Причинный фильтр

В обработке сигналов , A причинная фильтр является линейной и стационарен причинной системой . Слово « причинно-следственная связь» указывает на то, что выход фильтра зависит только от прошлых и настоящих входных данных. Фильтр , выход которого также зависит от будущих входов неказуальный , в то время как фильтр, выход которого зависит только от будущих входов анти-причинный . Реализуемые системы (включая фильтры) (т. Е. Работающие в реальном времени ) должны быть причинными, потому что такие системы не могут действовать на будущие входные данные. По сути, это означает, что выходной образец наилучшим образом представляет входные данные в данный момент.${\ displaystyle t,}$выходит чуть позже. Обычной практикой проектирования цифровых фильтров является создание реализуемого фильтра путем сокращения и / или сдвига во времени беспричинной импульсной характеристики. Если сокращение необходимо, оно часто выполняется как результат импульсной характеристики с оконной функцией .

Примером антипричинного фильтра является фильтр максимальной фазы , который можно определить как стабильный антипричинный фильтр, обратный фильтр которого также является стабильным и антипричинным.

Каждый компонент вывода каузального фильтра начинается, когда начинается его стимул. Выходы непричинного фильтра начинаются до начала стимула.

Пример [ править ]

Следующее определение - это скользящее (или «скользящее») среднее входных данных . Постоянный коэффициент 1/2 опущен для простоты:${\ Displaystyle s (х) \,}$

${\ Displaystyle е (х) = \ int _ {x-1} ^ {x + 1} s (\ tau) \, d \ tau \ = \ int _ {- 1} ^ {+ 1} s (x + \ тау) \, д \ тау \,}$

где x может представлять пространственную координату, как при обработке изображений. Но если представляет время , то определенная таким образом скользящая средняя не является причинно-следственной (также называемой нереализуемой ), потому что зависит от будущих входных данных, таких как . Возможный выход${\ Displaystyle х \,}$${\ Displaystyle (т) \,}$${\ Displaystyle е (т) \,}$${\ Displaystyle s (т + 1) \,}$

${\ Displaystyle е (т-1) = \ int _ {- 2} ^ {0} s (t + \ tau) \, d \ tau = \ int _ {0} ^ {+ 2} s (t- \ tau ) \, d \ tau \,}$

что является отложенной версией нереализуемого вывода.

Любой линейный фильтр (например, скользящее среднее) можно охарактеризовать функцией h ( t ), называемой его импульсной характеристикой . Его вывод - свертка

${\ Displaystyle е (т) = (час * s) (т) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} час (\ тау) s (т- \ тау) \, д \ тау. \, }$

Таким образом, причинно-следственная связь требует

${\ Displaystyle е (т) = \ int _ {0} ^ {\ infty} час (\ тау) s (т- \ тау) \, д \ тау}$

и общее равенство этих двух выражений требует h ( t ) = 0 для всех t  <0.

Характеристика причинных фильтров в частотной области [ править ]

Пусть h ( t ) - причинный фильтр с соответствующим преобразованием Фурье H (ω). Определите функцию

${\ Displaystyle г (т) = {ч (т) + ч ^ {*} (- т) \ более 2}}$

который не является причинным. С другой стороны, g ( t ) эрмитово и, следовательно, его преобразование Фурье G (ω) вещественнозначно. Теперь имеем следующее соотношение

${\displaystyle h(t)=2\,\Theta (t)\cdot g(t)\,}$

где Θ ( t ) - единичная ступенчатая функция Хевисайда .

Это означает, что преобразования Фурье функций h ( t ) и g ( t ) связаны следующим образом

${\displaystyle H(\omega )=\left(\delta (\omega )-{i \over \pi \omega }\right)*G(\omega )=G(\omega )-i\cdot {\widehat {G}}(\omega )\,}$

где - преобразование Гильберта, выполненное в частотной области (а не во временной области). Знак может зависеть от определения преобразования Фурье.${\displaystyle {\widehat {G}}(\omega )\,}$${\displaystyle {\widehat {G}}(\omega )\,}$

Принятие преобразования Гильберта в приведенном выше уравнении дает следующее соотношение между "H" и его преобразованием Гильберта:

${\displaystyle {\widehat {H}}(\omega )=iH(\omega )}$

Ссылки [ править ]

• Press, William H .; Teukolsky, Saul A .; Веттерлинг, Уильям Т .; Фланнери, Брайан П. (сентябрь 2007 г.), Численные рецепты (3-е изд.), Cambridge University Press, стр. 767, ISBN 9780521880688
• Роуэлл (январь 2009 г.), Определение причинно-следственной связи системы по ее частотной характеристике (PDF) , MIT OpenCourseWare