Причинная система

В теории управления , причинная система (также известная как физическая или nonanticipative системы ) представляет собой система , где выход зависит от прошлых и текущих входных данных , но не будущие входы-то есть, выходной сигнал зависит только вход для значений .${\displaystyle y(t_{0})}$${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle t\leq t_{0}}$

Идея о том, что вывод функции в любое время зависит только от прошлых и настоящих значений ввода, определяется свойством, обычно называемым причинностью . Система, которая имеет некоторую зависимость от входных значений из будущего (в дополнение к возможной зависимости от прошлых или текущих входных значений), называется непричинной или акаузальной системой , а система, которая зависит исключительно от будущих входных значений, является антикаузальной системой . Обратите внимание, что некоторые авторы определили антикаузальную систему как систему, которая зависит исключительно от будущих и настоящих входных значений или, проще говоря, как систему, которая не зависит от прошлых входных значений.

Классически природа или физическая реальность рассматривались как причинная система. Физика, включающая специальную теорию относительности или общую теорию относительности, требует более точных определений причинности, как подробно описано в книге Причинность (физика) .

Причинная связь систем также играет важную роль в цифровой обработке сигналов , где фильтры построены так, что они являются причинными, иногда путем изменения непричинной формулировки, чтобы устранить отсутствие причинной связи и сделать ее реализуемой. Для получения дополнительной информации см. Причинный фильтр .

Для причинной системы импульсный отклик системы должен использовать только текущие и прошлые значения входа для определения выхода. Это требование является необходимым и достаточным условием для причинности системы независимо от линейности. Обратите внимание, что аналогичные правила применяются как к дискретным, так и к непрерывным случаям. Согласно этому определению, не требующему будущих входных значений, системы должны иметь возможность обрабатывать сигналы в реальном времени. ^[1]

Математические определения [ править ]

Определение 1: Отображение системы к каузально тогда и только тогда, когда для любой пары входных сигналов , и любой выбор , таким образом, что${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x_{1}(t)}$${\displaystyle x_{2}(t)}$${\displaystyle t_{0}}$

${\displaystyle x_{1}(t)=x_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0},}$

соответствующие выходы удовлетворяют

${\displaystyle y_{1}(t)=y_{2}(t),\quad \forall \ t<t_{0}.}$

Определение 2: Предположим, это импульсная характеристика любой системы, описываемой линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Система причинна тогда и только тогда, когда${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

${\displaystyle h(t)=0,\quad \forall \ t<0}$

в противном случае это не причинно.

Примеры [ править ]

Следующие примеры предназначены для систем с входом и выходом .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Примеры причинных систем [ править ]

• Система без памяти

${\displaystyle y\left(t\right)=1-x\left(t\right)\cos \left(\omega t\right)}$

• Авторегрессионный фильтр

${\displaystyle y\left(t\right)=\int _{0}^{\infty }x(t-\tau )e^{-\beta \tau }\,d\tau }$

Примеры непричинных (акаузальных) систем [ править ]

${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }\sin(t+\tau )x(\tau )\,d\tau }$

• Центральная скользящая средняя

${\displaystyle y_{n}={\frac {1}{2}}\,x_{n-1}+{\frac {1}{2}}\,x_{n+1}}$

Примеры антипричинных систем [ править ]

${\displaystyle y(t)=\int _{0}^{\infty }x(t+\tau )\,d\tau }$

• Смотреть вперед

${\displaystyle y_{n}=x_{n+1}}$

Ссылки [ править ]

• Оппенгейм, Алан В .; Willsky, Alan S .; Наваб, Хамид; с С. Хамидом (1998). Сигналы и системы . Pearson Education. ISBN 0-13-814757-4.