Бесконечный импульсный отклик

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Бесконечный импульсный отклик»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

Бесконечный импульсный отклик ( БИХ ) - это свойство, применяемое ко многим линейным инвариантным во времени системам , которые отличаются наличием импульсного отклика h ( t ), который не становится точно нулевым после определенной точки, а продолжается бесконечно. Это контрастирует с системой с конечным импульсным откликом (FIR), в которой импульсный отклик действительно становится точно нулевым в моменты времени t > T для некоторого конечного T , таким образом, имеющего конечную продолжительность. Распространенными примерами линейных инвариантных во времени систем являются большинство электронных и цифровых фильтров.. Системы с этим свойством известны как БИХ-системы или БИХ-фильтры .

На практике импульсная характеристика даже БИХ-систем обычно приближается к нулю, и ею можно пренебречь после определенного момента. Однако физические системы, которые вызывают реакции IIR или FIR, различны, и в этом заключается важность различия. Например, аналоговые электронные фильтры, состоящие из резисторов, конденсаторов и / или катушек индуктивности (и, возможно, линейных усилителей), обычно являются БИХ-фильтрами. С другой стороны, фильтры с дискретным временем (обычно цифровые фильтры) на основе линии задержки с ответвлениями без обратной связи.обязательно КИХ-фильтры. Конденсаторы (или катушки индуктивности) в аналоговом фильтре имеют «память», и их внутреннее состояние никогда полностью не расслабляется после импульса (в предположении классической модели конденсаторов и катушек индуктивности, где квантовые эффекты игнорируются). Но в последнем случае, после того, как импульс достиг конца отведенной линии задержки, система больше не запоминает этот импульс и возвращается в свое исходное состояние; его импульсная характеристика за пределами этой точки точно равна нулю.

Реализация и дизайн [ править ]

Хотя почти все аналоговые электронные фильтры являются БИХ-фильтрами, цифровые фильтры могут быть БИХ или КИХ. Наличие обратной связи в топологии фильтра с дискретным временем (такой как блок-схема, показанная ниже) обычно создает БИХ-отклик. Г домен Передаточная функция из фильтра IIR содержит нетривиальный знаменатель, описывающую эти термины обратной связи. С другой стороны, передаточная функция КИХ-фильтра имеет только числитель, как выражено в общей форме, полученной ниже. Все коэффициенты с (члены обратной связи) равны нулю, и фильтр не имеет конечных полюсов .${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle i> 0}$

Передаточные функции аналоговых электронных фильтров с БИХ-фильтрами были тщательно изучены и оптимизированы с учетом их амплитудных и фазовых характеристик. Эти функции непрерывного фильтра описаны в области Лапласа . Желаемые решения могут быть перенесены на случай фильтров с дискретным временем, передаточные функции которых выражены в области z, посредством использования определенных математических методов, таких как билинейное преобразование , импульсная инвариантность или метод согласования полюсов и нуля . Таким образом , цифровые БИХ - фильтры могут быть основаны на хорошо известных решений для аналоговых фильтров , таких как фильтр Чебышева , Баттерворта фильтр , и эллиптического фильтра, наследуя характеристики этих решений.

Вывод передаточной функции [ править ]

Цифровые фильтры часто описываются и реализуются в терминах разностного уравнения, которое определяет, как выходной сигнал соотносится с входным сигналом:

${\ displaystyle {\ begin {align} y [n] {} = & {\ frac {1} {a_ {0}}} (b_ {0} x [n] + b_ {1} x [n-1] + \ cdots + b_ {P} x [nP] \\ & {} - a_ {1} y [n-1] -a_ {2} y [n-2] - \ cdots -a_ {Q} y [nQ ]) \ end {выровнен}}}$

где:

• ${\ Displaystyle \ P}$ это порядок фильтра с прямой связью
• ${\ displaystyle \ b_ {i}}$ коэффициенты прямого фильтра
• ${\ displaystyle \ Q}$ это порядок фильтра обратной связи
• ${\ displaystyle \ a_ {i}}$ коэффициенты фильтра обратной связи
• ${\ Displaystyle \ х [п]}$ входной сигнал
• ${\ Displaystyle \ у [п]}$ выходной сигнал.

Более сжатая форма разностного уравнения:

${\displaystyle \ y[n]={\frac {1}{a_{0}}}\left(\sum _{i=0}^{P}b_{i}x[n-i]-\sum _{j=1}^{Q}a_{j}y[n-j]\right)}$

который при перестановке становится:

${\displaystyle \ \sum _{j=0}^{Q}a_{j}y[n-j]=\sum _{i=0}^{P}b_{i}x[n-i]}$

Чтобы найти передаточную функцию фильтра, мы сначала используем Z-преобразование каждой стороны приведенного выше уравнения, где мы используем свойство временного сдвига, чтобы получить:

${\displaystyle \ \sum _{j=0}^{Q}a_{j}z^{-j}Y(z)=\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}X(z)}$

Мы определяем передаточную функцию как:

${\displaystyle {\begin{aligned}H(z)&={\frac {Y(z)}{X(z)}}\\&={\frac {\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}}{\sum _{j=0}^{Q}a_{j}z^{-j}}}\end{aligned}}}$

Учитывая, что в большинстве конструкций БИХ-фильтров коэффициент равен 1, передаточная функция БИХ-фильтра принимает более традиционную форму:${\displaystyle \ a_{0}}$

${\displaystyle H(z)={\frac {\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}}{1+\sum _{j=1}^{Q}a_{j}z^{-j}}}}$

Пример блок-схемы БИХ-фильтра. Блок представляет собой блок задержки.${\displaystyle z^{-1}}$

Стабильность [ править ]

Передаточная функция позволяет судить о том, является ли система стабильной с ограниченным входом и ограниченным выходом (BIBO) . Чтобы быть конкретным, критерий устойчивости BIBO требует, чтобы ROC системы включал единичный круг. Например, для причинной системы все полюса передаточной функции должны иметь абсолютное значение меньше единицы. Другими словами, все полюса должны быть расположены внутри единичного круга на плоскости.${\displaystyle z}$

Полюса определяются как значения, знаменатель которых равен 0:${\displaystyle z}$${\displaystyle H(z)}$

${\displaystyle \ 0=\sum _{j=0}^{Q}a_{j}z^{-j}}$

Ясно, что тогда полюса не лежат в начале координат плоскости. Это отличается от КИХ- фильтра, где все полюса расположены в начале координат, и поэтому он всегда стабилен.${\displaystyle a_{j}\neq 0}$${\displaystyle z}$

БИХ - фильтры иногда предпочтительнее фильтры FIR , потому что БИХ - фильтр может обеспечить намного более крутой переходный участок скругления , чем КИХ - фильтра того же порядка.

Пример [ править ]

Пусть функция переноса из дискретного времени фильтра задается:${\displaystyle H(z)}$

${\displaystyle H(z)={\frac {B(z)}{A(z)}}={\frac {1}{1-az^{-1}}}}$

регулируется параметром , действительным числом с . стабильно и причинно с полюсом в . Можно показать, что импульсный отклик во временной области определяется следующим образом:${\displaystyle a}$${\displaystyle 0<|a|<1}$${\displaystyle H(z)}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle h(n)=a^{n}u(n)}$

где - функция единичного шага . Видно, что он не равен нулю для всех , поэтому импульсный отклик продолжается бесконечно.${\displaystyle u(n)}$${\displaystyle h(n)}$${\displaystyle n\geq 0}$

Преимущества и недостатки [ править ]

Основным преимуществом цифровых БИХ-фильтров перед КИХ-фильтрами является их эффективность в реализации, чтобы соответствовать техническим требованиям в отношении полосы пропускания, полосы задерживания, пульсаций и / или спада. Такой набор спецификаций может быть выполнен с помощью БИХ-фильтра более низкого порядка ( Q в приведенных выше формулах), чем требовалось бы для КИХ-фильтра, отвечающего тем же требованиям. Если реализовано в сигнальном процессоре, это означает соответственно меньшее количество вычислений на временной шаг; вычислительная экономия часто является довольно большим фактором.

С другой стороны, FIR-фильтры проще спроектировать, например, в соответствии с конкретными требованиями к частотной характеристике. Это особенно верно, когда требование не является одним из обычных случаев (верхний проход, нижний проход, режектор и т. Д.), Которые были изучены и оптимизированы для аналоговых фильтров. Также можно легко сделать КИХ-фильтры с линейной фазой (постоянная групповая задержка в зависимости от частоты) - свойство, которое нелегко реализовать с использованием БИХ-фильтров и только в качестве приближения (например, с фильтром Бесселя ). Другой проблемой, связанной с цифровыми БИХ-фильтрами, является возможность поведения предельного цикла в режиме ожидания из-за системы обратной связи в сочетании с квантованием.

См. Также [ править ]

• Авторегрессионная модель
• Электронный фильтр
• Конечный импульсный отклик
• Отношение рекуррентности , математическая формализация
• Системный анализ

Внешние ссылки [ править ]

• Пятый модуль курса BORES Signal Processing DSP - Введение в DSP
• Апплет проектирования цифрового фильтра БИХ на Wayback Machine (архив 13 февраля 2010 г.)
• Инструмент проектирования цифрового фильтра IIR - создает коэффициенты, графики, полюса, нули и код C.
• EngineerJS Online IIR Design Tool - не требует Java