Оконная функция

Популярная оконная функция, окно Ханна . Наиболее популярные оконные функции - это похожие колоколообразные кривые.

В обработке сигналов и статистике , в оконной функции (также известную как функция аподизации или сужающейся функцию ^[1] ) является математической функцией , которая является нулевым значением вне некоторых выбранного интервала, обычно симметричны относительно середины интервала, обычно около максимума в середине и обычно сужаются от середины. Математически, когда другая функция или последовательность сигналов / данных «умножается» на оконную функцию, продукт также получает нулевое значение за пределами интервала: все, что остается, - это часть, где они перекрываются, «вид через окно». Точно так же и на практике сначала изолируется сегмент данных в окне, а затем только эти данные умножаются на значения оконной функции. Таким образом, сужение , а не сегментация - основная цель оконных функций.

Причины для изучения сегментов более длинной функции включают обнаружение переходных процессов и усреднение по времени частотных спектров. Продолжительность сегментов определяется в каждом приложении такими требованиями, как разрешение по времени и частоте. Но этот метод также изменяет частотный состав сигнала за счет эффекта, называемого спектральной утечкой . Оконные функции позволяют нам распределять утечку спектрально по-разному, в соответствии с потребностями конкретного приложения. В этой статье подробно описано множество вариантов, но многие различия настолько тонкие, что на практике не имеют значения.

В типичных приложениях используемые оконные функции представляют собой неотрицательные гладкие "колоколообразные" кривые. ^[2] Также можно использовать прямоугольник, треугольник и другие функции. Прямоугольное окно вообще не изменяет сегмент данных. Только для целей моделирования мы говорим, что он умножается на 1 внутри окна и на 0 снаружи. Более общее определение оконных функций не требует, чтобы они были тождественно равными нулю за пределами интервала, пока произведение окна, умноженное на его аргумент, является квадратично интегрируемым , и, более конкретно, функция достаточно быстро приближается к нулю. ^[3]

Приложения [ править ]

Оконные функции используются в спектральном анализе / изменения / ресинтеза , ^[4] конструкция с конечной импульсной характеристикой фильтра, а также формирования диаграммы направленности и антенны дизайн.

Спектральный анализ [ править ]

Преобразование Фурье функции cos ( ωt ) равно нулю, за исключением частоты ± ω . Однако многие другие функции и формы сигналов не имеют удобных преобразований в замкнутую форму. С другой стороны, их спектральный состав может быть интересен только в течение определенного периода времени.

В любом случае преобразование Фурье (или аналогичное преобразование) может применяться к одному или нескольким конечным интервалам сигнала. Как правило, преобразование применяется к произведению формы сигнала и оконной функции. Любое окно (включая прямоугольное) влияет на спектральную оценку, вычисленную этим методом.

Выбор оконной функции [ править ]

Использование окна для простого сигнала, такого как cos ( ωt ), приводит к тому, что его преобразование Фурье приводит к появлению ненулевых значений (обычно называемых спектральной утечкой ) на частотах, отличных от ω . Утечка имеет тенденцию быть наихудшей (максимальной) около ω и, по крайней мере, на частотах, наиболее удаленных от  ω .

Если анализируемая форма волны состоит из двух синусоид разной частоты, утечка может помешать нашей способности различать их спектрально. Возможные типы помех часто подразделяются на два противоположных класса следующим образом: если частоты компонентов не похожи, а один компонент слабее, то утечка из более сильного компонента может скрыть присутствие более слабого. Но если частоты слишком похожи, утечка может сделать их неразрешимыми, даже если синусоиды имеют одинаковую силу. Окна, которые эффективны против первого типа помех, а именно там, где компоненты имеют разные частоты и амплитуды, называются окнами с высоким динамическим диапазоном.. И наоборот, окна, которые могут различать компоненты с похожими частотами и амплитудами, называют высоким разрешением .

Прямоугольное окно является примером окна с высоким разрешением, но с низким динамическим диапазоном , что означает, что оно хорошо для различения компонентов с одинаковой амплитудой, даже когда частоты также близки, но плохо для различения компонентов разной амплитуды, даже когда частоты далеки. прочь. Окна с высоким разрешением и низким динамическим диапазоном, такие как прямоугольное окно, также обладают свойством высокой чувствительности , т. Е. Способностью обнаруживать относительно слабые синусоиды в присутствии аддитивного случайного шума. Это связано с тем, что шум дает более сильный отклик с окнами с высоким динамическим диапазоном, чем с окнами с высоким разрешением.

На другом конце диапазона типов окон находятся окна с высоким динамическим диапазоном, но с низким разрешением и чувствительностью. Окна с высоким динамическим диапазоном чаще всего оправдываются в широкополосных приложениях , где ожидается, что анализируемый спектр будет содержать множество различных компонентов с различными амплитудами.

Между крайностями находятся умеренные окна, такие как Хэмминга и Ханна . Они обычно используются в узкополосных приложениях , таких как спектр телефонного канала.

Таким образом, спектральный анализ включает в себя компромисс между разрешением сопоставимых компонентов прочности с аналогичными частотами ( высокое разрешение / чувствительность ) и определением несопоставимых компонентов прочности с разными частотами ( высокий динамический диапазон ). Этот компромисс происходит при выборе оконной функции. ^{[5] : с. 90}

Сигналы дискретного времени [ править ]

Когда входной сигнал дискретизируется по времени, а не непрерывно, анализ обычно выполняется с применением оконной функции, а затем дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Но ДПФ обеспечивает только разреженную выборку фактического дискретного преобразования Фурье.(DTFT) спектр. На рисунке 2 в строке 3 показано DTFT для синусоиды с прямоугольным окном. Фактическая частота синусоиды обозначена цифрой «13» на горизонтальной оси. Все остальное - утечка, преувеличенная за счет использования логарифмического представления. Единица измерения частоты - «ячейки DFT»; то есть целые значения на оси частот соответствуют частотам, выбранным с помощью ДПФ. Таким образом, на рисунке показан случай, когда фактическая частота синусоиды совпадает с выборкой DFT, а максимальное значение спектра точно измеряется этим образцом. В строке 4 максимальное значение пропущено на ½ бина, и результирующая ошибка измерения называется потерями из-за зубчатости.(навеянный формой козырька). Для известной частоты, такой как музыкальная нота или синусоидальный тестовый сигнал, согласование частоты с ячейкой DFT может быть предварительно организовано путем выбора частоты дискретизации и длины окна, что приводит к целому числу циклов в пределах окна.

Ширина полосы шума [ править ]

Понятия разрешения и динамического диапазона, как правило, несколько субъективны, в зависимости от того, что на самом деле пытается сделать пользователь. Но они также, как правило, сильно коррелируют с общей утечкой, которую можно измерить. Обычно это выражается как эквивалентная ширина полосы B. Это можно представить как перераспределение DTFT в прямоугольную форму с высотой, равной спектральному максимуму, и шириной B. ^{[A] [6]} Чем больше утечка, тем больше ширина полосы. . Это иногда называют шумом эквивалентную ширину полосы частот или эквивалентную ширину полосы частот шума , потому что он пропорционален средней мощности , который будет зарегистрирован каждым бункером DFT , когда входной сигнал содержит случайную составляющую шума (или являетсяпросто случайный шум). График спектра мощности , усредненный по времени, обычно показывает ровный минимальный уровень шума , вызванный этим эффектом. Высота минимального уровня шума пропорциональна B. Таким образом, две разные функции окна могут создавать разные минимальные уровни шума.

Прибыль и убытки от обработки [ править ]

При обработке сигналов выбираются операции для улучшения некоторых аспектов качества сигнала за счет использования различий между сигналом и искажающих воздействий. Когда сигнал представляет собой синусоиду, искаженную аддитивным случайным шумом, спектральный анализ распределяет компоненты сигнала и шума по-разному, что часто упрощает обнаружение наличия сигнала или измерение определенных характеристик, таких как амплитуда и частота. Фактически, отношение сигнал / шум (SNR) улучшается за счет равномерного распределения шума при концентрации большей части энергии синусоиды вокруг одной частоты. Прирост обработки- термин, часто используемый для описания улучшения отношения сигнал / шум. Выигрыш при обработке спектрального анализа зависит от оконной функции, как от ее ширины полосы шума (B), так и от потенциальных потерь на волнистость. Эти эффекты частично компенсируются, потому что окна с наименьшими зубцами, естественно, имеют наибольшую утечку.

На рисунке 3 показано влияние трех различных оконных функций на один и тот же набор данных, содержащий две синусоиды одинаковой силы в аддитивном шуме. Частоты синусоид выбираются таким образом, чтобы на одной гребешке не наблюдалось, а на другом - максимально. Оба синусоиды страдают меньше потери SNR под окном Ханн , чем под Blackman - Харрис окна. В целом (как упоминалось ранее) это является сдерживающим фактором для использования окон с высоким динамическим диапазоном в приложениях с низким динамическим диапазоном.

Симметрия [ править ]

Формулы, приведенные в этой статье, производят дискретные последовательности, как если бы непрерывная оконная функция была "дискретизирована". (См. Пример в окне Кайзера .) Последовательности окон для спектрального анализа являются либо симметричными, либо симметричными (называемыми периодическими , ^{[7] [8]} DFT-четными или DFT-симметричными ^{[9] : стр. 52} ). . Например, истинная симметричная последовательность с максимумом в единственной центральной точке генерируется функцией MATLABhann(9,'symmetric') . Удаление последнего сэмпла дает последовательность, идентичную hann(8,'periodic'). Точно так же последовательность hann(8,'symmetric')имеет две равные центральные точки. ^[10]

Некоторые функции имеют одну или две конечные точки с нулевым значением, которые не нужны в большинстве приложений. Удаление конечной точки с нулевым значением не влияет на ее DTFT (спектральная утечка). Но функция, разработанная для N +1 или N +2 выборок, в ожидании удаления одной или обеих конечных точек, обычно имеет немного более узкий главный лепесток, немного более высокие боковые лепестки и немного меньшую полосу шума. ^[11]

DFT-симметрия [ править ]

Предшественником ДПФ является конечное преобразование Фурье , а оконные функции «всегда были нечетным числом точек и демонстрировали четную симметрию относительно начала координат». ^{[9] : с. 52} В этом случае DTFT полностью имеет действительное значение. Когда та же последовательность сдвигаются в окно данных DFT , [0 ≤ N ≤ N ] , ДВПФ становится -комплекснозначным, за исключением того, на частотах , расположенных через равные промежутки 1 / N . ^[a] Таким образом, при выборке с помощью ДПФ длиной N (см. периодическое суммирование ) выборки (называемые коэффициентами ДПФ) по-прежнему имеют реальную ценность. Из-за периодического суммирования последняя выборка оконной функции, w [ N ] , включается в член n  = 0 ДПФ :  exp {- i 2 π k 0 / N } · ( w [0] +  w [ N ]) =  w [0] +  w [ N ] , который является вещественным для всех значений k (всех коэффициентов ДПФ). Поэтому, когда последний образец симметричной последовательности усекается ( w [ N ] = 0) мнимые компоненты остаются равными нулю. ^[B] Это действительно влияет на DTFT (спектральная утечка), но обычно в незначительной степени (если N не является небольшим, например ≤ 20). ^{[12] [C]}

Когда окна мультипликативно применяются к фактическим данным, в последовательности обычно отсутствует какая-либо симметрия, и ДПФ обычно не имеет действительного значения. Несмотря на это предостережение, многие авторы рефлекторно предполагают DFT-симметричные окна. ^{[9] [13] [14] [15] [16] [17] [b]} Таким образом, стоит отметить, что нет никакого преимущества в производительности при применении к данным во временной области, которые являются обычным приложением. Преимущество действительных коэффициентов ДПФ реализуется в некоторых эзотерических приложениях ^[D], где управление окнами достигается посредством свертки между коэффициентами ДПФ и неоконным ДПФ данных. ^{[18] [9] : с. 62[5] : с. 85} В этих приложенияхпредпочтительныDFT-симметричные окна (четной или нечетной длины) из семейства Cosine-sum , поскольку большинство их коэффициентов DFT имеют нулевые значения, что делает свертку очень эффективной. ^{[E] [5] : стр. 85}

Дизайн фильтра [ править ]

Окна иногда используются при разработке цифровых фильтров , в частности, для преобразования «идеальной» импульсной характеристики бесконечной длительности, такой как функция sinc , в конструкцию фильтра с конечной импульсной характеристикой (FIR). Это называется оконным методом . ^{[19] [20] [21]}

Статистика и аппроксимация кривой [ править ]

Оконные функции иногда используются в области статистического анализа, чтобы ограничить набор анализируемых данных диапазоном, близким к заданной точке, с весовым коэффициентом, который уменьшает влияние точек, более удаленных от части кривой, подлежащей подбору. В области байесовского анализа и аппроксимации кривой это часто называют ядром .

Приложения с прямоугольным окном [ править ]

Анализ переходных процессов [ править ]

При анализе переходного сигнала в модальном анализе , такого как импульс, ударная реакция, синусоидальный всплеск, всплеск ЛЧМ или всплеск шума, где распределение энергии по времени чрезвычайно неравномерно, прямоугольное окно может быть наиболее подходящим. Например, когда большая часть энергии находится в начале записи, окно непрямоугольной формы ослабляет большую часть энергии, ухудшая отношение сигнал / шум. ^[22]

Гармонический анализ [ править ]

Кто-то может захотеть измерить гармонический состав музыкальной ноты определенного инструмента или гармонические искажения усилителя на заданной частоте. Снова обращаясь к рисунку 2 , мы можем заметить, что нет утечки на дискретном наборе гармонически связанных частот, дискретизированных ДПФ. (Спектральные нули на самом деле являются пересечениями нуля, которые нельзя отобразить в логарифмическом масштабе, таком как это.) Это свойство уникально для прямоугольного окна, и оно должно быть соответствующим образом настроено для частоты сигнала, как описано выше.

Список оконных функций [ править ]

Условные обозначения :

• ${\ displaystyle w_ {0} (х)}$является функцией с нулевой фазой (симметричной относительно x  = 0), ^[23] непрерывной для, где N - положительное целое число (четное или нечетное). ^[24]${\ Displaystyle х \ в [-N / 2, N / 2],}$
• Последовательность     является симметричным , длины${\ Displaystyle \ {вес [п] = вес_ {0} (NN / 2), \ четырехъядерный 0 \ Leq п \ Leq N \}}$${\ displaystyle N + 1.}$
• ${\ Displaystyle \ {вес [п], \ четырехъядерный 0 \ Leq п \ Leq N-1 \}}$  является ДПФ-симметричным , длины ^[F]${\ displaystyle N.}$

• Параметр B, отображаемый на каждом спектральном графике, является метрикой ширины полосы, эквивалентной шуму, в единицах дискретизации DFT .

Разреженная выборка DTFT (например, DFT на рис. 2) выявляет только утечку в элементы DFT из синусоиды, частота которой также является целочисленным элементом DFT. Невидимые боковые лепестки показывают утечку, ожидаемую от синусоид на других частотах. ^[c] Следовательно, при выборе оконной функции обычно важно более плотно сэмплировать DTFT (как мы делаем в этом разделе) и выбрать окно, которое подавляет боковые лепестки до приемлемого уровня.

Прямоугольное окно [ править ]

Прямоугольное окно (иногда известное как коробчатая диаграмма или окно Дирихле ) - это простейшее окно, эквивалентное замене всех значений последовательности данных, кроме N , нулями, что создает впечатление, будто форма волны внезапно включается и выключается:

${\ displaystyle w [n] = 1.}$

Другие окна предназначены для смягчения этих внезапных изменений, что снижает потери на гребешках и улучшает динамический диапазон, как описано выше ( § Спектральный анализ ).

Прямоугольное окно является окном B- сплайна 1-го порядка, а также окном степени синусоиды 0-й степени .

B- сплайновые окна [ править ]

B- сплайновые окна могут быть получены как k- кратные свертки прямоугольного окна. Они включают само прямоугольное окно ( k  = 1), § треугольное окно ( k  = 2) и § окно Parzen ( k  = 4). ^[25] Альтернативные определения выбирают соответствующие нормированные базисные функции B- сплайна вместо свертки окон дискретного времени. К - го порядка B -сплайн базисной функции является кусочно-полиномиальной функцией степени к -1 , что получается K - кратное самой-сверткапрямоугольная функция .

Треугольное окно [ править ]

Треугольные окна бывают:

${\ displaystyle w [n] = 1- \ left | {\ frac {n - {\ frac {N} {2}}} {\ frac {L} {2}}} \ right |, \ quad 0 \ leq п \ leq N}$

где L может быть N , ^[26] N  + 1, ^{[9] [27] [28]} или N  + 2. ^[29]   Первое также известно как окно Бартлетта или окно Фейера . Все три определения сходятся при больших  N .

Треугольное окно является B- сплайновым окном 2-го порядка . L  =  N форма может рассматриваться как свертка двух N / 2 ширины прямоугольных окон. Преобразование Фурье результата - это квадрат значений преобразования прямоугольного окна полуширины.

Окно Парзена [ править ]

Определяя   L ≜ N + 1 , окно Парзена , также известное как окно Валле Пуссена , ^[9] является окном B- сплайна 4-го порядка, определяемым следующим образом:

${\displaystyle w_{0}(n)\triangleq \left\{{\begin{array}{ll}1-6\left({\frac {n}{L/2}}\right)^{2}\left(1-{\frac {|n|}{L/2}}\right),&0\leq |n|\leq {\frac {L}{4}}\\2\left(1-{\frac {|n|}{L/2}}\right)^{3}&{\frac {L}{4}}<|n|\leq {\frac {L}{2}}\\\end{array}}\right\}}$

${\displaystyle w[n]=\ w_{0}\left(n-{\tfrac {N}{2}}\right),\ 0\leq n\leq N}$

Другие окна полиномов [ править ]

Окно Welch [ править ]

Окно Велча состоит из единственной параболической секции:

${\displaystyle w[n]=1-\left({\frac {n-{\frac {N}{2}}}{\frac {N}{2}}}\right)^{2},\quad 0\leq n\leq N.}$^[29]

Определяющий квадратичный многочлен достигает нулевого значения в выборках сразу за пределами окна.

Окно синуса [ править ]

${\displaystyle w[n]=\sin \left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos \left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac {\pi }{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

Соответствующая функция представляет собой косинус без сдвига фазы π / 2. Поэтому синусоидальное окно ^[30] иногда также называют косинусоидальным окном . ^[9] Поскольку он представляет собой половину цикла синусоидальной функции, он также известен как полусинусоидальное окно ^[31] или полукосинусоидальное окно . ^[32]${\displaystyle w_{0}(n)\,}$

Автокорреляции синусоидального окна производит функцию , известную как окно Бохмана. ^[33]

Окна мощности синуса / косинуса [ править ]

Эти оконные функции имеют вид: ^[34]

${\displaystyle w[n]=\sin ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}\right)=\cos ^{\alpha }\left({\frac {\pi n}{N}}-{\frac {\pi }{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

Прямоугольное окно ( α  = 0 ), то синус окна ( α  = 1 ), и окно Hann ( α  = 2 ) являются членами этого семейства.

Окна суммы косинусов [ править ]

Это семейство также известно как окна обобщенного косинуса .

В большинстве случаев, включая примеры ниже, все коэффициенты a _k  ≥ 0. Эти окна имеют только 2 K  + 1 ненулевых N- точечных коэффициентов ДПФ.

Окна Ханна и Хэмминга[ редактировать ]

Обычные окна суммы косинусов для случая K  = 1 имеют вид:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-\underbrace {(1-a_{0})} _{a_{1}}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right),\quad 0\leq n\leq N,}$

который легко (и часто) спутать с его нулевой версией:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}(n)\ &=w\left[n+{\tfrac {N}{2}}\right]\\&=a_{0}+a_{1}\cdot \cos \left({\tfrac {2\pi n}{N}}\right),\quad -{\tfrac {N}{2}}\leq n\leq {\tfrac {N}{2}}.\end{aligned}}}$

При установке     открывается окно Ханна:${\displaystyle a_{0}=0.5}$

${\displaystyle w[n]=0.5\;\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right]=\sin ^{2}\left({\frac {\pi n}{N}}\right),}$^[7]

назван в честь Юлиуса фон Ханна и иногда упоминается как Ханнинг , предположительно из-за его лингвистического и формульного сходства с окном Хэмминга. Он также известен как приподнятый косинус , потому что версия с нулевой фазой - это один лепесток функции повышенного косинуса.${\displaystyle w_{0}(n),}$

Эта функция является членом семейств суммы косинусов и степеней синуса . В отличие от окна Хэмминга , конечные точки окна Ханна просто касаются нуля. Результирующий спад боковых лепестков составляет около 18 дБ на октаву. ^[35]

Установка     приблизительно на 0,54, или, точнее, 25/46, дает окно Хэмминга, предложенное Ричардом У. Хэммингом . Этот выбор помещает пересечение нуля на частоте 5 π / ( N  - 1), что устраняет первый боковой лепесток окна Ханна, давая ему высоту примерно в одну пятую от высоты окна Ханна. ^{[9] [36] [37]} Окно Хэмминга часто называют меткой Хэмминга, когда оно используется для формирования импульса . ^{[38] [39] [40]}${\displaystyle a_{0}}$

Аппроксимация коэффициентов до двух знаков после запятой существенно снижает уровень боковых лепестков ^[9] до почти равновеликого состояния. ^[37] В равноправном смысле оптимальные значения коэффициентов равны ₀  = 0,53836 и ₁  = 0,46164. ^{[37] [5]}

Окно Хэмминга используется для эффекта Audio Spectrum в Adobe After Effects ^{[ необходима ссылка ]} .

Окно Блэкмана [ править ]

Окна Блэкмана определяются как:

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}={\frac {1-\alpha }{2}};\quad a_{1}={\frac {1}{2}};\quad a_{2}={\frac {\alpha }{2}}.}$

По общему соглашению, неуточненный термин Blackman окно относится к Blackman «не очень серьезное предложение» от & alpha ;  = 0,16 ( ₀  = 0,42, ₁  = 0,5, ₂  = 0,08), что близко аппроксимирует точную Blackman , ^[41] с a ₀  = 7938/18608 ≈ 0,42659, a ₁  = 9240/18608 ≈ 0,49656 и a ₂  = 1430/18608 ≈ 0,076849. ^[42] Эти точные значения помещают нули на третьем и четвертом боковых лепестках, ^[9]но приводит к прерывистости по краям и падению на 6 дБ / окт. Усеченные коэффициенты также не обнуляют боковые лепестки, но имеют улучшенный спад на 18 дБ / октаву. ^{[9] [43]}

Окно Nuttall, непрерывная первая производная [ править ]

Непрерывная форма окна Наттолла и его первая производная непрерывны всюду, как функция Ханна . То есть функция стремится к 0 при x  = ± N / 2, в отличие от окон Блэкмана – Наттолла, Блэкмана – Харриса и Хэмминга. Окно Блэкмана ( α  = 0,16 ) также является непрерывным с непрерывной производной на краю, но «точное окно Блэкмана» - нет.${\displaystyle w_{0}(x),}$

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.355768;\quad a_{1}=0.487396;\quad a_{2}=0.144232;\quad a_{3}=0.012604.}$

Окно Блэкмана – Наттолла [ править ]

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.3635819;\quad a_{1}=0.4891775;\quad a_{2}=0.1365995;\quad a_{3}=0.0106411.}$

Окно Блэкмана – Харриса [ править ]

Обобщение семейства Хэмминга, полученное путем добавления большего количества смещенных функций sinc, предназначенное для минимизации уровней боковых лепестков ^{[44] [45]}

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.35875;\quad a_{1}=0.48829;\quad a_{2}=0.14128;\quad a_{3}=0.01168.}$

Окно с плоским верхом [ править ]

Окно с плоской вершиной - это окно с частично отрицательными значениями, которое имеет минимальные зубчатые потери в частотной области. Это свойство желательно для измерения амплитуд синусоидальных частотных составляющих. ^{[13] [46]} Недостатками широкой полосы пропускания являются плохое разрешение по частоте и высокая пропускная способность шума .

Окна с плоским верхом могут быть спроектированы с использованием методов проектирования фильтров нижних частот ^[46], или они могут иметь обычную разновидность суммы косинусов :

${\displaystyle {\begin{aligned}w[n]=a_{0}&{}-a_{1}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)+a_{2}\cos \left({\frac {4\pi n}{N}}\right)\\&{}-a_{3}\cos \left({\frac {6\pi n}{N}}\right)+a_{4}\cos \left({\frac {8\pi n}{N}}\right).\end{aligned}}}$

Вариант Matlab имеет следующие коэффициенты:

${\displaystyle a_{0}=0.21557895;\quad a_{1}=0.41663158;\quad a_{2}=0.277263158;\quad a_{3}=0.083578947;\quad a_{4}=0.006947368.}$

Доступны и другие варианты, такие как боковые лепестки, которые скатываются за счет более высоких значений около главного лепестка. ^[13]

Окна Райфа – Винсента [ править ]

Окна Райфа – Винсента ^[47] обычно масштабируются для единичного среднего значения вместо единичного пикового значения. Приведенные ниже значения коэффициентов, примененные к уравнению 1 , отражают этот обычай.

Класс I, порядок 1 ( K = 1):        Функционально эквивалентен окну Ханна .${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}=1}$

Класс I, Порядок 2 ( K = 2):  ${\displaystyle a_{0}=1;\quad a_{1}={\tfrac {4}{3}};\quad a_{2}={\tfrac {1}{3}}}$

Класс I определяется минимизацией амплитуды боковых лепестков высокого порядка. Коэффициенты для заказов до K = 4 сведены в таблицу. ^[48]

Класс II сводит к минимуму ширину главного лепестка для данного максимального бокового лепестка.

Класс III - это компромисс, для которого порядок K  = 2 напоминает окно Блэкмана . ^{[48] [49]}

Регулируемые окна [ править ]

Гауссово окно [ править ]

Преобразование Фурье гауссиана также является гауссовым. Поскольку поддержка функции Гаусса простирается до бесконечности, она должна быть либо усечена на концах окна, либо сама оконна с другим окном с нулевым концом. ^[50]

Поскольку логарифм гауссиана дает параболу , это можно использовать для почти точной квадратичной интерполяции при оценке частоты . ^{[51] [50] [52]}

${\displaystyle w[n]=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{2}\right),\quad 0\leq n\leq N.}$

${\displaystyle \sigma \leq \;0.5\,}$

Стандартное отклонение функции Гаусса составляет σ  ·  N / 2 периода выборки.

Ограниченное гауссово окно [ править ]

Ограниченное гауссово окно дает наименьшую возможную среднеквадратичную ширину частоты σ _ω для заданной временной ширины   ( N + 1) σ _t . ^[53] Эти окна оптимизируют произведение среднеквадратичного значения времени и частоты. Они вычисляются как минимальные собственные векторы матрицы, зависящей от параметров. Семейство ограниченных гауссовских окон содержит § синусоидальное окно и § гауссово окно в предельных случаях больших и малых σ _t соответственно.

Приблизительное ограниченное гауссово окно [ править ]

Определяя   L ≜ N + 1 , ограниченное гауссово окно временной ширины   L × σ _t   хорошо аппроксимируется формулой ^[53]

${\displaystyle w[n]=G(n)-{\frac {G(-{\tfrac {1}{2}})[G(n+L)+G(n-L)]}{G(-{\tfrac {1}{2}}+L)+G(-{\tfrac {1}{2}}-L)}}}$

где - функция Гаусса:${\displaystyle G}$

${\displaystyle G(x)=\exp \left(-\left({\cfrac {x-{\frac {N}{2}}}{2L\sigma _{t}}}\right)^{2}\right)}$

Стандартное отклонение приближенного окна асимптотически равно (т. Е. Большие значения N )   L × σ _t   для   σ _t <0,14 . ^[53]

Обобщенное нормальное окно [ править ]

Более обобщенная версия окна Гаусса - это обобщенное нормальное окно. ^[54] Сохраняя обозначения из гауссова окна выше, мы можем представить это окно как

${\displaystyle w[n,p]=\exp \left(-\left({\frac {n-N/2}{\sigma N/2}}\right)^{p}\right)}$

для любого даже . В это окно Гаусса, и по мере приближения оно приближается к прямоугольному окну. Преобразование Фурье этого окна не существует в закрытом виде для общего . Однако он демонстрирует и другие преимущества плавной регулируемой полосы пропускания. Как и окно Тьюки , это окно, естественно, предлагает "плоскую вершину" для управления ослаблением амплитуды временного ряда (для которого у нас нет элемента управления с окном Гаусса). По сути, он предлагает хороший (управляемый) компромисс с точки зрения спектральной утечки, разрешения по частоте и амплитудного затухания между окном Гаусса и прямоугольным окном. См. Также ^[55] для изучения${\displaystyle p}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle p}$частотно-временное представление этого окна (или функции).

Окно Тьюки [ править ]

Окно Тьюки, также известное как окно с конусом косинуса , можно рассматривать как лепесток косинуса шириной Nα / 2 (охватывающий Nα / 2 + 1 отсчетов), который свернут с прямоугольным окном шириной N (1 - α / 2 ) .

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[n]={\frac {1}{2}}\left[1-\cos \left({\frac {2\pi n}{\alpha N}}\right)\right],\quad &0\leq n<{\frac {\alpha N}{2}}\\w[n]=1,\quad &{\frac {\alpha N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}}$  ^{[56] [G] [H]}

При α  = 0 оно становится прямоугольным, а при α  = 1 становится окном Ханна.

Окно с конусом Планка [ править ]

Так называемое окно «планковского конуса» - это функция выпуклости , которая широко использовалась ^[57] в теории разбиения единицы на многообразия . Он является гладким ( функция) везде, но равен нулю за пределами компактной области, ровно единице на интервале внутри этой области и плавно и монотонно изменяется между этими пределами. Его использование в качестве оконной функции при обработке сигналов было впервые предложено в контексте гравитационно-волновой астрономии , вдохновленной распределением Планка . ^[58] Она определяется как кусочная функция :${\displaystyle C^{\infty }}$

${\displaystyle \left.{\begin{array}{lll}w[0]=0,\\w[n]=\left(1+\exp \left({\frac {\varepsilon N}{n}}-{\frac {\varepsilon N}{\varepsilon N-n}}\right)\right)^{-1},\quad &1\leq n<\varepsilon N\\w[n]=1,\quad &\varepsilon N\leq n\leq {\frac {N}{2}}\\w[N-n]=w[n],\quad &0\leq n\leq {\frac {N}{2}}\end{array}}\right\}}$

Степень сужения регулируется параметром ε , при этом меньшие значения дают более резкие переходы.

DPSS или окно Slepian [ править ]

DPSS (дискретные вытянутая шаровидная последовательность) или Слепяно окно обеспечивает максимальную концентрацию энергии в главном лепестке , ^[59] и используется в multitaper спектрального анализа, который в среднем за шумом в спектре и уменьшает потерю информации на краях окна.

Главный лепесток заканчивается на интервале частот, заданном параметром α . ^[60]

Окна Кайзера ниже созданы путем простого приближения к окнам DPSS:

Окно Кайзера [ править ]

Окно Кайзера или Кайзера – Бесселя представляет собой простую аппроксимацию окна DPSS с использованием функций Бесселя , открытых Джеймсом Кайзером . ^{[61] [62]}

${\displaystyle w[n]={\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}-1\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},\quad 0\leq n\leq N}$    ^{[I] [9] : с. 73}

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N}}\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},\quad -N/2\leq n\leq N/2}$

где - модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Параметр Variable определяет компромисс между шириной основного лепестка и уровнями боковых лепестков спектральной картины утечки. Ширина главного лепестка между нулями выражается     в единицах бинов ДПФ ^[69],   а типичное значение равно 3.${\displaystyle I_{0}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle 2{\sqrt {1+\alpha ^{2}}},}$${\displaystyle \alpha }$

Окно Дольфа – Чебышева [ править ]

Минимизирует чебышевскую норму боковых лепестков для заданной ширины главного лепестка. ^[70]

Оконная функция Дольфа – Чебышева с нулевой фазой обычно определяется в терминах ее действительного дискретного преобразования Фурье : ^[71]${\displaystyle w_{0}[n]}$${\displaystyle W_{0}[k]}$

${\displaystyle W_{0}(k)={\frac {T_{N}{\big (}\beta \cos \left({\frac {\pi k}{N+1}}\right){\big )}}{T_{N}(\beta )}}={\frac {T_{N}{\big (}\beta \cos \left({\frac {\pi k}{N+1}}\right){\big )}}{10^{\alpha }}},\ 0\leq k\leq N.}$

T _n ( x ) - n -й многочлен Чебышева первого рода, вычисляемый по x , который может быть вычислен с помощью

${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos \!{\big (}n\cos ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }}-1\leq x\leq 1\\\cosh \!{\big (}n\cosh ^{-1}(x){\big )}&{\text{if }}x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh \!{\big (}n\cosh ^{-1}(-x){\big )}&{\text{if }}x\leq -1,\end{cases}}}$

и

${\displaystyle \beta =\cosh \!{\big (}{\tfrac {1}{N}}\cosh ^{-1}(10^{\alpha }){\big )}}$

- единственное положительное вещественное решение , где параметр α устанавливает чебышевскую норму боковых лепестков равной −20 α  децибел. ^[70]${\displaystyle T_{N}(\beta )=10^{\alpha }}$

Оконная функция может быть вычислена из W ₀ ( k ) с помощью обратного дискретного преобразования Фурье (ДПФ): ^[70]

${\displaystyle w_{0}(n)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{i2\pi kn/(N+1)},\ -N/2\leq n\leq N/2.}$

Отставала версия окна может быть получена:

${\displaystyle w[n]=w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right),\quad 0\leq n\leq N,}$

которые для четных значений N должны вычисляться следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}\left(n-{\frac {N}{2}}\right)={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}W_{0}(k)\cdot e^{\frac {i2\pi k(n-N/2)}{N+1}}={\frac {1}{N+1}}\sum _{k=0}^{N}\left[\left(-e^{\frac {i\pi }{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k)\right]e^{\frac {i2\pi kn}{N+1}},\end{aligned}}}$

который является обратным ДПФ  ${\displaystyle \left(-e^{\frac {i\pi }{N+1}}\right)^{k}\cdot W_{0}(k).}$

Варианты:

• Из-за условия равновероятности окно временной области имеет разрывы по краям. Приближение, которое их избегает, позволяя равным частям опускаться по краям, - это окно Тейлора .
• Также доступна альтернатива обратному определению ДПФ. [1] .

Ультрасферическое окно [ править ]

Ультрасферическое окно было представлено в 1984 году Роем Стрейтом ^[72] и нашло применение в конструкции антенных решеток, ^[73] нерекурсивных фильтрах ^[72] и спектральном анализе. ^[74]

Как и другие настраиваемые окна, Ультрасферическое окно имеет параметры, которые можно использовать для управления шириной главного лепестка преобразования Фурье и относительной амплитудой боковых лепестков. В отличие от других окон, у него есть дополнительный параметр, который можно использовать для установки скорости уменьшения (или увеличения) амплитуды боковых лепестков. ^{[74] [75]}

Окно можно выразить во временной области следующим образом: ^[74]

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{N+1}}\left[C_{N}^{\mu }(x_{0})+\sum _{k=1}^{\frac {N}{2}}C_{N}^{\mu }\left(x_{0}\cos {\frac {k\pi }{N+1}}\right)\cos {\frac {2n\pi k}{N+1}}\right]}$

где - Ультрасферический полином степени N, а и контролируют диаграммы направленности боковых лепестков. ^[74]${\displaystyle C_{N}^{\mu }}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle \mu }$

Определенные конкретные значения дают другие хорошо известные окна: и дают окна Дольфа – Чебышева и Сарамяки соответственно. ^[72] См. Здесь иллюстрацию ультрасферических окон с различной параметризацией.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \mu =1}$

Экспоненциальное окно или окно Пуассона [ править ]

Окно Пуассона или, в более общем смысле, экспоненциальное окно увеличивается экспоненциально по направлению к центру окна и экспоненциально уменьшается во второй половине. Поскольку экспоненциальная функция никогда не достигает нуля, значения окна на ее границах отличны от нуля (это можно рассматривать как умножение экспоненциальной функции на прямоугольное окно ^[76] ). Это определяется

${\displaystyle w[n]=e^{-\left|n-{\frac {N}{2}}\right|{\frac {1}{\tau }}},}$

где τ - постоянная времени функции. Экспоненциальная функция затухает как e  2,71828 или приблизительно 8,69 дБ на постоянную времени. ^[77] Это означает, что для целевого затухания D  дБ на половине длины окна постоянная времени τ определяется выражением

${\displaystyle \tau ={\frac {N}{2}}{\frac {8.69}{D}}.}$

Гибридные окна [ править ]

Оконные функции также были созданы как мультипликативные или аддитивные комбинации других окон.

Окно Бартлетта – Ханна [ править ]

${\displaystyle w[n]=a_{0}-a_{1}\left|{\frac {n}{N}}-{\frac {1}{2}}\right|-a_{2}\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)}$

${\displaystyle a_{0}=0.62;\quad a_{1}=0.48;\quad a_{2}=0.38\,}$

Окно Планка – Бесселя [ править ]

§ окно Планка конусность , умноженное на окно Кайзера , который определен в терминах модифицированной функции Бесселя . Эта функция гибридного окна была введена для уменьшения пикового уровня боковых лепестков окна с конусом Планка, в то же время используя его хорошее асимптотическое затухание. ^[78] Он имеет два настраиваемых параметра, ε из конуса Планка и α из окна Кайзера, поэтому его можно настроить в соответствии с требованиями данного сигнала.

Окно Ганна – Пуассона [ править ]

Окно Ханна, умноженное на окно Пуассона , которое не имеет боковых лепестков, в том смысле, что его преобразование Фурье исчезает навсегда вдали от главного лепестка. Таким образом, его можно использовать в алгоритмах восхождения на холм , таких как метод Ньютона . ^[79] Окно Ханна – Пуассона определяется следующим образом:

${\displaystyle w[n]={\frac {1}{2}}\left(1-\cos \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)\right)e^{\frac {-\alpha \left|N-2n\right|}{N}}\,=\operatorname {hav} \left({\frac {2\pi n}{N}}\right)e^{\frac {-\alpha \left|N-2n\right|}{N}}\,}$

где α - параметр, контролирующий наклон экспоненты.

Другие окна [ править ]

Окно обобщенного адаптивного полинома (GAP) [ править ]

Окно GAP ^[80] представляет собой семейство настраиваемых оконных функций, основанных на симметричном полиномиальном разложении порядка . Он непрерывен с непрерывной производной всюду. При соответствующем наборе коэффициентов расширения и порядке расширения окно GAP может имитировать все известные оконные функции, точно воспроизводя их спектральные свойства.${\displaystyle K}$

${\displaystyle w_{0}[n]=a_{0}+\sum _{k=1}^{K}a_{2k}\left({\frac {n}{\sigma }}\right)^{2k},\quad -{\frac {N}{2}}\leq n\leq {\frac {N}{2}},}$  ^[81]

где - стандартное отклонение последовательности.${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \{n\}}$

Кроме того, начиная с набора коэффициентов расширения, который имитирует определенную известную оконную функцию, окно GAP может быть оптимизировано процедурами минимизации для получения нового набора коэффициентов, которые улучшают одно или несколько спектральных свойств, таких как ширина главного лепестка, боковой лепесток. затухание и скорость спада боковых лепестков. ^[82] Таким образом, оконная функция GAP может быть разработана с заданными спектральными свойствами в зависимости от конкретного приложения.${\displaystyle a_{2k}}$

Окно Ланцоша [ править ]

${\displaystyle w[n]=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}-1\right)}$

• используется в передискретизации Ланцоша
• для окна Ланцоша определяется как${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)}$${\displaystyle \sin(\pi x)/\pi x}$
• также называется окном sinc , потому что :

${\displaystyle w_{0}(n)=\operatorname {sinc} \left({\frac {2n}{N}}\right)\,}$является главной долей нормализованной функции sinc

Сравнение окон [ править ]

Этот сравнительный график может быть полезен при выборе подходящей оконной функции для приложения. Ось частоты имеет единицы «бинов» БПФ, когда окно длины N применяется к данным и вычисляется преобразование длины N. Например, значение на частоте ½ "бина" (третья отметка) - это отклик, который будет измеряться в бинах k и k  + 1 на синусоидальный сигнал на частоте k  + ½. Это относительно максимально возможного отклика, который возникает, когда частота сигнала является целым числом элементов разрешения. Значение на частоте ½ называется максимальными потерями на гребешке.окна, который является одним из показателей, используемых для сравнения окон. Прямоугольное окно заметно хуже остальных по этой метрике.

Другие показатели, которые можно увидеть, - это ширина главного лепестка и пиковый уровень боковых лепестков, которые соответственно определяют способность распознавать сигналы сравнимой мощности и сигналы несопоставимой силы. Прямоугольное окно (например) - лучший выбор для первого и худший - для второго. Что не видно из графиков, так это то, что прямоугольное окно имеет лучшую полосу шума, что делает его хорошим кандидатом для обнаружения синусоид низкого уровня в среде белого шума . Доступны методы интерполяции, такие как заполнение нулями и сдвиг частоты, чтобы уменьшить потенциальные потери из-за гребешка.

Перекрывающиеся окна [ править ]

Когда длина преобразуемого набора данных больше, чем необходимо для обеспечения желаемого разрешения по частоте, обычной практикой является разделение его на более мелкие наборы и их индивидуальное окно. Чтобы уменьшить «потерю» на краях окна, отдельные наборы могут перекрываться во времени. См. Метод Уэлча спектрального анализа мощности и модифицированное дискретное косинусное преобразование .

Двумерные окна [ править ]

Двумерные окна обычно используются при обработке изображений для уменьшения нежелательных высоких частот в преобразовании Фурье изображения. ^[83] Они могут быть построены из одномерных окон в любой из двух форм. ^[84] Отделимая форма вычислить тривиально. Радиальная форма, , которая включает в себя радиус , является изотропной , не зависит от ориентации осей координат. Только функция Гаусса одновременно разделима и изотропна. ^[85] Разделимые формы всех других оконных функций имеют углы, которые зависят от выбора осей координат. Изотропия / анизотропия${\displaystyle W(m,n)=w(m)w(n)}$${\displaystyle W(m,n)=w(r)}$${\displaystyle r={\sqrt {(m-M/2)^{2}+(n-N/2)^{2}}}}$двумерной оконной функции разделяется ее двумерным преобразованием Фурье. Разница между отделимыми и радиальных форм сродни результате дифракции от прямоугольной против круговых appertures, которые могут быть визуализированы с точки зрения произведение двух синк функций по сравнению с функцией Эйри , соответственно.

См. Также [ править ]

• Спектральная утечка
• Мультитапер
• Аподизация
• Метод Велча
• Кратковременное преобразование Фурье
• Метод оформления окон
• Фильтр Колмогорова – Зурбенко

Примечания [ править ]

Цитирование страниц [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]