Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике термин « почти все » означает « почти все, кроме незначительного количества». Точнее, если это набор , «почти все элементы » означает «все элементы , но те в ничтожном подмножестве из ». Значение слова «ничтожно мало» зависит от математического контекста; например, это может означать конечный , счетный или нулевой . [сек 1]

Напротив, « почти нет » означает «ничтожно малая сумма»; то есть «почти нет элементов » означает «незначительное количество элементов ».

Значения в разных областях математики [ править ]

Преобладающее значение [ править ]

Дополнительная информация: Cofinite set

В математике термин «почти все» иногда используется для обозначения «всех (элементов бесконечного множества ), но конечного числа». [1] [2] Это употребление встречается и в философии. [3] Точно так же «почти все» может означать «все (элементы несчетного множества ), но счетное множество». [сек 2]

Примеры:

Значение в теории меры [ править ]

Дополнительная информация: Почти везде
Функция Кантора как функция, почти всюду имеющая нулевую производную

Говоря о вещественных числах , иногда «почти все» может означать «все действительные числа, кроме нулевого множества ». [6] [7] [sec 3] Точно так же, если S - некоторый набор действительных чисел, «почти все числа в S » могут означать «все числа в S, кроме тех, которые находятся в нулевом множестве». [8] реальная линия может рассматриваться как одномерное евклидово пространства . В более общем случае n- мерного пространства (где n - положительное целое число) эти определения могут быть обобщены на «все точки, кроме тех, которые находятся в нулевом множестве» [раздел 4] или «все точки вS, но те, которые находятся в нулевом множестве »(на этот раз S - это набор точек в пространстве). [9] В более общем смысле,« почти все »иногда используется в смысле« почти всюду »в теории меры , [ 10] [11] [sec 5] или в близком смысле слова « почти наверняка » в теории вероятностей . [11] [sec 6]

Примеры:

  • В пространстве меры , таком как действительная линия, счетные множества равны нулю. Множество рациональных чисел счетно, поэтому почти все действительные числа иррациональны. [12]
  • Как доказал Георг Кантор в своей первой статье по теории множеств , множество алгебраических чисел также счетно, поэтому почти все действительные числа трансцендентны . [13] [сек 7]
  • Практически все реалы нормальные . [14]
  • Множество Кантора является недействительным , а также. Таким образом, почти все реалы не входят в его состав, хотя его и неисчислимо. [6]
  • Производная функции Кантора равна 0 почти для всех чисел в единичном интервале . [15] Это следует из предыдущего примера, потому что функция Кантора локально постоянна и, следовательно, имеет производную 0 вне множества Кантора.

Значение в теории чисел [ править ]

Дополнительная информация: Асимптотически почти наверняка

В теории чисел «почти все положительные целые числа» могут означать «положительные целые числа в наборе, естественная плотность которого равна 1». То есть, если представляет собой набор положительных целых чисел, и если доля положительных целых чисел в А ниже п (из всех положительных целых чисел ниже п ) стремится к 1 при п стремится к бесконечности, то почти все положительные целые числа в A . [16] [17] [сек 8]

В более общем смысле, пусть S будет бесконечным набором положительных целых чисел, таким как набор четных положительных чисел или набор простых чисел , если A является подмножеством S , и если доля элементов S ниже n, которые находятся в A ( из всех элементов S ниже п ) стремится к 1 при п стремится к бесконечности, то можно сказать , что почти все элементы S в A .

Примеры:

  • Естественная плотность конфинитных множеств натуральных чисел равна 1, поэтому каждое из них содержит почти все положительные целые числа.
  • Почти все положительные целые числа составны . [сек 8] [доказательство 1]
  • Почти все четные положительные числа можно выразить как сумму двух простых чисел. [4] : 489
  • Почти все простые числа изолированы . Более того, для любого положительного целого числа g почти все простые числа имеют промежутки больше чем g как слева, так и справа; то есть между p - g и p + g нет других простых чисел . [18]

Значение в теории графов [ править ]

В теории графов , если A - это набор (конечных помеченных ) графов , можно сказать, что он содержит почти все графы, если доля графов с n вершинами, которые находятся в A, стремится к 1, когда n стремится к бесконечности. [19] Однако иногда легче работать с вероятностями, [20] поэтому определение переформулируется следующим образом. Доля графов с n вершинами, которые находятся в A, равна вероятности того, что случайный граф с n вершинами (выбранным с равномерным распределением ) находится в A, и выбор графа таким способом имеет тот же результат, что и создание графа путем подбрасывания монеты для каждой пары вершин, чтобы решить, соединять ли их. [21] Следовательно, эквивалентно предыдущему определению, множество A содержит почти все графы, если вероятность того, что граф, созданный подбрасыванием монеты с n вершинами, находится в A, стремится к 1, когда n стремится к бесконечности. [20] [22] Иногда последнее определение модифицируют так, что граф выбирается случайным образом каким-либо другим способом , когда не все графы с n вершинами имеют одинаковую вероятность, [21] и эти модифицированные определения не всегда эквивалентны основному.

Использование термина «почти все» в теории графов нестандартно; термин « асимптотически почти наверняка » чаще используется для этой концепции. [20]

Пример:

  • Почти все графы асимметричны . [19]
  • Почти все графы имеют диаметр 2. [23]

Значение в топологии [ править ]

В топологии [24] и особенно в теории динамических систем [25] [26] [27] (включая приложения в экономике), [28] «почти все» точки топологического пространства могут означать «все точки пространства, кроме тех. в скудном наборе ». Некоторые используют более ограниченное определение, когда подмножество содержит почти все точки пространства, только если оно содержит некоторое открытое плотное множество . [26] [29] [30]

Пример:

  • Учитывая неприводимое алгебраическое многообразие , то свойства , которые держат для почти всех точек в многообразии в точности общих свойств . [sec 9] Это связано с тем, что в неприводимом алгебраическом многообразии, снабженном топологией Зарисского , все непустые открытые множества плотны.

Значение в алгебре [ править ]

В абстрактной алгебре и математической логике , если U является ультрафильтром на множество X , «почти все элементы X » иногда означают «элементы некоторого элемента из U ». [31] [32] [33] [34] Для любого разбиения из X на два непересекающихся множеств , один из них будет обязательно содержит почти все элементы X . Можно представить элементы фильтра на X как содержащие почти все элементы X, даже если это не ультрафильтр. [34]

Доказательства [ править ]

  1. ^ Согласно теореме о простых числах , количество простых чисел, меньших или равных n , асимптотически равно n / ln ( n ). Следовательно, доля простых чисел примерно равна ln ( n ) / n , которая стремится к 0, когда n стремится к бесконечности , поэтому доля составных чисел, меньших или равных n, стремится к 1, когда n стремится к бесконечности . [17]

См. Также [ править ]

  • Почти
  • Почти всюду
  • Почти наверняка

Ссылки [ править ]

Первоисточники [ править ]

  1. ^ Каэн, Поль-Жан; Шабер, Жан-Люк (3 декабря 1996 г.). Целочисленные многочлены . Математические обзоры и монографии . 48 . Американское математическое общество . п. xix. ISBN 978-0-8218-0388-2. ISSN  0076-5376 .
  2. ^ Каэн, Поль-Жан; Шабер, Жан-Люк (7 декабря 2010 г.) [Впервые опубликовано в 2000 г.]. «Глава 4: Что нового в целочисленных многочленах на подмножестве?». В Hazewinkel, Michiel (ред.). Нётерова теория коммутативных колец . Математика и ее приложения. 520 . Springer . п. 85. DOI : 10.1007 / 978-1-4757-3180-4 . ISBN 978-1-4419-4835-9.
  3. ^ Gärdenfors, Питер (22 августа 2005). Динамика мысли . Синтезированная библиотека. 300 . Springer . С. 190–191. ISBN 978-1-4020-3398-8.
  4. ^ a b Курант, Ричард ; Роббинс, Герберт ; Стюарт, Ян (18 июля 1996 г.). Что такое математика? Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-510519-3.
  5. ^ Movshovitz-хадар, Ница; Шрики, Атара (2018-10-08). Логика в стране чудес: введение в логику через чтение приключений Алисы в стране чудес - Руководство для учителя . World Scientific. п. 38. ISBN 978-981-320-864-3. Это также можно выразить следующим образом: «Почти все простые числа нечетные».
  6. ^ a b Кореваар, Иаков (1 января 1968 г.). Математические методы: линейная алгебра / нормированные пространства / распределения / интегрирование . 1 . Нью-Йорк: Academic Press . С. 359–360. ISBN 978-1-4832-2813-6.
  7. ^ Натансон, Исидор П. (июнь 1961 г.). Теория функций действительной переменной . 1 . Перевод Борана, Лео Ф. (отредактированная ред.). Нью-Йорк: Издательство Фредерика Ангара . п. 90. ISBN 978-0-8044-7020-9.
  8. ^ Сохраба, Хушанг H. (15 ноября 2014). Базовый реальный анализ (2-е изд.). Birkhäuser . п. 307. DOI : 10.1007 / 978-1-4939-1841-6 . ISBN 978-1-4939-1841-6.
  9. ^ Helmberg, Гилберт (декабрь 1969 г.). Введение в спектральную теорию в гильбертовом пространстве . Серия Северная Голландия по прикладной математике и механике. 6 (1-е изд.). Амстердам: Издательская компания Северной Голландии . п. 320. ISBN 978-0-7204-2356-3.
  10. ^ Vestrup, Eric M. (18 сентября 2003). Теория мер и интеграции . Серия Уайли по вероятности и статистике. США: Wiley-Interscience . п. 182. ISBN. 978-0-471-24977-1.
  11. ^ a b Биллингсли, Патрик (1 мая 1995 г.). Вероятность и мера (PDF) . Серия Уайли по вероятности и статистике (3-е изд.). США: Wiley-Interscience . п. 60. ISBN  978-0-471-00710-4. Архивировано из оригинального (PDF) 23 мая 2018 года.
  12. ↑ Нивен, Иван (1 июня 1956). Иррациональные числа . Математические монографии Каруса . 11 . Рэуэй: Математическая ассоциация Америки . С. 2–5. ISBN 978-0-88385-011-4.
  13. ^ Бейкер, Алан (1984). Краткое введение в теорию чисел . Издательство Кембриджского университета . п. 53 . ISBN 978-0-521-24383-4.
  14. ^ Гранвиль, Эндрю ; Рудник, Зеев (7 января 2007 г.). Равное распределение в теории чисел, введение . Серия "Наука НАТО" II. 237 . Springer . п. 11. ISBN 978-1-4020-5404-4.
  15. ↑ Берк, Фрэнк (3 ноября 1997 г.). Мера Лебега и интегрирование: Введение . Серия текстов, монографий и трактатов Wiley-Interscience. США: Wiley-Interscience . п. 260. ISBN 978-0-471-17978-8.
  16. ^ Харди, GH (1940). Рамануджан: Двенадцать лекций по предметам, предложенным его жизнью и работой . Издательство Кембриджского университета . п. 50.
  17. ^ а б Харди, GH ; Райт, EM (декабрь 1960). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета . С. 8–9. ISBN 978-0-19-853310-8.
  18. ^ Прачар, Карл (1957). Primzahlverteilung . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на немецком языке). 91 . Берлин: Springer . п. 164.Цитируется по Grosswald, Emil (1 января 1984 г.). Темы из теории чисел (2-е изд.). Бостон: Биркхойзер . п. 30. ISBN 978-0-8176-3044-7.
  19. ^ a b Бабай, Ласло (25 декабря 1995 г.). «Группы автоморфизмов, изоморфизм, реконструкция». У Грэма, Рональда ; Грёчель, Мартин ; Ловас, Ласло (ред.). Справочник по комбинаторике . 2 . Нидерланды: Издательская компания Северной Голландии . п. 1462. ISBN 978-0-444-82351-9.
  20. ^ a b c Спенсер, Джоэл (9 августа 2001 г.). Странная логика случайных графов . Алгоритмы и комбинаторика. 22 . Springer . С. 3–4. ISBN 978-3-540-41654-8.
  21. ↑ a b Bollobás, Béla (8 октября 2001 г.). Случайные графы . Кембриджские исследования в области высшей математики. 73 (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . С. 34–36. ISBN 978-0-521-79722-1.
  22. ^ Grädel, Эрик; Колайтис, Phokion G .; Либкин, Леонид ; Маркс, Маартен; Спенсер, Джоэл ; Варди, Моше Ю .; Венема, Иде; Вайнштейн, Скотт (11 июня 2007 г.). Теория конечных моделей и ее приложения . Тексты по теоретической информатике ( серия EATCS ). Springer . п. 298. ISBN 978-3-540-00428-8.
  23. ^ Бакли, Фред; Харари, Фрэнк (21 января 1990 г.). Расстояние в графиках . Эддисон-Уэсли . п. 109. ISBN 978-0-201-09591-3.
  24. ^ Oxtoby, Джон К. (1980). Мера и категория . Тексты для выпускников по математике . 2 (2-е изд.). США: Спрингер . стр. 59, 68. ISBN 978-0-387-90508-2.Хотя Окстоби не дает здесь явного определения этого термина, Бабай позаимствовал его из « Меры и категории» в своей главе «Группы автоморфизмов, изоморфизм, реконструкция» из « Справочника комбинаторики Грэхема, Грёчеля и Ловаса » (том 2) и Броера и Такенса. отмечают в своей книге « Динамические системы и хаос , в которых мера и категория» это значение слова «почти все» сравнивается с теоретико-мерным в действительной прямой (хотя в книге Окстоби также обсуждаются скудные множества в общих топологических пространствах).
  25. ^ Барашарт, Лоран (1987). «Последние и новые результаты в Rational L - Сближение». В занавесе, Рут Ф. (ред.). Моделирование, снижение устойчивости и чувствительности в системах управления . Серия НАТО ASI F. 34 . Springer . п. 123. DOI : 10.1007 / 978-3-642-87516-8 . ISBN 978-3-642-87516-8.
  26. ^ a b Броер, Хенк; Такенс, Флорис (28 октября 2010 г.). Динамические системы и хаос . Прикладные математические науки. 172 . Springer . п. 245. DOI : 10.1007 / 978-1-4419-6870-8 . ISBN 978-1-4419-6870-8.
  27. ^ Шарковский, АН; Коляда, СФ; Сивак, АГ; Федоренко, В.В. (30 апреля 1997 г.). Динамика одномерных карт . Математика и ее приложения. 407 . Springer . п. 33. DOI : 10.1007 / 978-94-015-8897-3 . ISBN 978-94-015-8897-3.
  28. ↑ Юань, Джордж Сянь-Чжи (9 февраля 1999 г.). Теория ККМ и ее приложения в нелинейном анализе . Чистая и прикладная математика; Серия монографий и учебников. Марсель Деккер . п. 21. ISBN 978-0-8247-0031-7.
  29. ^ Альбертини, Франческа; Зонтаг, Эдуардо Д. (1 сентября 1991 г.). «Транзитивность и прямая доступность нелинейных систем с дискретным временем». В Боннаре Бернар; Невеста, Бернард; Готье, Жан-Поль; Купка, Иван (ред.). Анализ управляемых динамических систем . Прогресс в теории систем и управления. 8 . Birkhäuser . п. 29. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-3214-8 . ISBN 978-1-4612-3214-8.
  30. ↑ De la Fuente, Angel (28 января 2000 г.). Математические модели и методы для экономистов . Издательство Кембриджского университета . п. 217. ISBN. 978-0-521-58529-3.
  31. ^ Komjáth, Петер ; Тотик, Вилмос (2 мая 2006 г.). Проблемы и теоремы классической теории множеств . Проблемные книги по математике. США: Спрингер . п. 75. ISBN 978-0387-30293-5.
  32. ^ Зальцманн, Гельмут; Грундхёфер, Тео; Хэл, Германн; Левен, Райнер (24 сентября 2007 г.). Классические поля: структурные особенности действительных и рациональных чисел . Энциклопедия математики и ее приложений. 112 . Издательство Кембриджского университета . п. 155 . ISBN 978-0-521-86516-6.
  33. ↑ Schoutens, Hans (2 августа 2010 г.). Использование ультрапроизведений в коммутативной алгебре . Конспект лекций по математике . 1999 . Springer . п. 8. DOI : 10.1007 / 978-3-642-13368-8 . ISBN 978-3-642-13367-1.
  34. ^ a b Раутенберг, Вольфганг (17 декабря 2009 г.). Краткое по математической логике . Universitext (3-е изд.). Springer . С. 210–212. DOI : 10.1007 / 978-1-4419-1221-3 . ISBN 978-1-4419-1221-3.

Вторичные источники [ править ]

  1. ^ "Окончательный словарь высшего математического жаргона - почти" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 11 ноября 2019 .
  2. ↑ Шварцман, Стивен (1 мая 1994 г.). Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке . Спектральная серия. Математическая ассоциация Америки . п. 22 . ISBN 978-0-88385-511-9.
  3. ^ Клэпхэм, Кристофер; Николсон, Джеймс (7 июня 2009 г.). Краткий Оксфордский математический словарь . Оксфордские ссылки в мягкой обложке (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета . п. 38. ISBN 978-0-19-923594-0.
  4. ^ Джеймс, Роберт С. (31 июля 1992 г.). Математический словарь (5-е изд.). Чепмен и Холл . п. 269. ISBN. 978-0-412-99031-1.
  5. ^ Битюцков, Вадим Иванович (30 ноября 1987). «Почти везде» . В Hazewinkel, Michiel (ред.). Энциклопедия математики . 1 . Kluwer Academic Publishers . п. 153. DOI : 10.1007 / 978-94-015-1239-8 . ISBN 978-94-015-1239-8.
  6. ^ Ито, Kiyosi , изд. (4 июня 1993 г.). Энциклопедический математический словарь . 2 (2-е изд.). Kingsport: MIT Press . п. 1267. ISBN 978-0-262-09026-1.
  7. ^ «Почти все действительные числа трансцендентны - ProofWiki» . proofwiki.org . Проверено 11 ноября 2019 .
  8. ^ a b Вайсштейн, Эрик В. "Почти все" . MathWorld . См. Также Вайсштейн, Эрик В. (25 ноября 1988 г.). CRC Краткая энциклопедия математики (1-е изд.). CRC Press . п. 41. ISBN 978-0-8493-9640-3.
  9. ^ Ито, Kiyosi , изд. (4 июня 1993 г.). Энциклопедический математический словарь . 1 (2-е изд.). Kingsport: MIT Press . п. 67. ISBN 978-0-262-09026-1.