинейным элементом». Советский журнал квантовой электроники . 14 (2): 1235–1237. Bibcode : 1984QuEle..14.1235O . DOI : 10.1070 / QE1984v014n09ABEH006171 .

[1]